南宁学院-初三数学期末试卷

分数裂项计算



本讲知识点属于计算大板块内容，其实分 数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项 的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本 讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提， 是能力的体现，对学生要求较高。
教学目标
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项 计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的 和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关 系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两 项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复 杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

11111
【例 1】

。
1223344556
例题精讲

111
【巩固】
......
101111125960
2222
【巩固】

L


109985443
1111
【例 2】


 
LL

11212312
L
100
公式的变式
当
n
分别取1，2，3，……，100时，就有
求和公式推导：
S1=1+2+3+4+5
+ S1=5+4+3+2+1
1111
【例 3】

L


13355799101
111

1

L< br>
【巩固】 计算：
25



1335572325

2551
【巩固】


L

4881212162000200420042008< br>3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
111
3××(−)+⋯
325
11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
方法一：
11111111
=(+++++++)×128
2×44×66×88×1010×1212×1414×1616×18
1111111=×(−+⋯+−+−)×128
22414161618
方法二：
11111111
=
[
×(1+++++++)]×128
8361015212836
22222222
=16×(+++++++)
262
22222222
=16×(+++++++)
1×22×33×4 4×55×66×77×88×9
11111
=16×2×(1−+−+⋯+−)
22389
11111111
【巩固】

_______
6122
111111
【巩固】
1

3610152128
一项隔一项来拆项

=1+×(1−)++×(−)++×(−)+

2363251543728
111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
11111
=−(−)−⋯(−)
223910
11111
【巩固】

。
1
1111111
=×(−+−+⋯−)
325581417
7
&
4.50.16
11

11
【例 5】
18






1
133.753.2

3153563

3

< br>11111
【例 6】 计算：
1234L20

2612 20420
11111
=
(
1+2+⋯+20
)
+(1−+ −+⋯+−)
2232021
11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70
11224
【巩固】 计算：

____。
26153577
1111111
【巩固】 计算：



3195
19899
【巩固】 计算：
L
．
26122
111
=1−+1−+⋯+1−

269900
111
=99−(++⋯+)
269900
111
【例 7】


L

123234789
111
【巩固】 计算：


L

1232349899100
1111
【巩固】 计算：


L

1352 46357202224
1111111
=×(−+−+⋯+−)
41×33×52×44×620×2222×24
9998971
【巩固】


L

1232343459910010 1
12399
=1−+1−+1−+⋯1−

1×2×32×3×43×4×599×100×101
11111
【例 8】

1234234534566789789 10
11111
=×(−+⋯+−)
31×2×32×3×47×8×98×9×10
5719
【例 9】 计算：

L

．
1232348910
2+33+49+10
=++⋯+

1×2×32×3×48×9×10
123456
【例 10】
 
1212312341234512345612345 67
131417
=1−+−+−+⋯+
1×21×2×31×2×31×2×3× 41×2×3×41×2×3×4×5×6×7
1
−

1×2×3×4×5×6×7
2399
【巩固】 计算：
L
.
3!4!100!
23450
【例 11】

L
1(12)(12)(123)(123)(1234)(123 
L
49)(12
L
50)
11111111
= 2××(1−)+3×(−)+⋯+50××(−

21+231+21+2+3501+2+ ⋯+491+2+⋯+50
2310
【巩固】
1
L
1
（
12
）
(12)(123)(123
L
9)(123
L
10)
56677889910【例 12】

56677889910
365791113
【巩固】



57612203042
3653+44+55+ 66+7
=++++++

5763×44×55×66×7

9
【巩固】计算：


34578202 12435
132574+53+73+85+7+7
=++++++++

345784×53×73×85×7

【巩固】



3571220283042
3827
【巩固】



2330123124
1017−7263 0−43841−32731−4
= = = =

1191 7×712030×412341×312431×4
5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算