行测数学运算(行程问题)
上海交通大学分数线-两会结束时间
五、行程问题
1.相遇问题
知识要点提示:
甲从A地
到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了
A,B之间这段路程,如果两
人同时出发,那么
AB之间的路程
=甲走的路程+乙走的路程
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间
=速度和×相遇时间
“相遇问题”的核心是速度和问题。
例题:两列对开的列车相
遇,第一列车的车速为10米/秒,第二列车的车速为12.5米/
秒,第二列车上的旅客发现第一列车
在旁边开过时共用了6秒,则第一列车的长度为多少
米?
A.60米
B.75米 C.80米 D.135米 (2004年A类真题)
解析:这是一个典型的速度和问题,两列火车的速度和为10米/秒+12.5米/秒=22.5
米/秒
,两列火车以这样的速度共同行驶了6秒,行驶的距离也即第一列火车的长度。
即22.5米/秒×6秒=135米。
2.追及问题
知识要点提示:
有
两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时
间就能追上他。这就
产生了“追及问题”。实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走
得慢的人多走的路程,也就是要计
算两人走的速度之差。如果设甲走得快,乙走得慢,在相
同时间(追及时间)内:
追及路程
=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
=(甲的速度-乙的速度)×追及时间
=速度差×追及时间
“追及问题”的核心是速度差的问题。
例题: 甲乙两船同时从两个码头出发,方向相同,乙船在前,
每小时行24千米,甲船在后,
每小时行28千米,4小时后甲船追上乙船,求两个码头相距多少千米?
解析:甲对乙的追及速度差=28千米小时-24千米小时=4千米小时,追及时间为4小
时,
则追及的距离为4千米小时×4=16千米,这也即两码头之间的距离。
3.流水问题
知识要点提示:
我们知道,船顺水航行时,船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进,
同时整个
水面又按水的流动速度在前进,因此船顺水航行的实际速度(简称顺水速度)就等于船速与水速的和,即
顺水速度=船速+水速
同理
逆水速度=船速-水速
可推知
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
例题1:
一条河的水流速度是每小
时2千米,一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙
地,然后逆流到达中游的乙地,共用6小时。已
知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍,从
甲地到乙地相距12千米。求甲、乙丙两地的距离。
解析:先求出船在顺流中的速度。因为船在顺流中每小时要加上2千米,在逆流中要减去2<
br>千米,两者相差2+2=4(千米),那么船在顺流通渠道的时速是4×2=8(千米)。因为顺流
速度等于逆流船速的2倍,所以船从上游到达下游所用的时间应等于船从下游到中游所用的
时间。那只
船从上游到下游所用的时间是6÷2=3(小时),甲、丙两地相距3×8=24(千米)。
例题2:小王从甲地到乙地,因有风,所以去时用了2个小时,回来时用了3个小时。已知
甲乙两地的
距离是60公里,求风速是多少?
A 5公里小时 B 10公里小时
C 15公里小时 D 20公里小时所以风速
为5,答案为A。
例题3:河水
的流速是每小时2000米,一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地,
然后调头逆行向上到达中
游的乙地,共用时6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2
倍,甲、乙两地相距12千米,问甲、
丙两地相距多少千米?
A 24 B 18 C 16 D
14
解析:设逆水速度为V,则顺水速度为2V,设乙、丙两地相距S千米,则可列式如下:
根据顺水速度和逆水速度的公式可知,V+2(公里)=2V,则V=2(公里),另外可知:
(12+S)4+S2=6 解得S=12。
所以,甲、丙两地的距离为12+12=24,即A。
4.行程问题的相关例题
例1 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯
上
,男孩每秒钟向上走2个梯级,女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达,
女孩用50秒钟
到达。则当该扶梯静止时,可看到的扶梯级有:
A.80级 B.100级
C.120级 D.140级 (2005年中央真题)
解析;这是一个典
型的行程问题的变型,总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”,速度为
“男孩或女孩每个单位向上运动
的级数”,如果设电梯匀速时的速度为X,则可列方程如下,
(X+2)×40=(X+32)×50
解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=(2+0.5)×40=100
所以,答案为B。
例2 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛,当甲
跑1圈时,乙比甲多跑
17圈。丙比甲少跑17圈。如果他们各自跑步的速度始终不变,那么,当乙到达
终点时,
甲在丙前面:
A.85米 B.90米 C.100米
D.105米 (2005年中央真题)
解析:此题的解题关键是要跳出微观,在
宏观上进行解题。依据行程问题的公式,在时间相
同的情况下,路程比等速度比,所以可知乙、甲、丙的
速度比为87圈:1圈:67圈=8:7:
6,所以当乙跑了2圈(800米)时,甲跑了700米,丙
跑了600米。
所以,正确答案为C。
例3 某船第一次顺流航行21千
米又逆流航行4千米,第二天在同一河道中顺流航行12千
米,逆流航行7千米,结果两次所用的时间相
等,假设船本身速度及水流速度保持不变,则
顺水船速与逆水船速之比是:
A.2.5:1
B.3:1 C.3.5:1 D.4:1 (2005年中央真题)
解析:典型流水问题。如果设逆水速度为V,设顺水速度是逆水速度的K倍,则可列如下
方程:
21KV+4V=12KV+7V
将V约掉,解得K=3
所以,正确答案为B。
例4 姐弟俩出游,弟弟先走一步,每分钟走40米,走了80米后姐姐去追他。姐姐每分钟
走60米,姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐,碰上了姐姐又转
去追弟弟,
这样跑来跑去,直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?
