行程问题的基本模型
职业教育法-大队委竞选稿
行程问题的基本模型
物体的运动，最简单的情形是匀速直线运动，设物体作匀速直线运动的速度为 v ，
在时间
t 内运动的距离为 S ，则有
S=v · t
这就是物体作匀速直线运动的数学模型．
由于实际物体运动未必都是匀速的，比如汽车在行程中，开动时速度是由小变大，
停止时速度是
由大变小的．这些我们都忽略不计，而将汽车速度看成是“平均速度”，
这样就将实际上并不是均速运动
的情形加以简化，近似地看成匀速运动．在小学、初中
阶段我们研究行程问题，都是在匀速运动模型中进
行的．
行程问题中，追及、相遇又是两种最基本的模型．
追及模型
甲、乙二人分别由距离为 S 的 A 、 B 两地同时同向 ( 由 A 到 B 的方
向 )
行走．甲速 V 甲 大于乙速 V 乙 ，设经过 t 时间后，甲可追及乙于 C ，则有
S=(V 甲 － V 乙 ) × t
相遇模型 甲、乙二人分别由距离为 S
的 A 、 B 两地同时相向行走，甲速为 V 甲，
乙速为 V 乙 ，设经过 t
时间后，二人相遇于 C ．则有
S=(V 甲 +V 乙 ) × t
利用一元一次方程及二元一次方程组所解的行程问题，大体都可纳入追及或相遇两
种模型．
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例 1 时速 4 千米 的 A 追赶时速 3
千米 的 B ，两人相距 0.5 千米时，有一只
蜜蜂从 A
的帽子上开始来回在两人中间飞，直飞到 A 追及 B 为止，若蜜蜂时速 10 千
米
．问蜜蜂飞了多少千米？ ( 选自古代的问题 )
解 设蜜蜂飞了 x 千米．
由于蜜蜂飞的时间等于 A 追及 B ， 0.5 千米
所用的时间，依此为等量关系列得
方程．
解这个方程，得 x ＝ 5 ．
答：蜜蜂飞了 5 千米 ．
例 2
总站每隔一定时间发车一次，有人在街上匀速行走，发现从背后
多少时间发一辆车？
分析 设总站每隔 x 分钟发一辆车．
若人在 A
处时正好有一辆车开过，对于 A 处来讲必顺再等 x 分钟后才又有一辆车
从背后开来，但 x
分钟后人已从 A 走到 B 处，这时 A 处的车与 B 处的人成同时同向
行走并在 C
处车可追上人．依题意人由 A 到 C 花了 6 分钟，显然人由 B 到 C 用 6
－ x
分钟，这与汽车从 A 到 C 花的时间相等．于是对行 AC 距离而言，汽车速度× (6
－
x)= 人的速度× 6
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另一方面，如下图若人在 D 处时迎面有一辆车开过，设再过 x 分钟才到达 D
的后
一辆车正在 F 处，也就是说 DF 这段路程汽车需要走 x 分钟 ( 因为每隔 x
分钟发车
一次 ) ．但当人继续前进时，汽车也从 F 与人相向而行．由题意走
解之得， x=5 ．
答：总站每隔
5 分钟发—辆车．
说明
本题实质上是由相遇模型与追及模型组合而成的，因此在解题过程中要分别为
两个模型寻求关系．
例 3 游泳者在河中逆流而上，于桥 A 下面将水壶遗失被水冲走，继续前游 20
分
钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥 A 下游距桥 A 2 千米 的桥 B
下
面追到了水壶．问该河水速每小时多少千米？
解 设该河水速每小时 x
千米，游泳者每小时游 a 千米，则游泳者逆流每小时行 (a
－ x) 千米，顺流速
(a+x) 千米 小时．
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流而下，游泳者速度为每小时 (a ＋ x) 千米，水壶每小时速度为 x
千米的追及问
题．换言之，游泳者顺流行 DB 的时间与水壶顺流漂 CB
的时间相等．于是可列方程如
下
∵ a ≠ 0
∴ x ＝ 3 ．
答：该河水速每小时 3 千米．
说明
本题只要游泳者游速大于每小时 3 千米时都是合理的．
例 4 马跑 5 步的时间狗跑 6
步，狗跑 4 步的距离与马跑 7 步的距离相同，马已
跑出 5.5
千米时，狗开始追它，马再跑多远，狗可追及马？ ( 选自古代的问题 )
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分析 设马再跑 x 千米，狗可追及马在 C
点，这表明狗跑 5.5+x 千米与马跑 x
千
米所用时间相同．因此，关键在马与狗的速度之间关系的分析．
由题设狗跑 4
步的距离与马跑 7 步的距离相同．这就是说，狗跑一步
解这个方程，得 x ＝ 5 ．
答：马再跑 5 千米 狗可追及马．
例 5
某人每天下午 5 点下班时，有汽车按时到达接他回家，有一天，他提前一小
时结束工作因汽车未到遂
步行回家，在途中遇到接的汽车又乘车因而比平日早 10
分钟
到家．问某人步行多少分钟遇到汽车的？
设某人工作地点在 A ，家在 B
，下午 4 点某人步行出发向 B 走与按时开出来接
他的汽车相遇于 C 点．这样汽车由 C
返回到 B 比往常提前 10 分钟．这表明汽车由 C
→ A → C 共需 10
分钟，因此，汽车由 C 到 A 共需 5 分钟，但某人从下午 4 点动
身自 A 行至 C
与汽车相遇后若汽车继续由 C 向 A 行驶 5 分钟可到 A 此时恰是下午
5
点，设某人步行了 x 分钟，则
x+5 ＝ 60 x ＝ 55 ．
答：某人共步行了
55 分钟．
例 6 今给 1000 名徒步行进时速为 5 千米 的某部队配备每辆载人 50
名时速为
25 千米 的大汽车 5 辆，于上午 6 时协同部队同时出发．开赴相距 100
