相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的
速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.
一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即
(二) 追及问题
有 两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追
上他.这就 产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的
路程，也就是要计 算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时
间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间- 乙的速度×追及时间＝（甲的速度-
乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即
(三) 在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同
(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
二、火车过桥常见题型及解题方法
(一) 火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，
解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；
(二) 火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，
解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；
(三) 火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，
（1）火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；
（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；
（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人（速度为所在火车速度）的相遇和追及问题
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度

人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；
(四) 火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，
（1）错车问题：相当于相遇问题，
解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间；
（2）超车问题：相当于追及问题，
解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；
三、流水行船知识要点
在流水行船问题中，因为水 本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度
的影响，具体为：
①顺水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题）
由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速
度。
流水行船问题中的相遇与追及
S
和
=V
和
t

S
差
=V
差
t

2 10

①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速
②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.
甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速
也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速
没有 关系.
四、时钟问题解题方法
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问 题，不过这里的两个“人”分
别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问 题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时
钟上时针与分针所成的角度等等。
时 钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或
者千米每小时，而 是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常
的时钟，
具体为：整 个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格
为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
时针速度：每分钟走
1
小格，每分钟走0.5度
12
注意：但是在 许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们
的时针和分针每分钟走的度 数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行
独立的分析。
要把时钟问题当 做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追
及问题。
五、多次相遇问题
所有行程问题都是围绕“
路程速度时间
”这一条基本 关系式展开的，多人相遇与追及问题虽
然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量， 问题即可迎刃而解．
(一) 多次相遇与全程的关系
第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
„„„„， „„„„„„；
第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下的次与次之间 都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次
都走2N米。
2、同地同向出发：
第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
1、两地相向出发：
3 10

„„„„， „„„„„„；
第N次相遇，共走2N个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键 几个全程
多人相遇追及的解题关键 路程差
(二) 解多次相遇问题的工具——柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按
要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相
遇的地点” ，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体
走完一个全程时所用的 时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说
不容易。
六、比例解行程
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小 学“压轴知识点”
的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独 厚”的优势，往往体现在方法
的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例 的技巧不仅可用于解
行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常 会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、
s
乙< br>来表示，大体可分为以下两种情况： 时间、路程分别用
v
甲
,v
乙< br>；t
甲
,t
乙
；s
甲，
1. 当2个物体运行速度在 所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路
程之比就等于他们的速度之比。
s
甲

s
甲
v
甲
t
甲
s< br>乙
t，t
ttt
，这里因为时间相同，即,所以由

乙
甲
乙
甲
vv
svt
乙
甲

乙乙乙
得到
t
s
甲
s
乙
sv

，
甲

甲
，甲乙在同一段时间
t
内的路程之比等于速度比
v
甲
v
乙
s
乙
v
乙
2. 当2个 物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用
的时间之比等于他们速度 的反比。

s
甲
v
甲
t
甲
，这里因 为路程相同，即
s
甲
s
乙
s
，由
s
甲
v
甲
t
甲
，s
乙
v
乙
t
乙


svt

乙乙乙
得
sv甲
t
甲
v
乙
t
乙
，
v
甲
t
乙

，甲乙在同一段路程
s
上的时间之比等于速度比的 反比
v
乙
t
甲
思维突破

行程三要素： 【例1】甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中乘客问司机距
1
乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的加上未走路的2倍，恰好等于已走路 程。
3
又知出租车的速度是30千米时，那么现在的时间是几点几分？

4 10

【例2】小丽8点整出门，步行去12千米远的小红家，她步行的速度是每 小时3千米，但她每50分钟就
要休息10分钟，则她到小红家是几时几分。





【例3】有两人分别从甲、乙两地同时相向而行，在A处相遇。如果两 人各自提速20％，仍从甲、乙两地
同时相向而行，在B处相遇，则 ( )
(A)A在甲与B之间 (B)B在甲与A之间
(C)A与B重合 (D)A，B的位置关系不确定．






