一建成绩查询-大连交通大学教务

生用七年级数学下册期
末复习提纲华东师大
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

七年级数学下期期末复习提纲第六章 一元一次方程
一、基本概念
（一）方程的变形法则
法则1：
方程两边都 或 同一个数或同一个 ，
方程的解不变。
例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-
3x+3=4-7。
在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：
8x=-6。
移项：将 方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另
一边，这样的变形叫做移项，注意
移项要变 号
。
例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5 即 x＝12
(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即 x＝
－4
法则2：
方程两边都除以或 同一个 的数，方程
的解不变。
例如： (1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x=-
2
5

(2)将方程
3
2
x＝
1
3
两边都乘以
2
3
得：x=
2
9

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。
注意：
（1）如遇未知数的 系数为整数，“系数化为1”时，就要除以
这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时， 就
要乘以这个分数的倒数。
（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。
方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的
值，叫做方程的解。
求不方程的解的过程，叫做解方程。
（二）一元一次方程的概念及其解法


1．定义：只含有
一个未知数
，并且含有未知数的式子都
是 ，
未知数的次数是
，这样的方程叫做一元一次方
程。
例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。
而这些方程5x
2
－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、
1
x-1
＝5就不是一
元一次方程。
2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且
a≠0）
一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且
a≠0）
3．解一元一次方程的一般步骤
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化
为1。
注意：（1）方 程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再
去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并 同
类项一次，以简便运算。
（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，< br>要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母
时，不要忘记不等式两边的每一项都 乘以最小公倍数（即公分
母）
（三）一元一次方程的应用
1．纯数学上的应用：（ 1）一元一次方程定义的应用；（2）
方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。
2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；
（3）工程问题；（4 ）利息问题；（5）面积问题等。
3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有
区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。
二、练习
1．下列各式哪些是一元一次方程。
(1)
x
2x3
x
2
+1=3x—4 (2)
5
=
1
2
(3)—x=o
(4)
5
x
一2x=0 (5)3x一y=l十2y
2．解下列方程。
1
2
(x一3)＝2一
1
2
(x一3)
541
4
[
5
(
2
x一3)－
4
25
]=1－x



3．解方程。
(l)
x
5x112x41
2
—
0.5x
6
=l+
3
(2)
0.3
—
20.3x
3
x=
0.02
+l



4．解方程。
(1)｜5x一2｜＝3 (2)｜
12x
3
｜=1


5．已知，｜a一3｜+(b十1)
2
=o，代数式
2bam
2< br>的值比
1
2
b一a十m多1，求m的值。




6．m为何值时，关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一 3m的2

倍。




7．为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在
就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方 式。
(1)直接存一个6年期，年利率是2.88％；
(2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3
年期。3年期的年利率是2.7％。
你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?





8．解答下列各问题：
(1)据《北京日报》5月16日报道 ：北京市人均水资源占
有300立方米，仅是全国人均占有量的
1
8
，世界人 均占有量的
1
32
，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源
占有量是多少立方米?
(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不
完 全统计，全市至少有6×l0
5
个水龙头，2×l0
5
个抽水马桶漏
水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一
个漏水马桶，一个月漏掉 b立方米水，那么一个月造成的水
流失量至少有多少立方米?(用含a、 b的代数式表示)
(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用
水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规 定三口之家楼房
每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方

米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三
口之家某月用水12立方米，交水 费 22元，请你通过列方程
求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?


10．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利
率为2.7％)，3年 后能取5405元，他开始存入了多少元?


11．一收割机收割一块麦 田，上午收了麦田的25％，下午收
割了剩下麦田的20％，结果还剩6公顷麦田未收割，这块麦
田一共有多少公顷?


12．儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿
子年龄的 4倍吗?



