端午节的来历故事-历史唯物主义

行程问题-例题答案

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例 1】
甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，
相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二
人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达
A地后都立即沿原路返回，已知二人第二
次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千
米，则 A、 B 两地相距多少千米？
【解析】
两个人同时出发相向而行 ，相遇时时间相
等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时
所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲
走了全程的47；第二次相遇时甲、乙两个
人共走了 3个全程，三个全程 中甲走了
45
31
77
个全程，与第一次相遇地点的距离为
个全 程．所以 A、 B两地相距
542
(1)
777
30
2< br>105
7
(千米)．

【例 2】
B地在A，C两地 之间．甲从B地到A地
去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到
C地去送另一封信，乙出发后 10分，丙发
现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他

从B地出发骑 车去追赶甲和乙，以便把信
调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速
度是甲、乙速度的3倍，丙 从出发到把信
调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】
根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠
倒了此时甲、乙位置如下：
A
10分钟
10分钟
B
10分钟
C

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如
下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相 同丙的
速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需
要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3
－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
A
10分钟
10分钟
B
10分钟
5分钟
5分钟
C

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经< br>距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），
同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分< br>钟），此时给甲应该送的信，换回乙应
该送的信

在给乙送信，此时乙已经距B地：10
＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分
钟），返回B地需要25分钟
所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25
＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟

【例 3】
(“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同
时从
A
、
B
两点出发，甲每分钟行
80
米，乙
每分钟行
60
米，出发一段时间后，两人在距
中点的
C处相遇；如果甲出发后在途中某地
停留了
7
分钟，两人将在距中点的
D< br>处相遇，
且中点距
C
、
D
距离相等，问
A
、
B
两点相距
多少米？
【分析】
甲、乙两人速度比为
80 :604:3
，相遇的时候时
间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走
43
了全程的
7
，乙走了全程的
7
．第二次甲停
留，乙没有停留，且前 后两次相遇地点距离
4
中点相等，所以第二次乙行了全程的
7
，甲
3
行了全程的
7
．由于甲、乙速度比为
4:3
，根
据时间一定 ，路程比等于速度之比，所以甲
33
行走期间乙走了
7

，所以甲停 留期间乙行
4

4331
了
7

，所以
A
、
B
两点的距离为
744
1
607 =1680
4
(米)．

【例 4】
甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，
相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 :
4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度
增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离
A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距
多少千米？
【解析】
5
两车相遇时甲走了全程的
9
，乙走了全程的
4
9
，之后甲的 速度减少 20%，乙的速度增
加 20%，此时甲、乙的速度比为
5(120%):4(120%)5:6
，所以甲到达 B 地时，
468581
乙又走了
9
，所以

，距离 A地

51591545
1
A、 B 两地的距离为
10
45
450
(千米)．

【例 5】
早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1
点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下
午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下
午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千

米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点
小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
【解析】
从题中可以看出小王的速度比小张块．下午
2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3
点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以
下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3
点时小王超过小张 15千米，可知两人的速
度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始
计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在
这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，
那小张 3 小时走了15 30 45  千米，故
小张的速度是 45 ÷3 =15千米时，小王的
速度是15 ＋30 =45千米时．全程是 45 ×3
=135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9
小时，所以他是上午 10 点出发的。

【例 6】
从甲地到乙地， 需先走一段下坡路，再走
一段平路，最后再走一段上坡路。其中下
坡路与上坡路的距离相等。陈 明开车从甲
地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比
第二小时多走 15 千米，第二小时比第三
小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比

走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走
平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相
距多少千米？
【解析】
⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路
不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙 地共用3小时，如果最后一
小时先走了一段平路再走上坡路，也就
是说走上坡路的路程不需要1 小时，那
么由于下坡路与上坡路距离相等，而下
坡速度更快，所以下坡更用不了1小
时 ，这说明第一小时既走完了下坡路，
又走了一段平路，而第二小时则是全在
走平路．这样的话， 由于下坡速度大于
平路速度，所以第一小时走的路程小于
以下坡的速度走1小时的路程，而这个
路程恰好比以平路的速度走1小时的
路程(即第二小时走的路程)多走15千
米，所以 这样的话第一小时走的路程比
第二小时走的路程多走的少于15千
米，不合题意，所以假设不成 立，即第
三小时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第