A.600米
B.800米 C.1200米 D.1600米 (2003年中央A类)
解析:此题将追及问题和一般路程问题结合起来,是一道经典习题。
首先求姐姐多少时间可以
追上弟弟,速度差=60米分-40米=20米分,追击距离=80米,
所以,姐姐只要80米÷20米
分=4分种即可追上弟弟,在这4种内,小狗一直处于运动状
态,所以小狗跑的路程=150米分×4分
=600米。
所以,正确答案为A。
例5 某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告,往
返需1小时。该劳模在下午1点整就离
厂步行向学校走来,途中遇到接他的车,便坐上车去学校,于下午
2点30分到达。问汽车
的速度是劳模的步行速度的几倍?
A.5倍
B.6倍 C.7倍 D.8倍 (2003年中央B类)
解析, 如果接劳模往返需1小时,而实际上汽车2点出发,30分钟便回来,这说明遇到劳
模
的地点在中点,也即劳模以步行速度(时间从1点到2点15分)走的距离和汽车所行的
距离(2点到2
点15分)相等。设劳模的步行速度为A小时,汽车的速度是劳模的步行速
度的X倍,则可列方程
54A=14AX
解得 X=5
所以,正确答案为A。
例6
一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶462公里或者在城市道路上行驶336
公里,每公升汽
油在城市道路上比在高速公路上少行驶6公里,问每公升汽油可供该汽车在
城市道路上行驶多少公里?
A.16 B.21 C.22 D.27
(2003年中央B类)
解析:基本路程问题,采用方程法,设每公升汽油可供该汽车在城市道路上行
驶X公里,
则可列如下方程
462÷X=336÷(X-6)
解得X=22
所以,正确答案为C。
注:此题亦可用速度差和路程差的关系来求解,速度将更快,详解过程本书略。
例7 甲、
乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发,8分钟后两人第三次相遇。
已知甲每秒钟比乙每秒
钟多行0.1米,那么,两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最
短距离是
A.166米 B.176米 C.224米 D.234米
(2000年中央真题)
解析,此题为典型的速度和问题,为方便理解可设甲的速度为
X米分,乙的速度为Y米
分,则依题意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 (速度差0.1米秒=6米分)
从而解得 X=78 Y=72
由Y=72,可知,8分钟乙跑了576米,显然此题距起点的最短距离为176米。
例8
列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米。两车错车时,甲车
上一乘客发现:从
乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒,求
乙车的车长。
解析:首先应统一单位:甲车的速度是每秒钟36000÷3600=10(米),乙车的速度是
每秒钟
54000÷3600=15(米)。本题中,甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟
10米的
速度在运动,乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动,因此,我们只需研究下面
这样一个运动过程即可
:从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起,乙车车头和甲车乘客
开始作反向运动14秒,每一秒钟,
乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大(10+15)米,因
此,14秒结束时,车头与乘客之间的距离
为(10+15)×14=350(米)。又因为甲车乘客最
后看到的是乙车车尾,所以,乙车车头与甲
车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙
车车身的长度,即:乙车车长就等于甲、乙两车在14秒
内所走的路程之和。
解:(10+15)×14
=350(米)
最后得,乙车的车长为350米。
例9 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地
同时出发相向而行,甲骑车,乙步行,在行走
过程中,甲的车发生故障,修车用了1小时。在出发4小时
后,甲、乙二人相遇,又已知甲
的速度为乙的2倍,且相遇时甲的车已修好,那么,甲、乙二人的速度各
是多少?
解析:设乙的速度为X,则甲的速度为2X,并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以,甲的速度为20千米小时,乙的速度为10千米小时。
例10 某列车通过250米长
的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车比另一
列长150米。时速为72千米的列
车相遇,错车而过需要几秒钟?
解析:首先应明确几个概念:列车通过隧道指的是从车头进入
隧道算起到车尾离开隧道
为止。因此,这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长;两车相遇,错车而
过指的是从
两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止,这个过程实际上是一个以车头的相遇点为<
br>起点的相背运动问题,这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和。因
此,错
车时间就等于车长之和除以速度之和。
设某列火车的车长为X,则根据速度相等可列如下方程:
(250+X)÷25=(210+X)÷23
解得X=250
火车的速度为20米秒 72公里时=20米秒
错车时间为(250+150)÷(20+20)=10
所以,错车时间为10秒。
例11甲、乙、丙三人沿湖边散步,同时从湖边一固定点出发,甲按顺时针方向行走,乙与
丙按逆时针
方向行走,甲第一次遇到乙后
1
13
分钟遇到丙,再过
3
分钟第二次
遇到乙。已
4
4
知乙的速度是甲的
2
,湖的周长为6
00米,则丙的速度为;
3
A.24米/分 B.25米/分 C 26米/分
D.27米/分 (2003年浙江真题)
『答案』 A
『解析』 解题关键点为“相遇问
题的核心是‘速度和’的问题”可设甲的速度为
x
,则乙
213
x
,
又根据“甲第一次遇到乙后1分钟遇到丙,再过3分钟第二次遇到乙”,
344
213
可知(
x
+
x
)×(
1
+
3
)=600,
则
x
=72,如果设丙的速度为
y
,则有(
x
+
y
)
34
4
131
×(
1
+
3
+<
br>1
)=600,从而解得
y
=24。
4
44
的速度为