比例法行程问题

巡山小妖精
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2020年11月05日 07:01
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关心的作文-教师暑期学习心得体会

2020年11月5日发(作者:党怀英)


比例法行程问题



【南京考题】甲乙两车分别从A、B两 地同时相向而行,甲车每小时
行82千米,乙车每小时行72千米,两车在距离中点30千米处相遇。< br>A、B两地相距多少千米?





【黄冈考题 】甲骑车从A地出发0.5小时后,乙发现甲忘了带书,立
即从A地骑车追甲。在乙出发的同时,丙骑车 也从A地出发,行的道
路与乙相同。乙追上甲交书后,立即原路返回,行了15千米与丙相
遇。 甲每小时行18千米,乙速是丙速的2倍。求乙的速度。





【武汉考题】甲、乙两车从相距200千米的两地同时相向开出,不停
地往返两地之间行驶,如 果甲车每小时行65千米,乙车每小时行70
千米,当两车第一次同时回到各自的出发地时,甲车行了多 少千米?






【南昌考题】甲、乙 两车同时从A、B两地相向而行,第一次相遇在
距A地65千米处,相遇后,两车继续前进,分别到达目 的地后立刻
返回。第二次相遇在距A地35千米处,求A、B两地相距多远?




【郑州考题】汽车以一定的速度从甲地到乙地,如果汽车每小时比原
来多 行15千米,那么所用的时间只是原来的56;如果汽车每小时比
原来少行15千米,那么所用的时间要 比原来多用1.5小时。求甲乙
两地间的距离。














小升初之数学必考——裂项


数学是什么?
数 学就是“逻辑+计算”,光有计算,没有逻辑,学不好数学;光有逻辑没
有计算,更学不好数学。每次数 学考试,计算是必考的内容,不可能说哪次考试
没有计算,除非考试语文吧。
每位小学生,都 要面临小升初,一些名校的择校考试及分班考试,在数学计
算中有一类型题目是每次都会出现,并难倒很 多学生,这个就是裂项计算。

最简单的裂项算式是形如,其原理是分数合并同类项的逆运算。


写成字母的形式即为



裂项的好处是什么呢?通过下面一个例题,你就会明白了。


通过例 1,我们发现裂项的作用是使前后两个相同的分数可以抵消掉,这样
方便了计算,并且计算,那么能用裂 项解的题目有什么特点呢?
1.分数加法或减法
2.不宜通分
3.分母是有规律的乘法或乘积形式。
我们对例1稍作变形,你还能搞定吗?
【例1.1】计算:
像例1.1才是考试的时候可能会出现的形式,考官不会直接给你一个分 母是
连续自然数乘积,分子是1的算式让你计算,而例1.1的“伪装”,你一定要细
心的分别 出来。
【练习1】计算:



例1的分母是连续的自然数,那如 果这些自然数不是连续自然数,而是相差
为某一定值的情况下该怎么解决呢?
【例2】计算:



裂项主要就这些内容,一些复杂的裂项题目会和通项归纳或放缩法求近似值< br>综合到一起考察,大家可以一起欣赏一下下面两个题目的裂项巧算。



裂项主要就这些考察内容,熟练掌握这4个例题,小升初裂项计算的分数,
也就是你的囊中之物了。




2011郑州名校小升初数学备考
——吕百晟详解考题类型
3月3日下午,为更好地服务学员,众享教育培训中心邀请小升初名 师吕百晟老师
为工作人员做了一场小升初数学考试指导的讲座。讲座结束后,吕老师与与众享教育培