【例4】甲乙丙三位长跑运动员同时同地出发跑 步，甲平均每秒钟跑5米，乙平均每分钟跑288米，丙一
小时跑了18.3千米．他们三人按平均速度 由大到小的顺序排列是( )






相遇与追及
【例5】一辆客车和一辆货车同时从相距322千米的两地相向而行。 货车每小时40千米，客车每小时52
千米。几小时后两车相距46千米？（分析各种可能出现的情况）






【例6】一列快车从甲站到乙站要5 小时，一列慢车从甲站到乙站要8小时，现两车同时相向而行，途中
慢车因故修理两小时，所以在离开中 点84千米相遇，求甲乙两地的距离？





【例7 】甲乙两人相距13千米，两人同时同向行走，乙在前，每小时行4千米,甲在后,每小时行6千米,
5 10

经过多少小时甲超过乙3千米？





【例8】甲，乙两人在圆形跑道上跑步。已知甲地速度比乙快。若两人在同一地方 同时出发，同向而行，
则3分20秒可以第一次相遇；若反向而行，则经40秒可第一次相遇。已知甲的 速度是每秒6米，
这个圆形跑道的直径有多少米？（圆周率取3）（6分）





【例9】在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以
90千米小时的速度行驶，后面一辆汽车以
108
千米
小时的速度行驶．后面的汽车刹 车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后
5
秒钟撞上了
前面的汽车．在这 辆车鸣笛时两车相距多少米？






【例 10】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是
20
米分 ，下山
的速度都是
30
米分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息
30分钟后返回，两人在距山顶
480
米
处再次相遇。山道长多少米？






火车过桥问题
【例11】一列快车车 身长200米,每分钟行500米,这列快车通过长800米的隧道需要多少分钟?





【例12】一座铁路桥长
1200
米，一列火车开过 大桥需要
75
秒，火车开过路旁一信号杆需要
15
秒，求火车
6 10

的速度和车身长






【例13】一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两 个车头相遇到车尾
相离经过20秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到 客车尾离开
货车头经过120秒。客车的速度和货车的速度分别是多少？






【例14】一个车队以4米秒的速度缓缓通过一座长200 米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车
间隔10米。问：这个车队共有多少辆车?






【例15】李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头
经过窗口时，他开始计时，直 到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒．已知货车车厢长
15.8米，车厢间距1.2 米，货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？





流水行船问题
【例16】两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时. 逆流而上，行完全程需要16小时，
求这条河水流速度。





【例17】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上 行需要7小时．求：
7 10

这两个港口之间的距离?






【例18】某人畅游长江，逆流而上，在
A
处丢失一只水壶，他向前又游了
20
分钟后，才发现丢失了水壶，
立即返 回追寻，在离
A
处
2
千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？







【例19】某人乘船由< br>A
地顺流而下到达
B
地，然后又逆流而上到达同一条河边的
C
地，共用了3小时．已
知船在静水中的速度为每小时8千米，水流的速度为每小时2千米．如果
A
、
C
两地间的距离为2
千米，那么
A
、
B
两地间的距离是多少千米？






时钟问题
【例20】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？






【例21】在一段时间里，时针、分钟、秒针转 动的圈数之和恰好是1466圈，那么这段时间有多少秒？






【例22】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？
8 10

【例23】一部电影 放映的时间大约2小时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、
分针的位置交换了 一下。这部动画片放映了多长时间？






多次相遇问题
【例24】甲从东村, 乙丙从西村同时相向而行,甲每分钟行70米, 乙每 分钟行60米,丙每分钟行50米,途
中甲和乙相遇6分钟后,和丙相遇.甲丙从出发到相遇共用了多少 分?







【例25】甲、 乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即
返回原地， 途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。






【例26】
A
、
B
两地相距950米。甲、乙 两人同时由
A
地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；
乙跑步，每分钟行 150米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距
B
地最近？






比例解行程
9 10

【例27】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46
追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起 学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提
高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如
果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．






【例28】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米 处相遇．相遇后继续前进
到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的 距离？






【例29】如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第
一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.





【例30】甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在
甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲每
分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走多
少米？甲下一次遇到丙时，甲、乙相距多少米？
10 10