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行程问题之间隔发车问题

由李老师收集整理而成、
2、小明放学回 家,他沿一路电车的路线步行,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来，每搁12分钟，
有一辆一 路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那
么一路电 车每多少分钟发车一辆？
同向时
电车12分钟走的路程- 小明12分钟走的路程=发车间隔时间*车速
反向时

电车6分钟走的路程+小明6分钟走的路程=发车间隔时间*车速
则:电车6分钟走的路程=小明18分钟走的路程
小明12分钟走的路程=电车4分钟走的路程
电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程
电车12分钟走的路程-电车4分钟走的路
=电车8分钟走的路程
=发车间隔时间*车速
所以,发车间隔时间为8分钟

3、一条公路上， 有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共
汽车超过步行人， 每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不
变，那么间隔几分 钟发一辆公共汽车？
分析： 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离 就可以了，但题目没有
直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：相邻两汽 车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接
着下一辆公共汽车与 步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：
当一辆汽车超过步行 人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽
车的间隔距离。 对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米分钟），则：
间隔距离=（V汽-V人）×6（米），
间隔距离=（V汽-V自）×10（米），
V自=3V人。
综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=16V汽，则：
间隔距离=（V汽-16V汽）×6=5V汽（米）
所以，汽车的发车时间间隔就等于：
间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米分钟）=5（分钟）。

小峰沿公交车的 路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，他又遇到了
14辆迎面开来的 公交车，并于1小时18分后到达起点站，这时候恰好又有一辆公交车从起点开出。已
知起点站与终点站 相距6000米，公交车的速度为500米分钟，且每两辆车之间的发车间隔是一定的。
求这个发车间隔 是几分钟?
解析：

发车间隔为6分钟。

6000÷500=12(分).

(78+12)=90(分).

90÷(16-1)=6(分).

公交车走完全程的时间为6000÷500=12(分)。

小峰前后一共看见了16辆车，并且第16辆车是他走了1小时18分

即78分钟后在起点站遇上的。

如果我们让小峰站在终点站不动，

他可以在(78+12)=90(分钟)后看见第16辆车恰好到达终点。

第1辆车和第16辆车中间有(16-1)=15(个)发车间隔，

所以一个发车间隔为90÷15=6(分).

列车每天18：00由上海站出发， 驶往乌鲁木齐，经过50小时到达，每天10：00从乌鲁木齐站有一列
火车返回上海，所用时间也为5 0小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每天各有一辆火车发往对方
站，至少需要准备这种列车多少 列？在原题的前提下，正常运行后，每天18：00从上海站开往乌鲁木齐
的火车在途中，将会遇到几趟 回程车从对面开来？在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段
的营运任务，每天两站互发车 辆时间间隔至少需要相差多长时间？（假定乘客上下车及火车检修时间为一
小时）

解：（1）设上海到乌鲁木齐的车第一天晚18：00出发，到乌鲁木齐为第三天晚20：00，
该车 可于第四日早10：00从乌鲁木齐出发，于第六日中午12：00到上海，当日晚18：00可出发往乌
鲁木齐。
因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要5辆列车。
（2）正常运行后 ，每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海，在18：00从上海站开往乌鲁木齐的火
车到达乌鲁木齐 这段时间，
从乌鲁木齐出发的车它都会遇到，共是2辆。
（3）在车速不变的前提下，为了 实现有五列车完成这一区段的营运任务，则第一日从乌鲁木齐发出的车
需在第六日再从同一个站开出，
设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚x(x〉2，
若x<2则来不及在第六天开出前回去）小时 ，则该车最快回到乌鲁木齐为48+x+50小时后，即至少为第
六天的开车前1小时。
列方程如下： 24*5-1-(48+(24-x)+50)>0
解得：x>3


为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线 路上，线路的起点站和终
点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车，而 从迎面每隔b分钟就有
一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假如公交车的速度不变 ，而且中间站停车的时
间也忽略不计。）

一、把“发车问题”化归为“和差问题”

因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向 的、前后的两辆公交车间的距离相等。这个相等的距离
也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。我们把 这个相等的距离假设为“1”。

根据“同向追及”，我们知道：公交车与行人a分钟所 走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1a，
1a就是公交车与行人的速度差。

根据“相向相遇”，我们知道：公交车与行人b分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共 走
1b，1b就是公交车和行人的速度和。

这样，我们把“发车问题”化归成 了“和差问题”。根据“和差问题”的解法：大数=（和+差）÷2，小数=
（和-差）÷2，可以很容 易地求出公交车的速度是（1a+1b）÷2。又因为公交车在这个“间隔相等的时间”
内行驶的路程是 1，所以再用“路程÷速度=时间”，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间
是1÷【（ 1a+1b）÷2】=2÷（1a+1b）。

二、把“发车问题”优化为“往返问题”

如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好发现 车站发n辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔
时间是m÷n分钟。但是，如果行人在这段时间内做 个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”决不会影响
答案的准确性。

因 为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a和b都整除，所以他见到的公交车辆数也不一
定是整数 。故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。那么让他走到哪再立即返回呢？或者说让他走
多长时间 再立即返回呢？

取a和b的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这 里取ab。假如刚刚有一辆公
交车在起点站发出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab分钟，然后马 上返回；这时恰好是从行人背
后驶过第b辆车。当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来 第a辆车。也就是说行人返回
起点站时第（a+b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab分钟开出 了（a+b）辆公交车。

这样，就相当于在2ab分钟的时间内，行人在起点站原地不 动看见车站发出了（a+b）辆车。于是我
们求出车站发车的间隔时间也是2ab÷（a+b）=2÷（ 1a+1b）。

这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景，更简明、更严谨，也 更易于学生理解和接受。如果用
具体的时间代入，则会更加形象，更便于说明问题。

三、请用上述两种方法，试一试，解答下面两题：

1、小红在环形公路上 行走，每隔6分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来，每隔9分钟就有一辆公
共汽车从背后超过她。如果 小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一定，而汽车站每隔相等的时间
向相反的方向各发一辆公共 汽车，那么汽车站发车的间隔时间是多少？

2、小明从东城到西城去，一共用了24分 钟。两城之间同时并且每隔相等的时间对发一辆公共汽车。
他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出，之 后他每隔4分钟看见一辆公共汽车迎面开来，每隔6分钟
有一辆公共汽车从背后超过。问小明从东城出发 与到达西城这段时间内，一共有多少辆公共汽车从东城发
出？

四、下面三题也是发车问题，试一试，揭示问题实质。

3、从电车总站每隔一定时间开 出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步
行82千米，每隔10分钟遇上一辆 迎面而来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开
来的一辆电车。电车总站每隔__ 分钟开出一辆电车。

[题说] 1997年小学数学奥林匹克决赛A卷第12题

答案：11（分钟）

4、有一路电车的起点站和终点站分别是 甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站。
全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电 车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达
乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电 车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟？

[题说] 第一届“华杯赛”初赛第16题

答案：40（分钟）

5、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7公里。从早晨7点 开始，有18列货车由第十一
站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公 里。早晨8点，由第一站发出
一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里，在到达终点站前，货车与 客车都不停靠任何一站，问：
在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？

[题说] 第三届“华杯赛”决赛二试第6题

答案：在第5个站与第6个站之间，客车与三列货车相遇。

从几个不变来找方法，比如人步 行的速度不变．比如车的速度和发车时间间隔不变等等．就会比较容易找
到已知数量与问题之间的关系． 从而找到解题方法。