训中心老师交流沟通授课方式、教育学生方面的心得。现摘取吕老师讲座中一部分与广
大校讯通用户分享。
如何应对小升初数学两大题型?
重点中学数学入学考试题,一般由计 算题和应用题两部分组成,注重用数学的思维
和方法分析解决生活中的问题,充分展现数学规律的形成与 发展过程,让学生自主进行
探索、猜想、尝试,从中发现学习的规律性。试题有一定灵活性、开放性,侧 重考查学
生的思维空间想象力和活用解题策略的能力。下面分别针对小升初数学的两大题型进行
深入分析。
一、计算题
实施新课标后,新教材对计算能力要求较低,计算题涉及较少,导致 现在学生的计
算基本功和基本技能普遍降低。而计算题是小升初数学试题中必考题型,主要用来检测小学生迅速、准确、合理、灵活运算的能力。那么重点中学在入学、分班考试命题中对
计算能力的考 查都有哪些题型,涉及哪些基本知识和基本技能呢?
1.

考点与题型
知 识点:主要考查四则混合运算的意义和运算顺序,四则运算各部分之间的关系。
如和、差、积、商的变化 规律,运算定律和运算性质等。
基本技能:简算、巧算、估算、倒算、定义新运算等。
题型:主要是三类,填空题、计算题和解答题。
2、分值与解法
分值:计算题一般占总分的30%左右。


解法:一般的题目,要按四则混合运算的法则 ,一步一步地托式计算即可;运算复
杂的题目,算一步回头查验一步,做到一步一回头,步步无差错;对 于特殊算法,可采
用变形约分,裂项消去,活用定律性质,设字母代换,分组找规律等方法。
3、计算题注意事项
(1)认真细心。计算前,认真审题,仔细观察,看清题中的数字和符号。
(2)思考与积累 。计算是一个硬功夫,需要扎扎实实的基本功,才能够灵活应对。建
议持每天坚持练1~2道题。 (3)答卷顺序。试卷作答时,要先答计算题,要求学生必须练出计算的硬功夫,如果在
计算上丢分 ,要考上重点中学是有困难的。
二、应用题
应用题就是解决问题,重点中学非常重视考查学 生分析问题和解决问题的能力,应
用题就是最好的形式之一。考试试题中应用题源于课本的一般占15% ,往届考过的题型
和各级数学竞赛题占近85%,总的来讲难度大,对做题技巧性,综合运营能力要求较 高。
准备小升初的学生要从最基本的数量关系和审题训练开始,养成独立思考的好习
惯。通过 强化训练,掌握常见的应用题结构规律,积累一些典型的热点考题及其解法,
形成做题技巧,这样才能在 真正考试的时候思维灵活,考虑全面。典型的应用题类型要
熟练于心,如变速行程问题、商品买卖、时钟 问题、工程问题和牛吃草问题等等。
解析转圈中的行程问题
——段秀峰
例1如图 ,正方形ABCD是一条环形公路。已知汽车在AB上时速
是90千米,在BC上的时速是120千米, 在CD上的时速是60千米,
在DA上的时速是80千米。从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽


车,它们将在AB中点相遇。如果从PC的中点M,同时反向各发出一
辆汽车,它们 将在AB上一点N相遇。问:AN占AB的几分之几?




我们不妨先对题目条件做一番简单梳理:
1.因为A BCD是正方形,所以可得AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=
∠D=90°,但一般遇到的 行程问题很少与角度有关,所以有关角度的
结论大家可以不写。
2.汽车在AB、BC、CD 、DA上的速度分别是90千米时、120千
米时、60千米时、80千米时,读到这的时候大家需要做 到随手标
注(即在读到该类信息的时候随手将其在图中标注出来,减少回顾题
目信息时消耗的时 间)
3.从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中
点相遇。根据这句话可 知P点一定在CD上,但具体在CD上哪一点,
无法直接判断。此时大家不妨在CD上任取一点。 根据反向发出的汽车最终在AB中点处相遇,可知该过程是一个
基本的相遇过程,而在同时出发的相 遇过程中两辆汽车用时相同。
4.如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇,问:AN占AB的几分之几?


