烟台商务职业学院-多伦多大学商学院

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宇光教育个性化辅导教案提纲
老师：耿宏雷学生：_____ 科目： 数学 时间:2011年___月__日 第___次

行程问题串讲（1）
——行程要素基本关系和常
见方法

知识点拨

本节课我们学习5个基础的行程类型并尝试深刻理解行程三要素之间的对应关系。
行程问题之所以难， 因为孩子们无法参与进来，即使读懂了题目，清楚题目描述的行程过程，
但仍旧无法有效的将这些信息联 系起来——理不清已知信息之间的变化和关系。
行程常用的三个技巧：
1、方程——高效地 设未知数，直接正面列关系等式建立方程。因是直接正面找等量关系所以
好想。
2、比例—— 行程三要素间有严格对应的比例关系，解释一下什么叫严格对应：相同的速度下
可视为一个行程过程，不 同的速度视为不同的行程过程，即速度发生变化时当分开讨论计算。
3、设数——设具体的数据，参与 行程过程，能解决不少问题或帮助解决问题，即体验行程过
程中量之间的关系。
读完行程问题 ，清楚题目描述的行程过程后，第一件事情是画图。一般情况是边读题边画图。
美观的示意图有助于理清 行程量之间的关系。比如画线段表示50千米，再画线段表示100千米时
尽量画成前一线段长度的两倍 。















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【行程问题串讲总览】

1. 行程要素基本关系和常见方法
2. 相遇和追及
3. 多次相遇和追及
4. 多人相遇和追及
5. 比例解行程问题

以上是五种模型和常见行程问题的分析方法
以下是上面的方法和模型在特殊场地的应用

6. 火车问题
7. 流水行船
8. 猎狗追兔
9. 环形跑道
10. 走走停停
11. 变速问题
12. 扶梯问题
13. 发车间隔
14. 接送问题
15. 时钟问题





















2

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例题精讲
一、
s
、
v
、
t
探源

【行程三要素及通过平均速度加深对三要素之间关系的理解】
我们经常在解决行程问题的过程 中用到
s
、
v
、
t
三个字母，并用它们来分别代表路程、速 度
和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的
t
，这个字母
t
代表英文单词
time
，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母
v
，
对应的单词同学们可能不太熟悉，这 个单词是
velocity
，而不是我们常用来表示速度的
speed
。velocity
表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是
dis tance
，但这个单词并
不是以字母
s
开头的。关于为什么会用
s
来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问
题的公式中，代表速度的
v< br>和代表时间的
t
在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置
都比较接 近的
s
来表示速度。
二、关于s、v、t 三者的基本关系
速度×时间=路程 可简记为：s = vt
路程÷速度=时间 可简记为：t = s÷v
路程÷时间=速度 可简记为：v = s÷t
三、平均速度
平均速度的基本关系式为：
平均速度

总路程

总时间；
总时间

总路程

平均速度；
总路程

平均速度

总时间。

1. 邮递员早 晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。
他上坡时每小时走 4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返
回，邮递员什么时候可以回到 邮局?

2. 一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面 前.已知火车汽笛时
离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数 保留整数)

3. 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分 别以2米秒和3米
秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2米秒和3米秒的速度各划 行比
赛时间的一半.你认为这两个方案哪个好？

4. 甲从A地出发去80千米外 的B地，前一半时间速度为60千米时，后一半时间速度为100千
米，问：甲走前一半路程用了多少时 间？

5. 甲从A地出发去80千米外的B地，前一半路程速度为60千米时，后一半路程 速度为100千
米，问：甲走后一半时间走了多少路程？



6. （2007年4月“希望杯”四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，
然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，

3

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下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？

7. 甲乙两地相距6 0千米，小汽车8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后
一半时间每分钟行0.8千 米。小汽车到达乙地的时间是几点？(一题三解，方程、比例、平均速
度）

8. 小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知小红下山的速度
是上山速 度的
1.5
倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用了多少时间？

9. (华杯赛试题)某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小< br>时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达
乙地 ，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？

10. 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速 提高20%，那么可比原定时间提前1小时到达；如果
以原速行驶100千米后再将速度提高30%，那 么也比原定时间提前一小时到达。求甲乙两地
距离。
行程问题串讲（2）
——相遇与追及

例题精讲

1、A、B两地相距4800米， 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60
米，乙每分钟走100米，请问： （1）甲从A走到B需要多长时间？（2）两个人从出发到相遇需要
多长时间？

2 、在第2题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时方向改变，即两人同时同向出发。
请问：乙 出发后多久可追上甲？

