爱国的名人名言-关于和谐的作文

小学数学分数裂项

考试要求
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；
（2） 复杂整数裂项运算；
（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 4、通项归纳
知识结构
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的 ，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，
ab
1111
( )

abbaab
2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：
1111
[]
n(nk)(n2k)2kn(nk)(nk)(n2k)
1111
[ ]

n(nk)(n2k)(n3k)3kn(nk)(n2k)(n k)(n2k)(n3k)
3、 对于分子不是1的情况我们有：
k1

1





n(nk)

n nk

hh

11






n

nk

k

nnk

2k11


n

nk

n2k

n

nk

nk

n2k< br>
3k11


n

nk

n2k

n3k

n

nk

n2k

nk

n2k

n3k

h

n

nk

n2k

2k
h

11



nnknkn2k



1

hh

n

nk

n2k

n3k

3k
2

11



nnkn2knkn2kn3k
< br>

2n

1

11

1< br>



2

2n12n1


2n1

2n1

二、裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
三、复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项 特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法
是：先把算式中最 后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差
与因数个数加1的 乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N
取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时 ，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加
正。对于小学生，这时候通常是把第一项 甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
四、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，同
时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


重难点
（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用
（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
（3） 通项归纳

例题精讲
2

一、 用裂项法求

1
型分数求和
n(nk)(n2k)
11
【例 1】

123234

1

789
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】
a
n



n1< br>


n1

11

11
< br>



n1nnn1

n1

n

n1

2

n1

n

n1

2



< br>原式

1

11

11

< br>




2


12 23

2334

1

11



1







6778

7889



1

11






2

1289


【答案】

【巩固】
35

144
35
。
144
1111

...
123234345 99100101
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】
a
n
< br>原式

111111111
[()()()...()]< br>
212232334455699100100101
1

11





2

121 00101



【答案】

【例 2】 计算：
5049

20200
5049
。
20200111

135357579
1

200120032005

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式

1
11

11




4

13353557


11









2001200320032005




1

11






4

1320032005

3


【答案】

【巩固】计算：
1004003

12048045
1004003
。
12048045
11

123234
1

9899100

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
11111111
【解析】原式
()

2 1223233434989999100
111
()

21299100
14949


29900

【答案】

二、 用裂项法求

分析：
4949

19800
4949
。
19800
2k
型分数求和
n(nk)(n2k)
2k
（n,k均为自然数）
n(nk)(n 2k)
2k11

n(nk)(n2k)n(nk)(nk)(n2k)

4444
【例 1】
......
1353 57939597959799
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
11111111
【解析】原式
()()...... ()()

133535579395959795979799< br>

【答案】

11


139799
3200

9603
3200
。
9603
4

【巩固】
444

......
13535793 9597
111111
)()......()

1335355793959597
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式
(


【答案】

11


139597
9212

27645
9212
。
27645
1
型分数求和
n(nk)(n2k)(n3k)
三、 用裂项法求

分析：
1
（n,k均为自然数）
n(nk)(n2k)(n3k)

1111
()

n(nk)(n2k)(n3k)3kn(nk)(n2k)(nk)(n2k)(n 3k)
111
......
【例 1】 计算：
1234234517181920

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式
[(
1111111
)()......()]

3 123234234345171819181920
111
[ ]

3123181920

【答案】

【巩固】
1139

20520
1139

20520
11111


123423 453456678978910
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
1

1111
 
【解析】原式


3

1232342 34345

11




7898910

5

1

11

119



< br>

3

1238910

2160
【答案】

119
。
2160
四、用裂项法求

分析：
3k
型分数求和
n(nk)(n2k)(n3k)
3k
（n,k均为自然数）
n(nk)(n2k)(n3k)
3k11


n(nk )(n2k)(n3k)n(nk)(n2k)(nk)(n2k)(n3k)
【例 2】 计算：
333

......
123423451 7181920
111111
)()......()

123234234345171819181920
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式
(



【答案】

【巩固】
11


123181920
1139

6840
1139
。
6840
333

.. ....
1234234521222324
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式
3[(


1
3
111111
...)]