千米的某地集
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结，设上车下车所需的时间略去不计
，试编拟一行军计划，标明徒步行军与汽车运送如
何同时进行，方能使全体部队于最短时间内到达集结地
点，并作一简图表明汽车往返行
驶的路线．
解 在汽车不够的情况下，要使全体部队在最短时
间内到达集结地点，必须汽车运送
与步行同时进行，且汽车运送的起先几批人，必须各在中途适当的地点
下车，然后继续
步行前进到达终点，决不能先把一批人直接运到终点停留在那里，这样就浪费时间；而<
br>空车往回开时遇到后面步行的部队，应当即行载上向前方前进，最后乘车的一批人与其
他几批已乘
过车而继续步行的人应同时到达集结地点，因此每人乘车的时间应相等，步
行的时间也应相等．
现 5 辆车可载 250 人，故把 1000 人分成每队 250
人的四个分队，每个分队轮流
乘车一次，设每队乘车的时间是 x
小时，汽车把第一分队人运到距出发地点 25x 千米
处后即往回开，而第一分队下车后继续步行前进
．当汽车和其他三个分队相遇时，汽车
和他们步行合计路程是 50x 千米，而汽
千米，相遇后汽车把第二分队人载上前进，到和相遇地点距离 25x 千米处第二分队
人下车
后再往回接运第三分队的人，而第二分队的人继续步行前进，这样继续进行，最
后把第四分队人直接运至
终点，而其他三个已乘过车而中途下车步行的分队和载第四分
队的汽车一齐到达终点．这样就得到了方程
式
解之得 x=2 ．
即每队乘车 2 小时共行 50 公里 ，其余 50
公里 步行需 10 小时，所以经过 12
个小时后全体部队都可同时到达集结地点，也就是全体部队于下午 6 点到达集结地点．
下
面可作出一简图表明四个分队的行军路线，其中实践表示汽车行进的运行图，虚
线表示徒步行军的路线．
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例 7 已知猫跑 5
步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步
的路程相同，而猫跑 3
步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7
步
的时间相同．猫、狗、兔沿着周长为 300
米的圆周跑道，同时同向同地出发．问：当它
们出发后第一次相遇时各跑了多少路程．
解
设猫速为 V 猫，狗速为 V 狗 ，兔速为 V 兔 ，依例 4 的方法分析，得出
可见狗跑得最快，兔次之，猫最慢．
设经过时间 t
后猫、狗、兔三者相遇，那么可以假定，狗比猫多跑 n 1 圈，兔比
猫多跑 n 2
圈，狗比兔多跑 n 3 圈，所以有
t(V 狗 － V 猫 ) ＝ n 1 × 300
t(v 兔 － V 猫 ) ＝ n 2 × 300
t(V 狗 － V 兔 ) ＝
n 3 × 300
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n 1 与 n 3 都是正整数，所以 n 2 为 27 的倍数，
第一次相遇，取 n 2 =27 ，得 n 1 =50 ， n 3 =23 ．
即出发后三者第一次相遇时，狗跑了 23437.5 米 ，而猫跑了 23437.5
－ 15000 ＝
8437.5( 米 ) ，兔跑了 23437.5 － 23 ×
300=16537.5( 米 ) ．
答：出发后，猫、狗、兔第一次相遇时，狗跑了
23437.5 米 ，兔跑了 16537.5 米 ，
猫跑了 8437.5 米 ．
说明 例 7 是第 5 届华杯赛决赛一试第 4 题．他的来源是由例 4
发展深化而来
的，这是华杯赛中很多试题的一种来源途径．
练 习 题
1
．一个人骑车上班每分钟比平时快 10 米，结果提前 5
分钟到达工作地点；下班
时每分钟比平时慢 10 米，结果晚到家 7
分钟．问这个人的家与他工作地点相距多少
米？
2 ．甲、乙二人分别从 A 、 B
两地同时相向匀速行进，第一次相遇在距 A 点 700
米处，然后继续前行甲到 B 处，乙到
A 处后都立即折回，第二次相遇在距 B 点 400 米
处，求 A 、 B
两地的距离是多少米？ (1993 年北京市中学生数学竞赛试题 )
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3 ．某手表每小时比准确时间慢 3 分钟，若在清晨 4 点 30
分与准确时间对准，
则当天上午该手表指示时间是 10 点 50 分时，准确时间应该是几点几分？
(1988 年全
国初中通讯赛试题 )
练习题参考解答
1
．设骑车人正常情况下车速 v 米 分，共走 t 分钟行完全程，则 S ＝ vt ．
由于每分钟快 10 米 ，因而提前了 5 分钟，这表示 (t － 5) × 10 恰是 5
分钟
的正常行程，
(t － 5) × 10 ＝ 5v ①
同理可得 (t ＋
7) × 10=7v ②
v ＝ 60 ， S=60 × 35 ＝ 2100 米
．
2 ．设 A 、 B 两地距 x 米，甲、乙二人第一次相遇所用时间为 t
，则由第一次
相遇到第二次相遇所用时间为 2t ，依题意得
3 ．设该手表
10 点 50 分时比准确时间慢了 x 分钟，则看表时距 4 点 30 分已
有 6 小时又
(20 ＋ x) 分钟，由题意可知手表走 20 分钟比准确时间慢 1 分钟，于是
有
即，当天上午该手表指示时间是 10 点 50 分时准确时间应该是 11 点 10 分
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