3、甲乙两地相距350千米，一辆汽车早上8点从甲地出发，以每 小时40千米的速度开往乙地。2
小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地。什么时候 两车在途中相遇？

4、小悦和东东分别从相距720米的两地出发同向而行，且东东比小悦 先出法2分钟。已知小悦的
速度是每分钟60米，东东的速度是每分钟50米。问，当小悦追上东东的时 候，东东已经走了多少
米？


5、一辆公共汽车和一辆小轿车和相距35 0千米的两地同时出发，同向而行。公共汽车在前每小时
行40千米，小轿车在后，每小时行60千米。 问，（1）2小时后两车相距多少千米？（2）经过几
小时后两车相距50千米？

6、甲乙两人分别在A地和B地，甲从A地到B地需要20分钟，乙从B地到A地需要30分钟。如
果两 个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？

4

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7、甲、乙两车分别从A、B两地同时出 发相向而行。已知甲车每小时行驶40千米，两车6小时后
相遇，相遇后他们继续前进，又过了3个小时 ，甲车到达B地。问，乙车还需要多久到B地？

8、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发 相向而行。已知甲每分钟走50米，已走完全程需要18
分钟。出发3分钟后，甲、乙仍相距450米。 问，还需要多少分钟甲、乙两人才能相遇？

9、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，6 小时后相遇在中点。如果甲延迟1小时出发，乙每小
时少走4千米，两人仍在中点相遇。问，甲、乙两地 相距多少千米？

10、甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行。已知，甲的速度 是乙车的2倍，甲、乙到
达途中C点的时间依次为5:00和17:00。问，两车是几点相遇的？

11、甲、乙两人分别由A、B两地同时出发，如果相向而行，1小时后两人相遇。如果同向 而行，
且乙先出发2小时，那么甲3小时后追上乙。问，甲的速度是乙的几倍？

行程问题串讲（3）
——多次相遇和追及

知识点拨

4、学会画图解行程题
5、能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
6、能够利用比例解多人相遇和追及问题
例题精讲


1. 甲 乙两名同学在周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑
3 .5
米，
乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到 出发点？

2. 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度 是每秒2米．如果
他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？

3. 甲乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6
千米，相遇 后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求
两人第5次相遇地点距 B 多远.

4. 甲乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的

5
2
，二人相遇后继续行进，甲
3

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到
B
地、乙到
A
地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，
那么，
A
、
B
两地相距 千米．

5. AB是圆的直径的两端， 小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，
C离A点80米；在D点第二次相 遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

6. (2008年国际小学数学竞赛)
A
、
B
两地相距
950m
，甲、乙两人同时从
A
地出发，往返
A
、
B
两地跑步
90
分钟．甲跑步的速度是每 分钟
40m
；乙跑步的速度是每分钟
150m
．在这段时间内
他们面 对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离
B
点的距离最近？最近距离是多少？

B级挑战题




A
、
B
两 地间有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B
地，乙骑摩托车从
B
地出发，不停地往返于
A
、
B
两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第 一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：
当甲到达
B
地时，乙追上甲几次？

A级挑战题



 (仁华入学试题)甲、乙两车同时 从同一点
A
出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行
驶．甲车每小时行驶65千 米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；
一旦甲车从后面追上乙车，则甲车 立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离
A
点有
多少米？(每一次甲车追上 乙车也看作一次相遇)








行程问题串讲（4）
——多人相遇和追及

知识点拨


6

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7、能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用
8、根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图
9、能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。
例题精讲

1. 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老< br>师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。
结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？

2. 有甲、乙、丙3人 ，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，
乙、丙两人从西村同时 出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、
西两村之间的距离是多少米?

3. 甲乙丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发 相向而行，
他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相
遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？

4. 甲乙丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48千米
／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相
遇。求丙车的速度。

5. 甲乙丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度
是每小时 4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在
过5分钟，乙与丙 相遇。那么绕湖一周的行程是多少？

6. （仁华学校期末考试四年级试题）甲、乙、丙、 丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，
现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米 ，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、
丁各自继续游泳 米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．
7. AB两地相距336千米，有 甲、乙、丙3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已
知甲每小时行36千米，乙每小时行3 0千米，丙每小时行24千米，问几个小时后，丙正好处
于甲、乙之间的中点？

8. （
2007
年“希望杯”第一试）
A
、
B
两 地相距
203
米，甲、乙、丙的速度分别是
4
米分、
6
米< br>分、
5
米分。如果甲、乙从
A
，丙从
B
地同时出发相 向而行。问，多少分钟后，丙与乙的距
离是丙与甲的距离的
2
倍。