第七章 二元一次方程组
一、基本概念
（一）二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且
的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为
0）
结合一元一 次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步
的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未 知数，“次”指
未知数的最高次数。
例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2 m+3n=0、1-s+t=2s等都
是二元一次方程。
而6x
2
=-2y -6、4x+8y=-6z、
2
m
=n等都不是二元一次方
程。
2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，
就组成了一个二元一次方程组。
例如：


2x3y5

xy8
、

7a3b3

a2b1
、


mn2

mn1
、


st2

3st11
等都是二元一次方程组。

2x3y5

7a3a3

1
而


xz8、


a2a1
、



mn2
等都不是二

mn1
元一次方程组。
注意：（1 ）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一
次方程组。如：


2x 5

y8
、


s2

t11
也是二元一次方程组。
3．二元一次方程和二元一次方程组的解
（1）二元一次方 程的解：能够使二元一次方程的左右两边都
相等的
两个
未知数的值，叫做二元一次方程 的解。
（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的
两个方程
左
右两边 的值都相等的
两个
未知数的值，叫做二元一次方程组的
解。（即是两个方程的公共解）
注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符
号“


”把方程中两个未知数的值连接起来写。
二元方程解的写法的标准形式是：


xa

yb
，（其中a、b为常
数）
（二）二元一次方程组的解法

1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”， 化二元一次方程
组为一元一次方程来解。
2．二元一次方程组的基本解法
（1）代入消元法（代入法）
定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。
步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一
个未知数，记作方程③。
②把③代人另一个方程，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数
值，从而得到方程组的解。
（2）加减消元法（加减法）
定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，
简称加减法。
步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍
数，使得这两个未知数的绝对值相同。
②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，
得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
④ 把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的
一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。
注意：正确选用两种基本解二元一次方程组
（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为
1，适宜用“代入法”。
（ 2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未
知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一 未知数的系
数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的


系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较
复杂，应先化简整理。
（三）二元一次方程组的应用
1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）
方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形
等。
2．实际生活上的 应用：（1）调配问题；（2）行程问题；
（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。 < br>3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有
区别，有时是一种没有结论的问题， 需要你给出结论并解答。
注意事项：
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量 的问题，和一
元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间
相等关系的数学模型 之一，要学会将实际问题转化为二元一次
方程组，从而解决一些简单的实际问题。
( 2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通
过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的 消元方法有代
人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根
据它的特点灵活选定 。
(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确
作答，检验不仅要检查 求得的解是否适合方程组的每一个方
程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
二、练习
1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。


2．已知 x=1 2xn－m=5
y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。



3.A、B 两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时
出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向 而行，两车
1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。




4.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比
个位上的数字大2，如果把百位 上的数字与个位上的数字对
调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。




5．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，
团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中
某处下车步行，汽车返回接先步行的那部 分人，已知步行时速
是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时
到达乙地 ，必须在什么时候出发?




例2：方程组 ax+by=62 的解应为 x＝8
mx-20y=-224 y＝10
但是由于看错了系数m，而得到的解为


x1
y1
，求a+b+m
的值；

第8章 一元一次不等式
一、基本概念
（一）不等式的有关概念和性质
1．不等式的定义：用 表示不等关系的式子叫做不
等式。
常见不等号：＞、＜、≥、≤、≠。
注：“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系，还明确 表示左
右两边的大小；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小
于或等于)，后者 表示“不小于”(大于或等于)， “≠”表示左右
两边不相等
例如：方程7y-3x＞4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等
式。
而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。
2．不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不
等式的解。
例如：不等 式120<5x中x＝25，26，27，…等都是
120<5x的解，而x＝24，23，22，21 则都不是不等式的解。
3．不等式的解集
（1）定义：一个不等式的所有解，组成这个不等 式解的集
合，简称为这个不等式的
解集。

（2）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
（3）在数轴上表示不等式的解集：
没有等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。“大于”向右画，
“小于”向左画。
4．不等式的基本性质
不等式的基本性1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数
(或式子)，不等号的方向 。
即：如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.


不等式的基本性2：不等式的两边都乘以（或除以）同一
个 ，不等号的方向不变。
即：如果a＜b，c>0，那么ac＜bc，ac＜bc
不等式的基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负
数，不等号的 。
即：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，ac＜bc
（二）解一元一次不等式 1．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数
的式子是整式，未知数的次数是1，像 这样的不等式叫做
一元
一次不等式
。
例如：方程7-3x＞4、6x≤-2x-6、3x≠-2x+150都是一元一次
不等式。
而这些方程5x
2
－3x+1≥0、2x+y＜l－3y、
1
x-1
≠5就不是一
元一次不等式。
2．一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化
为1。
注意：（1）不 等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，
再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合 并
同类项一次，以简便运算。
（2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母< br>时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去
分母时，不要忘记不等式两边的每一 项都乘以最小公倍数（即
公分母）。
不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次
方程的思想照搬过来。
（三）一元一次不等式组
1．一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就
组成一元一次不等式组
与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以
三个，或更多个。
2 ．一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集
的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 < br>3．一元一次不等式组的解集的确定规律：同“大”取大，同
“小”取小，“大”小“小”大中间 找，“大”大“小”小无解了
4．一元一次不等式组的解法：求不等式组的解集的过程,叫做
解不等式组。
一般步骤：
（1）分别解不等式组中的每个不等式；
（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来；
（3）找出各个不等式解集的公共部分；
（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解
集。
（四）一元一次不等式（组）的应用
1．纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用 ；
（2）不等式解集的概念的应用；（3）代数中的应用；
2．实际生活上的应用：（1）调 配问题；（2）行程问题；
（3）工程问题；（4）利息问题；（5）决策问题等。
3．探索 性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有
区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论 并解答。
二、练习
（一）选择题：
1、若a>b则（ ）
A、a－2
a
2

