洛阳一高-感恩的心手抄报

六奥第三讲
分数计算题之裂项求和

教学课题：分数计算技巧（2）
教学课时：两课时
教学目标：在分数运算中，要提 高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应
该掌握一些特殊的运算技能和技 巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等，这
堂课主要学习裂项法，会用裂项 法解决简单的实际问题。
教学重难点：经历裂项的探究过程，观察裂项的规律。
教具准备：
本周通知：

教学过程：
一、故事导入
一天，旅店服务员碰 上了一个难题：一下子来了11位旅客，每个人都要一个单人房间，可当时旅店
里只有10间空房。来客 都很坚决，非单人房不可。当时只好设法把这11位客人安排在10个客房中。而
每个房间只许一人，这 是无论如何也做不到的。可是，那位服务员想出了一个办法，他能解决这个伤脑筋
的难题。
他 的主意是，把第一位客人安排在1号房间，请他同意让第十一位客人暂时（5分钟左右）也在他房
间里呆 一下。这两位客人安排好后，他把其他客人逐一分配到其他各号房间去；把第三位客人分配到2号
房；把 第四位客人分配到3号房；把第五位客人分配到4号房；把第六位客人分配到5号房；把第7位客
人分配 到6号房，把第八位客人分配到7号房；把第九位客人分配到8号房；把第十位客人分配到9号房。
这时 第10号房间还空着，他就把暂时呆在1号房的第十一位客人请了过来，满足了全体旅客的要求。
这里问题何在呢？

二、新课学习
师：例1：
111
怎么求？

122334
师： 谁来展示一下你的做法？根据学生摆的情况，师板书各种情况。（逐一相加）
师：还有不同的做法吗？
生：没有了。
师：
1
11
11
=1- ，= - ，你能发现什么？
122
23
2
3
生：一个分数可以拆成两个 分数的差，中间的都可以抵消掉。
师：很好，这里我们发现，拆项后，前一个分数的第二项和后一个分数的第一项是可以抵消
的。
11111
，你能发现它和上一题有什么区别吗？

14477 1010131316
（教师要关注拆分的时候，两个分数分母的关系，到底是差几。在学生自主 探索的基础上，
教师注意引导学生：拆分之后，分数的大小会发生什么变化）
师：那我们就来看一下裂项公式。
kk11
()

ab（b-a）ab

例2：
11111
…

122334989999100

1

1
1
11
1
+- +…+- ，中间都可以抵消掉。
22
3
99
100
1
师：很好，这样最后剩下1-，就比较 好算了。
100
生：直接拆成1-

这是我们比较简单的裂项，同学们理解一下，接下来我们来看一下稍微复杂的裂项。

例3：
11111
1


26122030
42
师：这种题目我们该怎么做呢？
生：（各抒己见）
师：有同学已经想到了，这一题是例题一的变型。
师：大家可以思考一下，怎么样运用刚才的方法解决呢？
生：……
师：很好，看来同学们都会基本的裂项方法。接下来，同学们自己做下例题三。

11111
1234L20
例4：
261220420

【思路点拨】可以把分数拆成两部分，整数部分和分数部分分别计算。

1111
＋＋＋…＋
例5：
1×33×55×797×99
师：同学们，拿到这道题你们该如何思考呢？
111
11

…+-，然后中间抵消掉。
335
97 99
1
1
师：那同学们观察一下，1-与是不是相等的呢？
3
13
生：裂项变成1-
生：不相等。
师：为什么呢？（再次利用公式，引导孩子们，裂项时需要注意哪些问题）
这里我们观察到相乘的两个分母差是2,所以要怎么样？
生：乘以
1
。
2
师：很好，接下来例题五，同学们先自己做做，看跟例题四有什么区别？


例6：
3245671


255771111 161622222929
【思路点拨】裂项时，分子刚好是两个相乘分母的差，可以直接裂项。

579111315

例7：
61220304256


2

师：那么，同学们一起来看一看，这种有减法的题目，该怎样裂 项呢？（找学生上台板书，然后让其
他学生提出自己的看法和意见）
师：很好，**同学的做法很好，接下来大家做下面的两个例题。

例8：
1
111

...
1212312 3...10
【思路点拨】将每一项的分母单独加起来后，刚好变成做过的形式。

例9、在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。
师：我 们做过这道题：
11
11111

…+=1，那么这10个数究竟是 哪10个数？
9010
26122030
生：2，6，12，20，…90，10

三、课堂小结
看起来很复杂的分数计算题，如果用常规的方法去做，肯定是非常麻 烦的，而且也难免做错。当我们
通过观察，掌握了算式的特点，运用一些特殊的方法和技巧，就能使计算 既巧妙又正确，化难为易，化繁
为简。当然，这里介绍的方法是很有限的，希望大家能灵活运用，同时发 现和找到更多的解题方法，从而
提高自己分析问题，解决问题的能力。


四、作业
课堂作业：
家庭作业
五、板书设计
分数裂项求和
例题一： 例题二： 裂项公式：



六、
课后反思



参考答案：

【课后习题】

1.

11111

5
1223344556
6



111
......=
1

5960
12
2.
10111112

3

3.
2222

L

7

109985443
15

1111

L
50
99101
101
4.
133557


3245671

1

2
5.
255771111161622222929


11111111
2

6.
6122
5



5791113151719
3
1=

6122
5
7.









4

分数裂项求和

重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。
难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。

一、 作业检查：
平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分
二、课前热身：
与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。

三、内容讲解：

先做几个题目：


（1）
222
2

……+，
911
133557


（2）求

2222
的和
......
1335579799
这种题目就是分数裂项求和的运用。

分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项：
减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；
加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。

（1）
2 22

133557
……+
2
，
911
解：原式=

3-15-37-5

133 557
……+
11-9

911
5

=
(
315375
- )( -)(-)
1 31335355757
……+
(
11
-
9
)< br>
911911
11111111
( )  ()()()

133557911


1

1

1

1

1

1

1

1

133557911


1

1

111


10

11


（2）求
2222
的和
......
133557 9799
解：原式=
3-1

5-3

7-5

……+
99-97

133557
9799
111 1111
(1)()()......()
335579799
1

1

99
98

99
再看一道例题：

例1：计算：
1
5

7911131517


62
解：原式=
1
23

34

45

56

67

78

89

23344556677889
111

1

（）（）（）（）（）（）（）
233 44556677889

1
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

23344556677889

1
1

9


8

9


6

有的同学可能担心是不是所有的这种题目 都会按照这种方法来做。
回答是绝对肯定的，所有这种题目一定绝对都是按照分母化成两个
数的 积，分子化成这两个数的和或差来做。否则，就不会有人做得
出来。这是考纲，考纲是不允许超出的。
下面做几道课堂练习：

1.











2．









3.




1111
1
+

……+20012002
2002
199619971997199819981999
33333


144771028313134
1111


2612110
7

4．
1
















32
这节课，我们就已经学习了分数裂项求和，极其简单。分数
裂项求和，分为减法裂项和加法裂项，

减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；
加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。

分数裂项求和，法 则很简单，就是把分母化成两个数相乘，分子化
成这两个数相加或相减。而且，考试一定不会超出这个范 围。但是
有时候，需要对要求的式子稍微变一下形，这是不超出考纲范围的。
先看一个题目。

例
11111

2：
计算
57799 1111131315

如果我们按照上节课所学的方法，这分母现在都已经是两个数的 积
的形式，如果把分子化成这两个数的差的形式，这分子就都是2，

8