9. 甲乙丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速度比是多少？

10. 甲乙丙三车同时从A地 沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆
车分别用7分钟、8分钟、14分 钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟
行800米，求乙速车的速度是多少？


7

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C级挑战题

(2008年三帆中学考题) 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时
针方向走．甲第一次遇到乙后又 走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙
的速度比是
3:2
，湖的周长是600米，求丙的速度．

B级挑战题

(仁华测试题）甲 、乙两人从相距490米的
A
、
B
两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时 从
A
出
发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知 丙每分钟跑240米，
甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米 ，那么乙每分钟走
________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

A级挑战题

(2009年迎春杯复赛高年级组)一条路上有东、西两镇 ．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙
从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距 他们20千米，当乙与丙相遇时，甲
距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当 丙到达东镇时，乙距西镇
千米．
丙
甲
乙
A


F
CED
B


工程问题

知识点拨

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽
象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象
性，学生认 知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

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工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等
广 泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现
量与百分率之间 的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综
合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化< br>多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、
假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效 率之间的数量关系，转化出与所求相关
的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位” ，求得问题答案．一般情况下，
工程问题求的是时间．


例题精讲


1. 一项工程，甲单独做需要
28
天时间，乙单独做需要21
天时间，如果甲、乙合作需要多
少时间？

2. 一项工程，甲单 独做需要
30
天时间，甲、乙合作需要
12
天时间，如果乙单独做需要多少时 间？

3. 甲乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要1 2小时完成．现
在甲、乙两人共同生产了
2
2
小时后，甲被调出做其他工作， 由乙继续生产了420个零件才完
5
成任务．问乙一共加工零件多少个?

4. 一项工程，甲、乙合作需要
20
天完成，乙、丙合作需要
15
天完成，由乙单独做需要
30
天完成，
那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多 少天？

5. 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满． 现在先开乙管6
小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？

6. (2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需

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24 小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最
少要同时开放 小时．

7. 有10根大小相同的进水管给
A
、
B
两个 水池注水，原计划用4根进水管给
A
水池注水，其余
6根给
B
水池注 水，那么5小时可同时注满．因为发现
A
水池以一定的速度漏水，所以改为各
用5根进 水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的
A
水池注水，
需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，
A
水池仍然漏水，并且要求在注水过 程
中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五
入到个位)

8. 甲乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10 小时，乙车单独清扫需
15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问 ：东、西两城
相距多少千米？

9. 一项工程，甲单独完成需要
12天，乙单独完成需要
9
天．若甲先做若干天后乙接着做，共用
10
天完成 ，问甲做了几天？

10. （2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做4 0天完成，乙单独做60天完成．现
在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成． 问甲休息了几天？
11. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作 由甲先做了若干天，然
后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙 做的天数的
2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

12. 一些工人做 一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天
才能完成，那么调走 2人后，完成这项工程需要 天．


例题精讲

1. （2009年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个 ，
11
当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5
小
22
时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高 工效后每小时加工零件多
少个？

2. （2009年第七届“希望杯”六年级第1 试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲
完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天 ，甲和乙的工作效率分别是晴天时的
30%
和
80%
．实际情况是两队同时开 工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．

3. 甲乙两队 合作挖一条水渠要
30
天完成，若甲队先挖
4
天后，再由乙队单独挖
16
天，共挖了这
2
条水渠的．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
5


10

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4. 甲乙丙三队要完成
A
，
B两项工程，
B
工程的工作量是
A
工程工作量再增加
1
， 如果让甲、
4
乙、丙三队单独做，完成
A
工程所需要的时间分别是
2 0
天，
24
天，
30
天．现在让甲队做
A
工
程，乙队做
B
工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做
B
工程若 干天，然后再与
甲队合做
A
工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？

5. 甲乙丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在
A
仓
库，乙在
B
仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A
仓库搬了多
长时间？

6. 一项工程，乙单独做要
17< br>天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰
好用整天数完成；如果第一天乙 做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多
用半天完工．问：甲单独做需要几天？

7. 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然 后乙
接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，„„，两人如此交替工作，请问：完成任务时，
共用了多少小时？


8. 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果 丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、
乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

9. 一项工程，甲独做
6
天完成，甲
3
天的工作量，乙 要
4
天完成．两队合做
2
天后由乙队独做，
还要几天才能完成？

10. 甲乙丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按
9:8:3
派工 ，后因丙村不出工，将他承担的
任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人 ，乙村共派出35人，完
成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？

11. 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作
5
小时，共完成这批零件的
的工作效率之比是
5:3
，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？

12. 甲乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获
5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获
得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

2
。已知甲与乙
3


11