二小时走了一段下坡路后又走 了一段
平路，这样第二小时走的路程将大于以
平路的速度走1小时的路程，而第一小
时 走的路程比第二小时走的路程多走
的少于15千米，也不合题意，所以假
设也不成立，故第一小 时已走完下坡
路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡
路，还走 了一段平路；第二小时走完平
路，还走了一段上坡路；第三小时全部
在走上坡路．
⑵ 由于第二小时比第三小时多走25千
米，而走平路比走上坡路的速度快每小
时30千米．所以第 二小时内用在走平
路上的时间为
2530
51
6
小时，其余的< br>6
小时
在走上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了15千
米，而< br>1
6
小时的下坡路比上坡路要多走

3015


1
6
7.5
千米，那么第一小时余下的下
坡路所用的时间为

157.5

15
1
2
小时，所以
在第 一小时中，有
112
2

6

3
小时是在下坡

路上走的，剩余的
1
小时是在平路上走
3
的．
因此，陈明走下坡路用了
2
小时，走平
3
5717
路用了< br>1

小时，走上坡路用了
1
36666
小时．
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所
以上坡路与下坡路的速度比是
27
:4:7
．那么下坡路的速度为
36

3015


7< br>105
74
千米时，平路的速度是每小
时
1051590千米，上坡路的速度是每小时
千米．
77
那么甲、乙两地相距
105
2
9060245
(千
366
903060
米)．

模块二、路程相同速度比等于时间的反比

【例 7】
甲、乙两人同时从
A
地出发到
B
地，经过3
小时，甲先到
B
地，乙还需要1小时到达
B
地，此时甲、乙共行了35千米．求
A
，
B
两
地间的距离．
【分析】
甲用3小时行完全程，而乙需要4 小时，说
明两人的速度之比为
4:3
，那么在3小时内的

< br>路程之比也是
4:3
；又两人路程之和为35千
4
米，所以甲所走的路 程为
35
3
即
A
，
20
千米，
4< br>B
两地间的距离为20千米．

【例 8】
上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B
地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去
A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原
来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、
乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙
从 B 地出发时是 8 点几分．
【解析】
甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的
速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟
到达目的地，根据路程一定，时间比等于速
度的反比，如果甲没提速， 那么后面的路甲
需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程
的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的
路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的
路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时
乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发
时是 8 点5 分．

【例 9】
小芳从家到学校有两条一样长的路，一条

是平路，另一条是一半上坡 路，一半下坡
路．小芳上学走这两条路所用的时间一样
多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那
么上坡的速度是平路速度的多少倍？
【解析】
设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半
平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路
的长度相同，根据路程一定，时间比 等于速
5
度的反比，走下坡路所需时间是，因
11.6
511
8
此，走上坡路需要的时间是
2
8

8
，那么，
上 坡速度与平路速度的比等于所用时间的
11
反比，为所以，上坡速度是平路速
1:8 :11
，
8
8
度的
11
倍．

【例 10】
一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750
米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程
3
的
5
时，出了故障，用5分钟修理完毕，如
果仍需在预定时间内到 达乙地，汽车行驶
余下的路程时，每分钟必须比原来快多少
米？
3
【分析】
当以原速行驶到全程的
5
时，总时间也用了
3
5
3
，所以还剩下
50(1
5
修理完
)20
分钟的路程；
毕时还剩下
20515
分钟，在剩下的这段路程
上，预计时间与实际时间之比为< br>20:154:3
，根
据路程一定，速度比等于时间的反比，实际
的速度与预 定的速度之比也为
4:3
，因此每分
钟应比原来快
750
4
750250
米．
3
小结：本题也可先求出相应的路程和时间，
再采 用公式求出相应的速度，最后计算比原

来快多少，但不如采用比例法简便．

【例 11】
王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，
车速即比原计划的 速度提高了19，结果提
前一个半小时到达；返回时，按原计划的
速度行驶 280 千米后，将车速提高16，
于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、
上海两市间的路程是多少千米？
【解析】
从开始出发，车速即 比原计划的速度提高了
19，即车速为原计划的109，则所用时间
为原计划的1÷109=9 10，即比原计划少用
110的时间，所以一个半小时等于原计划时
间的110，原计划时间为 ：1.5÷110=15(小
时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将
车速提高16， 即此后车速为原来的76，则
此后所用时间为原计划的1÷76=67，即此
后比原计划少用1 7的时间，所以1 小时
40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米
后余下时间的17，则按原计划的速度行驶
280 千米后余下的时间为：
5 3÷17=353(小时)，所以，原计划的速度
为：84(千米时)，北京、上海两市间的路程