要想求出AN占AB的几分之几?我 们必须知道N点在AB上的具
体位置。而要想知道这一点,我们必须知道两辆汽车是从哪一点开始
同时发车的,而这就要求我们必须知道M点在CD上的哪个位置,而
要想知道M点的位置,我们必须知 道P点的位置,于是问题就转化成
了求P点在CD上的具体位置。
那么,P点的位置能确定吗?
题目告诉了我们汽车在正方形各边上的速度,我们知道在行程< br>问题里面有一个非常重要的公式S=VT,不管我们是求时间还是路程,
都必须知道其余的另外连 个量,题目信息显然不够,这时我们就需要
设数。
那到底是设路程还是设时间呢?显然根据题 目中的第一个条
件,ABCD是正方形,设路程是最好的选择,然后根据相遇过程中时
间相等列 出方程,求出P点在CD边上的位置。知道P点的位置后,
即可利用第二个相遇过程求出N点在AB边上 的位置。
分析结束,接下来为大家呈现具体的求解过程。
解:设正方形的边长为s,则可得AB=BC=CD=DA=S,
从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点
相遇。可列等式:

(1)

因为AB=BC=CD=DA=S,
所以上面的等式可以写成:




因为等式左右两端含有相同的项


,所以消去后可得
去分母得:4DP+3S=4(S-DP)+2S
去括号得:4DP+3S=4S-4DP+2S
移项得:4DP+4DP=4S+2S-3S
化DP系数为1,可得:DP=(38)S
因为M点是PC中点,所以可得PM=(12)(S-DP)=(5)S
根据从M点发出的车 在AB上相遇,可知该过程仍是一个相遇过
程,根据两车同时出发,相遇时用时相同可得:



(2)
因为DP=(38)DP,PM=(12)(S-DP)=(5)S,AB=BC=CD=DA=S,
所以将其带入上式可得:



仿照第一个求解过程可得:


也即:AN占AB边长的132



很多同学 不适应等式中出现两个未知数的情况,此时大家不妨
将各边边长设成具体的数字,如1,但为了计算方便 ,我们可以将其
设为四个速度的最小公倍数,因为60、80、120、90的最小公倍数
是7 20,所以设四边形的边长为720千米。
这样将720代入(1)式可得:DP=270(米)
将DP=270(千米)代入(2)式可得:AN=22.5(千米)
所以

【自我挑战】
正方形ABCD的周长是40CM,甲、乙两人分别从A、B两点同
时 出发,沿正方形的边行走,甲按逆时针方向每分钟行走55米,乙
按顺时针方向每分钟行走30米,问出 发多少分钟后,甲、乙两人第
一次在正方形的顶点处相遇。
提示:同学们不妨从相遇时甲、乙所用时间相同这方面进行讨论。

2
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叠分数计算与放缩法求近似值
分类:奥数 2010-09-28 10:33
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叠分数计算与放缩法求近似值是最近小升初 考试和学生择校考试及分班考试常
考的题型,今天和大家一起来看几个题目,具体的解法大家可以看后面 的视频,


视频中对解法和思考方法有详细的介绍,希望这种视频加文字的方法,能够帮助
您更好的学好数学、爱上数学。


叠分数计算



















用放缩法求近似值








数学难题的“耍赖”解法

对正在积极备战“小升初”的六年级同学来说,求阴影部 分面积的几何题目
自然会成为备考的重点,今天我们就来介绍一种解此类难题的神奇方法——特殊
值法,一会儿看两道题你就会发现,原来用这种“耍赖”的方法做题简直妙不可
言。
【例1 】如图,阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形,则阴
影部分的四边形的面积是____ _cm
2



方法一:
【分析】让求阴影部分的面 积,怎么算这个阴影部分的面积呢?猛然一看还
不会。遇到一道数学难题,如果不会算不要紧,自己画下 图,清晰地认识一下图
形,看它是怎么画出来的。在这个过程中既是对题目条件的梳理,也是我们接下< br>来分析解题方法的基础。
但是这道题目在画的时候你会发现,四边形的四个顶点你能确定它在哪 儿
吗?根本就确定不了,也就是说这个题存在图形不确定的问题,这个图谁都确定
不了。那谁都 确定不了,我也不知道顶点在哪儿,是不是画它在哪儿,它就在哪
儿。那怎么画这个题能够特殊一点、好 做一点呢?这就可以采取一种思想——
特值思想。
【解】因为四边形的顶点位置不确定,可以 将顶点进行移动(特殊化成下面
的图形,只要顶点之间的相对位置关系不变就可以了!)