b
2

D、a+5>b+5

2、不等式
1
x>－3的解集是（ ）
2
5、由xay，a应满足的条件
是 。
（三）解答题
1、解不等式并把它的解集在数轴上表示出来
1．三角形 定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首
尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的 边。三
角形专用符号：“△”
A、x>－6 B、x>

6
33
C、x<

D、x<－
22
2．三角形的顶点、边
3、下列结论中，正确的是（ ）
A、
11
4
x<0的解集是x<0 B、

x3
2
的解集是
x<

3
2

C、3x<－5的解集是x>

5
3
D、

x
5
0
的解集是x≥0
4、若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（ ）
A、
x
4
3
B、
x
4
3
C、
x
4
3
D、
x
4
3

{
2x>5
－x≥－4
5、不等组 的整数解是（ ）
A、－4 B、2、3、4 C、3、4 D、4
6、如果不等式（a－1）x>（a－1）的解集是x<1，那么a的
取值范围是（ ）
A、a≤1 B、a>1 C、a<1 D、
a<0
（二）填空题：
1、用不等表示：x的3倍大于5
2、不等式2x－1>0的解集是 ； 不等式－
2x<10的解集是 。
3、x－1<2的正整数解是 。
4、在－2（x+2）<2的两边都除以 时，x+1>－1的依
据是 不等性质3 。

5x－1>8x+3.

2、已知y=5－3x 试求：当x取何值时，y＞o。

3、解不等式
x1
3

x4
2
2


4、 5、


（五）应用题
1、如果关于< br>x
的不等式
_k_x60
正整数解为1,2,3,正整
数
k
应取怎样的值?


2、某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾 馆的底层,每
间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问
该宾馆底层有客 房多少间?


第九章 多边形
一、基本概念
（一）三角形有关概念
组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的
三
边
，
两边的公共点叫三角形的
顶点
。(如点A等)三角形顶点只能用
大写字
母表示，整个三角形表示为△ABC。
3．三角形的内角，外角的概念：
（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的
内 角
，如∠BAC
等。每个三角形有三个内角，
（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组
成的角
叫做三角形的外角，相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?
一个三角形共有几个外角？
4．三角形的分类
（1）三角形按角分类可分为：


锐角三角形 （三个角都是锐角）

直角三角形（有一个角是直角）



钝角三角形（有一个角是钝角）
各类三角形的定义
锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；
直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；
钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。
（2）三角形按边分类可分为： < br>

不等边三角形（三条边都不相等）（又称斜三角形）

角形（只两 边等）

等腰三角形



腰和底不相等的等腰三


腰和底相等的等腰三角形（等边三角形）
各类三角形的定义

不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；
等腰三 角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两
不相邻的两个顶点的线段叫做多边形
(1 )三角形的一个外角
等于
和它不相邻的两个内角的和；
对角线：连结多边形

的对角线。
(2)三角形的一个外角
大于
任何一个和它不相邻的内角。
边叫做等腰三角形的腰。
等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角
形)。
5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）
三角形的中线：三角形的
一 个顶点
与它的
对边中点
的连线叫三
角形的中线。
三角形的角平分线 ：三角形
内角的平分线
与
对边的交点
和这个
内角顶点
之间的 线段叫三角形的角平分线。
三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，
垂足与顶点间的线段
叫三角形的高。
注意：
(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎
样?
[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的
直线交于一点]
(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样
的位置关系?
[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部]
(3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形
呢?
[直角三角形 有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角
形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶 点，
钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直
线的交点在形外。]
(4)以上三线都是线段。
（二）三角形外角的性质以及其外角的和
1．三角形外角的性质：