1 23234234345212223222324
11


123222324
422231

222324
2023

12144


【答案】


2023
。
12144
6

五、复杂裂项

111
【例 3】

112123

1
12100

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 < br>【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的
项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有：< br>112112

，，
1
(11)1
1212< br>(12)2
23
22

原式

222

122334

2120099

2(1)1
1001
99
【答案】
1
。
101

【巩固】
1
23

1（12）( 12)(123)

(123
10
9)(123 10)

【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答
234
【解析】（法一）：原式
1(
133 6610

11111
1

1

336610
1

1

1



55



10
)

4555
11




4555


1

55
（法二）：先找出通项的规 律为

12
n
(n1)



1 2
n

n


有

12
n
(n1)



12

n
(n1)nn(n1)

22



4

(n1)n(n1)
而

411

2



(n1)n(n1)

(n1)nn(n 1)

（法三）：
1
21
=

1(12)3
7

1
1
231
-=

1(12)(12)(123)6
2341


1(12)(12)(123)(123)(1234)10

发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后 一个减数分母的最后一个乘数为
多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．
所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为< br>1
．
55
（法三）：
21
1

1(12)12
311


(12)(123)12123
411

,
(12)(123)1231234

(123< br>

10
9)(123
1
910)123 
=
1
9123


10

原 式
=1

1
1

11




12

12123

1
< br>


123
1
9123



10

=
=
【答案】

1
123
1

55
10

1
。
55
111111
【例 4】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：< br>a
2
b
2
(ab)(ab)
，
原式
(
111111
)()()()()()

24466881010121214
11
()< br>
24466881
111
()

2142
8


【答案】

3

14
3
。
14
1111
)(1)(1)(1 )
2
2
3
2
4
2
5
2
11)(1)

48
2
49
2
【巩 固】计算：
(1(1
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空
【解析】
1
1111311124
，
(1 )(1)1(1)(1)
，……所以，
2
2
222 23
2
3333

485015025


494924949
1324
原式

2233
【答案】
25
。
49
1993
2
11995
2< br>1

．
1993
2
119 95
2
1
3
2
15
2
17
2
1
【例 5】 计算：
2

315
2
172
1
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空
2

2

2

【解析】 原式


1
2



1
2< br>


1
2


315171
2

2
997


24 46


1111
997


2446
1

1
997




21996


2



19941996

11




19 941996

22



1



1


22
1993119951
 

997
【答案】
997

997

1996
997
。
1996
98
2
100
2

．
99
2
1
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
【巩固】计算：
2< br>
2

2

213141
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空
3
2
5
2
34
1
2
3
2
102
2
4
2
20
104204344
【解析】
2
，
2

，… …由于
2
，

，
2

2
，
 2
，
213318
4115
33881515
可见，原式< br>2
444
22
2
2
13
2
14
2
1
2
4

99
2
1

1



98100

9
11

1
2984< br>

132435


1

11111
1964

1
2< br>
32435
1

11
1962

1



299100


11




98100

19632
199

9900
198
【答案】
198

【例 6】 计算：
4751

4950
4751
。
4950
357

1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2

15

22
78
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
【解析】原式

22
22

22

122334
8
2
7< br>2

22

78
1
1

【答案】

11111
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
1

2
8

11


7
2
8
2
63

64
63
。
64
50
2

．
99101
1
2
2
2
3
2
【巩固】计算：
133557
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据 平方差公式分别变为
22
2
2
1
，
4
2
1
，
61
，……，
1001
，可以发现如果分母都加上1，那 么恰好都是分子的4倍，所以可
以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
1

2
2
4
2
6
2

原式


2
4

214
2
16< br>2
1
100
2




100< br>2
1



1

111


1
2
1
2
1
2

4

214161
1

111


50 
4

133557

1
1



100
2
1

1



99101


10


11

11111


50

1
4
2

33557
11




99101





1 1

1




50

1


4

2

101



150

50
4101
12
【答案】
12

23
【例 7】

1(12)(12)(123)

(123
50
49)(12350)
63

101
63
。
101

【解析】原式＝
3550
24
＋＋＋＋…＋
12251275< br>13
36
610
1015
1
1
11
11111
）＋（

）＋（

）＋（）

31225
127536610
＝（

＝
1274

1275
【答案】

【巩固】
1274
。
1275
234

1 (12)(12)(123)(123)(1234)

(12< br>100
99)(12100)

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】计算
【解析】
211311
，，……，

1(12)11 2(12)(123)12123
100
99)(12100)
11
，所以

129912100(12
原式
1
1
12
1

5050
100

1

【答案】


5049

5050
5049
。
5050
课堂检测
11

1、 计算：
3245671


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】填空
【解析】原式

【答案】

1
2
2
2< br>2
2
3
2
18
2
19
2
19< br>2
20
2
2、


12231 8191920
111


25577229292
1
。
2
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式

【答案】
36

3、
92021919
...21736

21912020
19
。
20
1111




11212312

100
【考点】分 数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】本题 为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的
项开始入手 ，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
112112
，，……，

1
(11)1
1 212
(12)2
23
22
原式


4、
2222120099

2(1)1
1223341001
1
99100101
999897

123234345
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】


99100110011001
＝＝－＝－ < br>1231231232312323
98100210021001＝＝－＝－
23423423423423434
97100 310031001
＝＝－＝－
……
34534534534534545
12

110099100991001
＝＝－＝－
991 0010199100101991001019910010199100101100 101
原式

111
...(...)

