汉语我爱你-话务员职责

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即< br>ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)(n3)
n(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 1 of 9

1111
[]

n(n1)(n2)(n3 )3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将 x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
abab11
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
（1）

（2）


abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，< br>同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556


例题精讲
111
【巩固】
......
101111125960




2222
【巩固】


109985443




1111
【例 2】



11212312100
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 2 of 9

【例 3】





111

133557

1


99101
11

1

【巩固】 计算：
2 5

133557


1




2325





251251251
【巩固】

488121216





【巩固】 计算：





251251


2000200420042 008
3245671


255771111161622222929
11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888





11111111
【巩固】

_______
6122





111111
【巩固】
1

3610152128


111111111
【巩固】 计算：

＝
26122
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 3 of 9

11111
【巩固】

。
1


【例 5】 计算：



111

135357579

1
200120032005
7
4.50.16
1

1 11
18
【例 6】






1
133.753.2

3153563

3




11111
【例 7】 计算：
123420

261220420




11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70



【巩固】 计算：




11224

____。
26153577
1111111
【巩固】 计算：



3195





19899
【巩固】 计算：

．
26122



11
【例 8】

123234

1

789
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 4 of 9

【巩固】 计算：




【巩固】 计算：





11

123234

1

9899 100
111

135246357

1

202224
4444
【巩固】

......
135357939597959799





9998971
【巩固】


12323434599100101




【例 9】
11111


123423453456678978910




333
【巩固】

......
1234234517181920




【例 10】 计算：




【巩固】 计算：
1155（


57

123234

19

．
8910
57

234345

17 19

）
891091011
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 5 of 9

【巩固】 计算：







345

124523563467
< br>12

10111314
1234
【例 11】

2232342345





【例 12】

9
23410

123456


1212312341234 51234561234567





【巩固】 计算：





23

3!4!

99

.
100!
234

【例 13】
1(12)(12) (123)(123)(1234)

(123
50
49)(1250)






234

【巩固】
1(12)(12)(123)(123)(1234)





1
【巩固】
23

1（1 2）(12)(123)

(123
10
9)(12 310)
100
99)(12

(12100)


1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 6 of 9

111111
【例 14】
2

2
2

2

2

2

.
31517191111131




【巩固】 计算：
(1




【巩固】 计算：




1111
)(1)(1)(1 )
2222
2345
(1
11
)(1)

22
4849
357

222222
12233 4

15

22
78
3
2
15
2
17
2
1
【巩固】 计算：
2

315
2
17
2
1





1993
2
11995
2
1

．
1993
2
11995
2
1
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
【巩固】 计算：
2

2

213
2
141





98
2
100
2

．
9 9
2
1
1
2
2
2
3
2
【巩固】 计算：

133557





50
2

．
99101
56677889910
【例 15】

56677889910




1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 7 of 9

365791113
【巩固】


57612203042




9
【巩固】计算：


3457820212435




【巩固】



3571220283042




3827
【巩固】



2330123124







3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>









5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122




11798175
【巩固】


451220153012




1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 8 of 9

1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
 20
2
【例 16】


122318191920





【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061






111111
【例 17】 计算：


23459899515299









24612
【例 18】 计算：


335357357911









2
3

122
2
2
8
2
4
2
11


< br>【例 19】 计算：



13355717 19

135357171921


1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 9 of 9