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分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式 的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形， 或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分 ，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中 的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常 见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一 般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在 前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
2

1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556




111
【巩固】
......
101111125960




2222
【巩固】


109985443




1111
【例 2】



11212312100
2
例题精讲

【例 3】
111
1 3

35

1
57

99101






【巩固】 计算：
25


1111


13

3 5

57

2325








【巩固】
251
48
251
812

251
1216

251251
20002004

20042008




【巩固】 计算：
324
25

57
711

5
1116

6
1622
< br>7
2229

1
29






【例 4】 计算：
(
1
8
1
24

1
48

1
80

1111
120

168

224

2 88
)128





【巩固】
111
6

11111
12

20

30

42

56

72

90

_______




【巩固】
1
1
3

1
6

1
10

1
15

1
21

128






【巩固】 计算：
1
2

1
6

1
12
< br>1
20

1
30

1
42

1
56

11
72

90
＝




【巩固】
11111
10
< br>40

88

154

238

。
2

【例 5】 计算：
11
135

1
357

1
579

200120032005





7
4.50.16
【例 6】
18< br>

13
1
3.753.2

1
3

1
15

1
35

1

63




3



【例 7】 计算：
1
1
2
2
1
6< br>3
1
12
4
11
20
20
420< br>




【巩固】 计算：
2008
1< br>18
2009
1
54
2010
111
1082011
180
2012
270
= 。



【巩固】 计算：
1
2

1
6

2
15

2
35

4
77

____。




【巩固】 计算：
1111111
3

15

35

63

99

143

195





【巩固】 计算：
19899
2

6

12

20

30

9702

990 0

．




【例 8】
1
123

1
234

1
7 89


2

【巩固】 计算：
11
123

234

1
9899100





【巩固】 计算：
11
135

1
246

1
357

202224






【巩固】
4444
135

357
......
939597

959799




【巩固】
9998
123

234

97
345

1
99100101





【例 9】
1
123 4

1
2345

1
3456
 
1
6789

1
78910




【巩固】
333
1234

23 45
......
17181920





【例 10】 计算：
5
123

7
23 4

19
8910

．




【巩固】 计算：
1155（
5
23 4

7
345

17
8910

19
91011
）





【巩固】 计算：
34512
1245

2356
3467

10111314



2

12349
【例 11】



223234234523410




123456
【例 12】

121231 234123451234561234567




2399
【巩固】 计算：

.
3!4!100!



23450
【例 13】

1(12)(12)(123)(123)(1234)( 12349)(1250)




234100
【巩固】


1(12)(12)( 123)(123)(1234)(1299)(12100)




2310
【巩固】

1
1（12）(12)(123)(1239)(12310)




111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131




111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)

23454849




35715
【巩固】 计算：
22

22

22

22

12233478


2

【巩固】 计算：
3
2
15
2
17
2
1

1993
2
11995
2
1
3
2
1

5
2
1

7
21

1993
2
1

1995
2
1

．




【巩固】 计算：
1
2
3
2
2
2
4< br>2
3
2
5
2
98
2
100
2< br>2
2
1

3
2
1

4
2
1

99
2
1

．




【巩固】 计算：
1
2
13< br>
2
2
35

3
2
57
< br>50
2
99101

．



【例 15】
56677889910
56
67

78

89

910





【巩固】
3657911
5

7

6

12

20

13
30

42





【巩固 】计算：
1
3

3
4

2
5
< br>579101119
7

8

20

21< br>
24

35






【巩固】
1
3

2
5
< br>3
7

7
12

9111725
20

28

30

42





【巩固】
3827
2

3

30
31

41

51

119
120

123

124





【巩固】





3549637 791105

31

6

12

20

30

42

56


1< br>8



8



2

【巩固】 计算：
1
579111 3151719
6

12

20

30

42

56

72

90





【巩固】
1
4

1
5< br>
7
12

9
20

8
15

17
30

5
12





1
2
2
2
2
2
3
2
【例 16】
12

23

18
2
19< br>2
19
2
20
2
1819

1920



【巩固】
(
11112007
120 07

22006
......
20062

20 071
)
2008
(
1
12006

122005
......
1
20061
)




【例 17】 计算：
111111
23

45

9899

51

52

99






【例 18】 计算：
2
3

4
35

6
3 57

12
357911






【例 19】 计算：
122
2
2
8

2
3
2
4
2
11
13< br>
35

57

1719




135357171921

















2

赠送一篇美文，舒缓一下心情：
1) 有一种情，相濡以沫温馨处处在 ，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句
话，相知相守爱你一万年， 老婆我爱你永不变!
2) 你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅 ，如果不能原谅，我自己也无法原
谅自己了。
2

3) 你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家< br>务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!
4) 家有娇妻真温馨，知心相爱常厮守，贤慧温 柔知我意，相守一世真幸福，一生至爱是我妻，甜蜜短信送我
妻，永不改变爱你意。
5) 家中红旗永不倒，外面野花不会采。春光明媚花朵艳，不及老婆温柔剑。服侍双亲多辛劳，相夫教子令人
敬。烧的一手好饭菜，贤良淑德惹人羡。
6) 今天是“要爱妻”，但是这个日子对我来说无关紧 要。你在生气?亲爱的，因为与你在一起的每一天对于我
来说都是“要爱妻日”，我爱你!愿用我一生让 你开心幸福。
7) 就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。
8) 孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。我的妻，爱 你是我唯一的
语言，疼你是我仅有的表现。愿我们幸福百年。
9) 浪漫在起舞，甜蜜在 微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：
老婆，爱你没商 量，爱你永不变!
10) 爱老婆要做到两个不要：不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以 为老婆做些什么;不要问老婆喜欢
些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1) 有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的 ;有你相守，家庭是暖的，心里幸
福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼 罩!
2) 朝夕相处过日子，偶尔吵吵嘴皮子。同享美味一桌子，你是最好大厨子。相亲相爱两口 子，幸福相守一辈
子。待到长出白胡子，依然爱你小妮子。亲爱的老婆，爱你一辈子!
3) 此生有你，愿一世情长，两心不忘，三生相伴，纵天荒地老，爱永远，情永长，此生此世都为你痴痴守望，
默默相伴。甜言蜜语
2