2．三角形外角的和。
三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)
（1） 三角形外角和的定义：与三角形的每个内角相邻的外角
分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角 相等的两个
外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。
（2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360°
（三）三角形的三边关系
1．三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第
三边。
三角形的任何两边的差小于第
三边。
即三角形第三边的取值范围是：
|任何两边的差|＜第三边＜任何两边的和
以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和
求第三边的取值范围。
2．三角形具有稳定性
这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小
就完 全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边
形就不具有这个性质。
（四）多边形的内角和与外角和
1．多边形及其相关概念
定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成
的平面图形，记为n边形，又称多边形。
一个n边形有n个内角，有2n个外角。
如果多边形的

各边都相等，各内 角也都相等，则称为正多
边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。
从n边形 的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)
条对角线把n边形分成（n-2）个三角形。
从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：
n(n3)
2
条。
2．多边形的内角和公式
n边形的内角和＝(n-2)·180°
3．多边形的外角和。
（1）多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中
分别
取一个相加
，得到的和称为多边形的外角和。
（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。
多边形的外角和与多边形的边数无关。
（五）用正多边形拼地板
1．用相同的正多 边形拼地板：能拼成既
不留空隙
，
又不重叠
的平面图形的关键是围绕一点拼在 一起的几个多边形的内角相
加恰好等于360°。
在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够
拼出完整地面是
这就是说，当(360°÷
(n－2)·180°
n
)为正整数时
即
2n
n-2
为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。
设正多边形的个数为n，每个内角为
α，
则要铺满地面，
它们满足下列关系：
α
n=360°
2．用多种正多边形拼地板
铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内
角的和等于360°
设 正多边形甲的个数为n，每个内角为
α
，正多边形乙的
个数为m，每个内角为
β
，则它们满足下列关系：
α
n+
β
m=360°

二、练习
1．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些
线段为边是否能组成三角形。
(1)3，5，2 (2)a，b，a+b (a>0，b>0)
6．△ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是
( )
A．21．轴对称图形定义：把一 个图形沿着某条直线对折，对折的
两部分是完全重合的，这样的图形称为轴对称图形，这条直线
叫做这个图形的
对称轴
。
7．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为( )
常见的基本轴对称图形：线段、直线、角、等腰三角形、正三
(3)3，4，5
(4)m+1，2m，m+l(m>0) (5)a+1，2，a+5(a>0)
2．如图(1)，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AM⊥BC，AD⊥BE，
那么∠2 ＝∠3＝∠4，你知道这是为什么?



3．如图(2)，DC平分△ABC的外角，与 BA的延长线于D，那
么∠BAC＞∠B，为什么?
4．在下列四组线段中，可以组成三角形的是( )
①1，2，3 ②4，5，6③1，
11
2
,
3
④15，72，90
A．1组 B．2组 C 3组 D．4组
5．下列四种说法正确的个数是( )个 A．1 B．2 C．3
D．4
①一个三角形的三个内角中至多有一个钝角 ②一个三角
形的三个内角中至少有2个锐角 ③一个三角形的三个内角中
至少有一个直角 ④一个三角形的三个外角中至少有两个钝
角

A．17 B．19 C17或19 D．无法确定
8．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足0≤a≤b≤c，
如果b＝4，问这样的三角形有多少个?
9．如图(1)依图填空：
（1）在△ABC中，BC边上的高是
( )
（2）在△AEC中，AE边上的高是 ( )
（3）在△FEC中，EC边上的高是 ( )
（4）AB＝CD＝2cm，AE＝3cm ，则△AEC的面积S=( )，
CE＝( )
10．如图(2)，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠ 2，∠3
＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的数。
11．如图(3)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于
0，那么∠BDC＝90° +
1
2
∠A，你会说明这个结论正确?
12．已知多边形的一个内角的外角与其它各内角和为600°，求
边数及相应的外角的度数。