为：84 ×15= 1260(千米)．

【例 12】
一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高
20%可以提前1小时到达．如果按原速行
驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也
可以提前1小时到达，那么按原速行驶了
全部路程的几分之几？
【解析】
车速提高 20%，即为原速度的65，那么所
用时间为原来的56，所以原定时间为
5
1(1)6
6
小时；如果按原速行驶一段距离后
再提速 30% ， 此时速度为原速度的1310，
所用时间为原来的1013，所以按原速度后
1
面这段 路程需要的时间为
1(1
10
所
)4
小时．
133< br>5
以前面按原速度行使的时间为
64
1

小时，
3 3
根据速度一定，路程比等于时间之比，按原
5
速行驶了全部路程的
5
6

318

【例 13】
一辆车从甲地开往乙地．如果车 速提高
20%
，
可以比原定时间提前1小时到达；如果以
原速行驶120千米 后，再将车速提高
25%
，

则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地
相距多少千米？
【分析】
车速 提高
20%
，速度比为
5:6
，路程一定的情
况下，时间比应为6:5
，所以以原速度行完全
5
程的时间为
1
6
 6
小时．
6
以原速行驶120千米后，以后一段路程
为考察对象，车速提高
25%
，速度比为
4:5
，
所用时间比应为
5:4
，提前40分钟到达，
则用原速度行驶完这一段路程需要
405410

小时，所以以原速行驶120千
6053
8
米所用的时间为
6
10

小时，甲、乙两
33
地的距离为
120
8
6 270
千米．
3

【例 14】
甲火车
4
分 钟行进的路程等于乙火车
5
分钟
行进的路程．乙火车上午
8:00
从
B
站开往
A
站，开出若干分钟后，甲火车从
A
站出发开往
B
站．上午
9:00
两列火车相遇，相遇的地
点离
A
、
B
两站的距离的比是
15:16
．甲火车从
站发车的时间 是几点几分？
［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙
火车相同时间内的行程比也已知 ．由此
可以求得甲火车单独行驶的距离与总
路程的比．
A

根据题意可知，甲、乙两车的速度比为
5:4
．
从甲火车出发算起，到相遇 时两车走的
路程之比为
5:415:12
，而相遇点距
A
、
B
两
站的距离的比是
15:16
．说明甲火车出发
前乙火车所走的 路程等于乙火车
1
个小
时所走路程的

1612

16
1
．也就是说乙比
4
甲先走了一个小时的四分之一，也就是
15分钟．所以甲火车从
A
站发车的时间
是
8
点
15分．

模块三、比例综合题

【例 15】
小狗和小猴参 加的100米预赛．结果，当
小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决
赛时，自作聪明的小猴 突然提出：小狗天
生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，
我提议把小狗的起跑线往后挪10 米．小狗
同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗
就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说
小猴会如愿以偿吗？
【解析】
小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100
米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为
那么把小狗的起跑线往后挪10米
100:90 10:9
；

后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，
9
小猴跑了
110
10
离终点还差1米，所以
99
米，< br>它还是比小狗晚到达终点．

【例 16】
甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经
过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小
时到达 B 地，此时甲、乙共行了 35 千
米．求 A， B 两地间的距离．
【解析】
甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过
的路程是固定
所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时
（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相同时间内共行35千米时，相
当与甲走4份，已走3份，
所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所
以，A、B两地间距离为20千米

【例 17】
甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后
1
小时，乙从同地同路同向出发，步行
2
小时到达甲
于
45
分钟前曾到过 的地方．此后乙每小时多
行
500
米，经过
3
小时追上速度保持不变 的

甲．甲每小时行多少米？
［分析］根据题意，乙加速之前步行< br>2
小时的路
程等于甲步行
2.25
小时的路程，所以甲、
乙的 速度之比为
2:2.258:9
，乙的速度是甲
的速度的
1.125
倍；
乙加速之后步行
3
小时的路程等于甲步
行
3.75
小时的路程，所以加速后甲、乙的
速度比为
3:3.754:5
．加速后乙的速度是 甲
的速度的
1.25
倍；
由于乙加速后每小时多走500米，所以
甲的速度为
500