自然很容易就能求出,阴影部分的面积等于正方形的面积减去三个直角三角
形的面积:
100-(20+5+27)=48(cm
2


方法二:
【分析】题目中“1cm”和“4cm”这两个条件看似没有关系,解一道题目只< br>有将条件之间建立关系,进行碰撞才能做出来,一道题目单打独斗肯定无法解题,
那我就可以做下 图所示的辅助
线,将“1cm”和“4cm”放在中间的小长方形中。




【解】如上图,在长方形AEOI中,阴影部分面积 等于空白部分面积;在长
方形EBLP中,阴影部分面积等于空白部分面积;在长方形NLCH中,阴影 部分面
积等于空白部分面积。
则剩下的部分是一个六边形IOPNHDI,六条边分别是IO 、OP、PN、NH、HD、
DI,在这个图形中,空白部分面积要大于阴影部分面积,并且阴影部分面 积加上
长方形OMNP的面积等于空白部分面积。
即整个图形中,空白部分面积比阴影部分面 积多一个长方形OMNP的面积(即
1×4=4cm
2

阴影+空白=100
空白+阴影=4
综上,阴影部分的面积是(100-4)÷2=48(cm
2
)。

【例二】如图,四边形ABCD面积是1。E、F、G、H分别是四边形的三等分点,
即AE=2EB 、HD=2AH、CG=2GD、BF=2CF,那么四边形EFGH的面积是_______。



【分析】还是利用上面的阶梯思想:自己画图时发现四边形ABCD的形状根
本无法确定,这个时候我们就可以利用“特殊值思想”。
【解】将四边形ABCD变成一个正方形,如下图:

则阴影部分的面积就是整体的 面积减去四个直角三角形的面积,因为正方形
ABCD的面积是1,则正方形的边长为1,E、F、G、 H都是各边的三等分点,那么
AH=13,AE=23,直角三角形AEH的面积就是19。
阴影部分面积=1-49=59。

从上面两道题目来看,遇到这些图形细 节无法确定的题目或者“动点问题”


时,灵活选取这些“特殊值”法,虽说有些“耍赖” ,但是解决问题是有准又快
的,尤其是在做一些选择题和填空题时更是如鱼得水。

2011郑州名校小升初备考——知识点与知识模块
1. 名校小升初必考:行程问题、工程 问题、运算、比与比例问题、规律探究问题、容
斥问题等等。这几大专题需要学生下大力气研究做题方法 和技巧。对于这部分的知识学
习建议按照专题进行复习,同时要试着将平时掌握了的知识进行系统化、类 型化梳理,
然后各个类型对比复习,吃透每一个专题。
2. 加大训练强度:做题的运算速度 和技巧标志着学生的硬实力,要考上名校,这方面
必须过关,因此要求学生在考前复习过程中一定加大对 运算速度和做题技巧的训练力
度,尤其是涉及裂项法、乘法分配律以及等比等差等基本公式的知识上,争 取做到不错
一个题;
3. 教材回归:小升初考试备考中要重视教材中的基本概念,避免在一 些细节方面失分,
如分数单位、奇偶数、质合数、平行线等等。
另外,对于之前做过的题目要 及时复习,不能前学后忘;经常做一些小升初方面的
真题或者模考试卷、套题等,不断完善知识结构、掌 握解题技巧、提高做题效率也是非
常必要的内容

变速行程
工程问题
行程问题
单位1
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方程的应用


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