钟面行程问题讲解
2014河北高考分数线-不负如来不负卿意思
什么是钟面行程问题？
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，
常见的有两种：⑴研究时针、分针成
一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；⑵
研究有关时间误差的问
题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追
赶时针，或是分针超越时
针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．
钟面行程问题例题讲解3（时间误差问题）
什么是电梯行程问题？
与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行
船问题类似的，自动扶梯的速度有以
下两条关系式：
与流水行船不同的是，自
动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是单位时间运动了多
少米，一种是单位时间走了多少级台阶，这两
种速度看似形同，实则不等，拿流水行程
问题作比较，单位时间运动了多少米对应的是流水行程问题中的
船只顺(逆)水速度，而
单位时间走了多少级台阶对应的是船只静水速度，一般奥数题目涉及自动扶梯的
问题中
更多的只出现后一种速度，即单位时间走了多少级台阶，所以处理数量关系的时候要非常
小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．
电梯行程问题的基本解题思路
电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。有两点需要注意，一是“总行程＝电梯可见部分级
数±
电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，
其总行程仍然
是电梯可见部分级数±电梯运行级数）
商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子
在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往
上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了
80级到达楼下。如果男孩
单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯
级有多少级？
分析：因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩
走40级到达楼
上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷2＝20（级）
所以扶梯可
见部分有?80-20＝60（级）。
行程自动扶梯解析
1.（测评题）小偷与警察相隔30秒先后逆向跑
上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，
警察每秒可跨越4级阶梯。已知该自动扶梯共有150级阶梯
，每秒运行1.5级阶梯，问警察
能否在自动扶梯上抓住小偷？答：_____。
分析：
全部以地板为参照物，那么小偷速度为每秒1.5级阶梯，警察速度为每秒2.5
级阶梯。警察跑上电梯
时相距小偷1.5×30＝45级阶梯，警察追上小偷需要45秒，在这45
秒内，小偷可以跑上1.5
×45＝67.5级阶梯，那么追上小偷后，小偷在第112～第113级阶
梯之间，没有超过150，
所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。
2.在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同
时乙站在速度相等的并排扶
梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了6
0级，如果他
一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，那么，自动扶梯不动时从下到上要走多少
级？
分析：向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差。
当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端
再反
身向下走，则一共要走80级，
60÷80=34，这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层
总高度的34。则甲和自动
扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是34：(1-34)=3：1，即甲的
速度与自动扶梯速度之
比2：1，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度
的13，所
用时间为向上走的3倍，则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的3倍.因此甲向上走了80
÷(3+1)=20级台阶。甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲走20级台阶的同时自动扶梯向<
br>上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走20+10=30级台阶。
3.
商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上
走，男孩由上往
下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单
位时间内走的扶梯级数是女
孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？
分析：因为男孩的速度是女孩的2倍
，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼
上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行
了（80-40）÷2＝20（级）所以扶梯可
见部分有 80-20＝60（级）。
繁分数化简的方法
把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。
繁分数的化简一般采用以下四种方法：
1）先找出中主分线，确定分子部分和
分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计
算结果能约分的要约分，最后改成“分子部分÷分母
部分”的形式，再求出结果。
2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子
部分和分母部分同
时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从
而去
掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。
(3)繁分数的化简一般由下至上，由左到右，逐次进行化简。
繁分数的分子部分和分母部分
有时也出现是小数的情祝，如果是分数和小数混合出现的形
式，可按照分数、小数四则混合运算的方法进
行处理。即：把小数化成分数，或把分数化成
小数后再进行化简。
当分子部分和分母部分都统
一成小数后，化简的方法是：中间约分时，把小数看成整数，但
要注意小数点不要点错位置。
也可以根据分数的基本性质，把繁分数的分子部分和分母部分都变成整数连乘，然后交叉约
分算出结果来
。
通过观察可以看到：分子部分的各个因数一共有三位小数；分母部分的各个因数一共有两位
小数。针对这个情况，分子和分母同时扩大1000倍，就都变成了整数。
在此基础上进行约分，即可得出最后的结果。
(4)利用整数的运算性质进行化简,通常可用拆分法或找规律法
繁分数的计算练习题及答案讲解1
繁分数的计算练习题及答案讲解2
繁分数的计算练习题及答案讲解3
繁分数的计算练习题及答案讲解4
什么是换元法
换元法解方程例题讲解1
换元法解方程例题讲解2
六年级计算问题：换元法
难度：中难度
解答：设出第二部分为a，第四部分为b，
最后结果为9
什么是裂项法求和？
裂项法的实质是将数
列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达
到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1n(n+1)=1n-1(n+1)
（2）1(2n-1)(2n+1)=12[1(2n-1)-1(2n+1)]
（3）1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]
裂项求和的易错点是什么？
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部
分项都互相抵消了。只剩
下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点
：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1(3×5)=13-15（等式右边
应当除以2
）
例3、
计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99
分析：这个
算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先
将所有的相邻三项分
别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为
1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）
3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）
……
96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）
97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）
右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷
（1
×4）。
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99
=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）
=23527350
例4、计算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）
=2147376 <
br>通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，
再把所
有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中
最前面一项向前伸展一
个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可
以概括一个口诀是：等差数列数，依次
取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，
差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，
因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数
，
减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再
加上
第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。