1.251.125

4000
米小时．

【例 18】
甲、乙两人分别骑车从
A
地同时同向出发，
甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟后丙也
骑车从
A
地出发去追甲．丙追上甲后立即按
原速沿原路返回，掉头 行了3千米时又遇
到乙．已知乙的速度是每小时
7.5
千米，丙
的速度是乙的 2倍．那么甲的速度是多少？
丙
甲
B
3
乙
ADE3
C

［分析］
丙的速度为
7.5215
千米小时，丙比甲、乙晚
出 发12分钟，相当于退后了
15
12
3
千米后与
60
甲 、乙同时出发．

如图所示，相当于甲、乙从
A
，丙从B
同
时出发，丙在
C
处追上甲，此时乙走到
D
处，然后 丙掉头走了3千米在
E
处和乙
相遇．
从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所
以乙走了
321.5
千米，故
CD
为
4.5
千 米．那
么，在从出发到丙追上甲这段时间内，
丙一共比乙多走了
34.57.5< br>千米，由于丙
的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追
上甲时，乙走了
7.5千米，丙走了15千
米，恰好用1个小时；而此时甲走了
7.54.512
千 米，因此速度为
12112
(千米
小时)．

【例 19】
甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山
顶后就立即下山，他们两人的下山速度都
是各 自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速
度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山
顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰
好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少
小时？
【解析】
甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲
恰好到半山腰，
说明甲走过的路程应该是一个单程的

1×1.5+12=2 倍，
就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2
倍。
两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一
段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，
所以甲下山要用12 小时。 甲一共走了
1+12=1.5（小时）


课后作业

练习1.
甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、
B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是
3
乙车的速度的
7
，并且甲、乙两车第 2007
次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与
第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千
米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少
千米？
【解析】
甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设
整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中
甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了
3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相
遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，

所以总长为 120÷［12045-12040-
（12040-12039）]×10=300 米.

甲、乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发，相
向而 行，出发时他们的速度之比是
3:2
，他们
第一次相遇后甲的速度提高了
20 %
，乙的速
度提高了
30%
，这样，当甲到达
B
地时，乙离
A
地还有
14
千米，那么
A
、
B
两地的距 离是多
少千米？
【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相
同，所以第一次相遇时 甲、乙两人行的
路程之比也为
3:2
，相遇后，甲、乙两人
的速度比为


3

120%



:


2

130%



3.6 :2.618:13
；
到达
B
地时，即甲又行了
2
份的路 程，这
时乙行的路程和甲行的路程比是
18:13
，
134
即乙的路 程为
2
18
乙从相遇后到达
A
1
．
9
练习2.
45
还要行
3
份的路程，还剩下
31
9
1
(份)，
9
正好还剩下
14
千米，所以
1
份 这样的路程
5
是
141
9
9
(千米)．
、< br>B
两地有这样的
325
(份)，因此
A
、
B两地的总路程为：
9

32

45
(千米)．
A

练习3.
小明和小刚进行
100
米短跑比赛(假定二 人的
速度均保持不变)．当小刚跑了
90
米时，小
明距离终点还有
2 5
米，那么，当小刚到达终

点时，小明距离终点还有多少米？ 【分析】当小刚跑了
90
米时，小明跑了
1002575
米，
在相同时间里，两人的速度之比等于相
应的路程之比，为
90:756:5
；在小 刚跑完
剩下的
1009010
米时，两人经过的时间相
同，所以两人的路 程之比等于相应的速
度之比
6:5
，则可知小明这段时间内跑了
525255 02
10
米，还剩下
2516
米．
63333

客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向
行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地
还有22千米，已知货车与客车的速度比为
5:6
，甲、乙两地相距多少千米？
【分析】
货车与客车速度比
5:6
，相同时间内所行路程
的比也为
5:6
，那么客车走的路程为
65
22132
(千米)，为全 程的一半，所以全程
6
练习4.
是
1322264
(千米)．

练习5.
甲、乙两人从
A
，
B
两地同时出发， 相向而
5
行．甲走到全程的
11
的地方与乙相遇．已知
甲每小时走< br>4.5
千米，乙每小时走全程的
1
．求
3
A
，
B
之间的路程．
【分析】
相同的时间内，甲、乙路程之比为
5:

115

5:6
，
因此甲、乙的速度比也为
5:6
，所以乙的速度

为
4.5
6
5.4< br>千米时．两地之间的路程为：
5
5.41
1
3
16.2
千米．