123234345991001012334100101
11111
100()()

22101002101
24
【答案】
24

5、
51

101
51
。
101
333
< br>......
1234234517181920
【考点】分 数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
1111111
【解析】原式
3[(...)]

3123234234345171819181920

11< br>

123181920


【答案】
3 19201

181920
1139

6840
1139
。
6840
家庭作业

1、 计算：
57

123234

19

．
8910
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】填空
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目． 但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差 为2的等差数列(该数列
的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分子 所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项
的分子都分成3与另一个的和再进行计算 ．
原式

3234

123234
316

8910

12

1
< br>
2

8910

123234



8



8910


1



910
1

1
3


123234

1

1111
3


2< br>
12232334

11

1

1


2

89910

233 4

13



3

11

1111


2

2

12910

2334
3

11< br>
11





2



2

290

210

11




910



711


4605

23
15
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n3，所以
2n3232
，再将每一项的与

n

n 1



n2

n1



n2

n

n1



n2

n1n2

3
分别加在一起进行裂项．后面 的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

【答案】

23
。
15
57

234345
1719

）
891091011
2、 计算：
1155（
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】（法一）：本题的重点在于计算括号内的算式：
57
 
234345

1719
．这个

8910 91011
算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分 子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734
，……即每一项的分子都等于分母 中前两个乘数的和，所以
57

234345

1719


891091011



2334
234345

910

91011

11


1011911

1



911

1111




81 0911

1111

34244535

1

1




3445

1111




3445
1

11


1011

2435

11

1

111111




1011

2

243546

11

1

1111

81

28

31














311221
 
55
所以原式
1155
31
651
．
55
（法二）：上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等 差数列
14

的通项公式为
and
，其中< br>d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开 ，每一项都变成两
个分数，接下来就可以裂项了．
57

2343 45


122132

234345

1719


891091011

182192


891091011

182192

 
891089109101191011

22




9101011


11



< br>1011

122132

23423434 5345

11




23434 5



112

2




891091011

3445

1

1111



2

233 43445
1

11

11





2




2

231011

311

11

1111


2


9101011

3445

112234131

，
1222
31
651
．
55
所以原式
115 5
（法三）：本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
57

234345


1719
< br>
891091011

17

11
19

11






2

89910

2

9101011< br>
5

11

7

11






2

2334

2

3445


5111

75

97






< br>


223

22

34

22

45
1191

1917








22

91 021011
5111

2233445

511 1931


1231022055

1191
< br>
91021011
所以原式
1155
31
65 1
．
55
（法四）：对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每 一项的通项公式：
a
n

2n1
（
n2
，3，……，9） n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651
。

3、 计算：
345

124523563467

12

10111314
15

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】观察可知原式每一项的分母中如果 补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先
将每一项的分子、分母都乘以分子中的数． 即：
3
2
4
2
5
2
原式

123452345634567
12
2

< br>1011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每 一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
3
2
154
，
4
2
264
，
5
2
374
……
3
2
4
2
5
2
原式

123452345634567
12
2

< br>1011121314

154264374
123452345634567

10144

1011121314
111

1





111213

234345456
444





1234523 45634567

1

1111


2

23343445

4



1011121314


11



11121213

11



1011121311121314

1111





1234234523453456

1

11

11








2

231213
< br>123411121314



【答案】

4、 计算：
11111771111175

12212132411121314811121314821114830861 6
75
。
616
111

135246357
1

202224

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式＝
＝
＝
＝
【答案】

16
11111
＋＋…++
+…+

1353 57192123246202224
111111
(－)＋(－)
41321234242224
45
＋＝＋
483211234
38625

340032
38625
。
340032

5、 计算：
1111

2232342345

1
234200

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】
a
n
< br>122

11





< br>n3n

n

n3

3

n n3

2

11



原式=
2

111111



3

142536199
=
2
3



1
1
2

1
3

1
20 0

1
201

1

202



=
1
430933
2030100

【答案】
1
430933
2030100
。




202

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