第十章 轴对称
一、基本概念
（一）轴对称图形的有关概念
角形、长方形、正方形、等腰梯形、菱形、圆等。
注意：轴对称图形是一个图形所具有的特性，不是“两个”图形
的位置。
2．轴对称 （即关于某条直线成轴对称）的定义：把一个图形
沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重 合，那
么就说这两个图形
成轴对称
，这条直线就是它们的
对称轴
，两
个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称
点。
注意：轴对称是两个图形的空间位置，不是“一个”图形的特
性。
3．轴对称 (或关于某条直线成对称的两个图形)的性质：
（1）轴对称图形(或关于某条直线成对称的两个图形 )沿对称
轴对折后的两部分完全重合，所以它的对应线段(对折后重合
的线段)相等，对应角( 对折后重合的角)相等。
（2）关于某直线成轴对称的两个图形的大小和形状完全相
同。
（3）对称轴垂直平分对称点的连线。
4．轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系：
如图(1)，如果沿着虚线对折，直线两旁的部分会完全重
合，那么这个图形就是轴对称图形。
如图(2)，如果沿着虚线折叠，右边的图形会与左边的图
形完全重合，那么就说这两个图形关 于虚线这条直线成轴对
称。

5．如何画图形的对称轴？
（1）画轴对称图形的对称轴
任意找一对对称点，连接 这对对称点，画出所连线段的垂
直平分线。这条垂直平分线就是该轴对称图形的
对称轴
。
（2）画成轴对称两个图形的对称轴：
任意找一对对称点，连接这对对称点，画出所连线 段的垂
直平分线。这条垂直平分线就是该轴对称图形的
对称轴
。
6．画轴对称图形
有一个图形、一条直线，那么如何画出这个图形关于这条
直线的对称图形呢?
（1） 基本思想：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那
么画出图形的各点的关于这条直线成轴对称的对称 点。然后连
结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形。
（2）基本画法规律：“作垂线”，“顺延长”，“取相等”，最后连
接对称点。
（二）线段的垂直平分线相关概念和性质
1．线段是轴对称图形，线段的垂直平分线就是它的对称轴。
2．线段垂直平分线的定义：垂 直并且平分一条线段的直线称
为这条线段的垂直平分线，或
中垂线
。
3．线 段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等。（这是点到点的距离 ，即两点间
的距离）
（注意结合对称性来理解这个性质）


（三）角平分线的性质
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相
等。（这是点到直线的距离）
（四）设计轴对称图案 5个步骤一起来画。


二、练习 一、填空与选择:
1.轴对称图形是指_________,其对称轴是___________.
2.轴对称所具有的性质是________.
3.在照镜子时,小明发现其上衣右上部有一个口袋,则小明上衣
上的口袋应在_________.
4.等腰三角形_______轴对称图形,它的对称轴是________.
5.角和线段均是轴对称图形,其中角有_____条对称轴,其对称轴
是_____.
6.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B=_______.
7.在∠AOB中,OP是其角平分线,且PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
则PE与PF 的关系是_________.
8.如图,DE是线段BC垂直平分线上两点,连DB、DC、EB、EC,
则∠DBC 与∠DCB的关系是_______,∠DBE与∠DCE的关系是
________.
9.下列图案中,是轴对称图形的是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

10.下列图案中,是轴对称,且对称轴有且只有两条的是( )
(A)
(B)
(C)

等腰梯形

等边三角形

矩形

(D)
直角三角形

11.如图,L1、L2、L3表示三条公路相互交叉,现要建一个货物
中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选的地方有几处
( )
A.1 B.2 C.3
B
D.4
M
二、解答 题12.如图,两个班的学生分别在
M、N处参加植树劳动,现在要在道路AB、
N
A C 的交叉处设一个茶水供应站,使点P到
A
C
AB、AC的距离相等,且P到M处, P到N处
的距离也相等,一个同学说:“只要作出角的
D
平分线,线段MN的垂直平分 线,它们的交点
BC
处设茶水供应站就可以.”你认为他的做法对
E
吗?如果 对,请画出P点位置,如果不对,请
说明理由.(10分)

13．请用笔尖在一张对折的纸上扎出一个你喜欢的图案,将纸打
开, 贴在下面空白处,观察你的图案,你发现了什么?请说出
来.(10分)
14．以虚线为对称轴画出图的另一半.(10分)

(1)

(2)

15．在健美操训练房的墙壁上有一面大镜,小明、小颖、珍珍三
人正在训练, 从镜中看,小明在小颖的右后方,而珍珍在小颖的
左前方,小明、小颖、 珍珍上衣上的代码依次可见为 Q、M,你
能说出他们实际所站的方位吗?并请说出他们上衣上的数字或
字母各是多少?(10 分)