行程问题 柳卡图
2019高考数学题-浙江大学教务网
行程问题-柳卡图
1、关于柳卡图
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有
一天，正当来自世界各国的许多著名数学家
晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困
扰他很久、自认“最困
难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同
一
时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是7昼夜，而且都
是匀速航
行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程
中，将会遇到几艘同一公司的
轮船从对面开来?”
此题的叙述如下：
每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时
刻也有一艘轮船从纽约开往哈
佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽
约前（途
中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
他先画了如下一幅图：
这是一张运行
图．画两条平行线，一条直线表示哈佛，另一条表示纽约．那么，从
哈佛或纽约开出的轮船，可用图中的
两组平行线簇来表示．图中每条线段分别表示每
条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航
行，它与其他线段的交点即
为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛
开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约
开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相
遇的15艘船中，有1艘是在
1
出发时遇到（从纽约刚到达哈佛）
，1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下
13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船
相遇的时间是每天中午和子夜．如
果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以
后开出的轮船
而忽略了已在海上的轮船．
2、在多次相遇里的行程问题应用
多次相
遇行程问题的必备工具——柳卡图。柳卡图，也称为折线图，可以很好的解
决复杂的行程问题。快速的解
法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按
要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够
清晰的体现运动过程中“相遇的次
数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示
意图法一般需
要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。其中相遇”两字广义上讲，
只要两人在同一地点就算相遇，因次分为两种情况，一种叫做迎面相遇（即我们平时
说的相遇问题），
一种叫做追及相遇（即我们平时说的追及问题），一般题目说的相
遇，我们默认指的是迎面相遇，若题目
说只要两人在同一地点算做一次相遇，那么这
时两种情况都要算，那么柳卡图怎么画呢？
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3
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例7】甲、乙两人在一条长90米的
直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的
速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路的两端A、B出
发，当他们跑了12分钟后，
共相遇几次？
【解析】多次相遇，先计算甲乙两人分别走一个全
程需要的时间:甲需要30秒，乙
需要45秒。而后作如下所示的柳卡图，甲用实线表示，乙用虚线表示
。
在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。所以甲、乙共相遇了[12
÷
（180÷60)]×5=20（次）
【补充】
甲、乙两人在一条长为30米的
直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度
是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发
，当他们跑了10分钟后，共相遇
几次？
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首先，甲跑
一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷0.6=50（秒）．与
上题类似，画运
行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇
的地点）：
从图中可以看
出，甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开
始，这正好是一周期150秒．在
这一周期内两人相遇5次，所以两人跑10分钟，正好
是四个周期，也就相遇5×4=20（次）
备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及
相遇。
以上即为关于柳卡图的补充和说明，主要是用于解决多次相遇的一些技巧。关于柳卡
图的应用，
我们在五年级还将在做补充，把它和“沙漏模型”结合起来学习，到时用
来求解距离。
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