分数裂项求和标准个性化教案
强军纪录片-生日快乐简谱
学生
教师
文佳宇
学校
林老师
岭南花园小学 年级 六年级 科目 数学
日期
时段
16.00-17.00
次数
3
分数裂项求和
教学
重点
难点
重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。
难点：能判断
所处题目的运用的形式，并用其对应的方法进行解答。
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
课前热身
：
对裂项求和这个概念认识有多少？分数裂项求和呢？这节课就让我们
来学习这个板块的内容。内容比上两节的难一些，所以需要学生认真点耐心
点的来跟着老师学。
二、内容讲解：
分数裂项求和
分数裂项知识点属于计算大板块内容， 其实分数裂项很大程度
上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式
等过程。很多时候裂项的方式不易找到，
者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分， 列项与通项
需要进行适当的变形， 或
归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现， 对学生
要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆
项计算称
为裂项法
.
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方
法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
题时，要仔细的观察每项的分子和分母，
遇到裂项的计算
找出每项分子分母之间具
有的相同的关系，找出共有部分， 裂项的题目无需复杂的计算，
般都是中间部分消去的过程， 这样的话，找到相邻两项的相似部分，
让它们消去才
是最根本的。
实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。
例
6
3
、
2
2 3
目的：将一串分数中的每一个分数适当地裂项， 出现一对一对可以抵消的数,
从而简化计算
减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差。
加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和 变形裂项：先
变形为直接裂项。
【典型例题】
例
1
计算：
观察: 直接裂项
1
1
1
1 1 1 1
—二
2 1 2
二
1
1 2 6 2
3 2 3
1 1 1 1
12
3
4 3 4
1 1
(
)
20
-
(
)
1 1
(
)- -( )
30
—
(
卜( )
—
解：原式
=
1
1
+
1
1
1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
=1-
1
1
1
1 1 1
1 1
1
6
2 2 3 3 4 4 5 5 6
5
6
例
2
计算：
―
5
.
7
一
9
.
11
_
13
.
15
_仃
6 12 20 30 42 56 72
观察：直接裂项
52
=
^
1
1
7
3 4 1 1
2 3
= =~~ I
6 2 3
12 3 4 3
4
9 4 5
20 4 5
11
30
13
42
5 6
1 1
-—+_
4
5
r(
r(
=1 -
2
3
1 1
解：原式
例
3.
1 1
-)-()
4 4
2
5
+
9 11
变形裂项:
解：原式-
1
一
3
)(
3
》(
5
一
A-：
1 A.
丄
J .
2 4 8 16 32 64
9 ；)
■
11111
1
11
128
观察前一个数是后一个数的
解：原式
-+—
+- +— +— +
2
倍，“补一退一”
1 1 1
亠
亠
).——
128
128 128
111
8 16 32
1
1
2 4 64
2 -1 4 -1 6 -1
8 -1 10
-1
222
+ ---- + -----
22
由
a -
b
=
a - b) a b
知，
解：原式二
(
()
可以将原式变形为:
1 1
7 9 9 11
牛刀小试:
【我能
行】
1. ----------
---------- -----------
1996 1997 1997 1998
1998 1999
1
+ -------- +
2001 2002
2002
2
丄
+
丄
+
丄
+
2 5 5
8 8 11
26 29
分数裂项求和方法总结
用裂项法求
型分数求和
n(n 1)
(n
为自然数)
1
分析：因为-
n n 1 n(n 1) n(n 1) n(n 1)
所以有裂项公式：
1 1
n(n +1) n n+1
【例
1
1
求
1
+
1
+……+
1
的和。
59x60
1
10x11 11x12
(二) 用裂项法求
型分数求和
n(n +k)
1
分析：
型。(
n,k
均为自然数)
n(n +k)
币％
11
因为
(
1
、
1
「
n +k n i 1
)—[
]—
k n n+k k n(n+k) n(n+k) n(n +k)
1 1
(
1 1
)
所以
n(n +k) k n
n +k
1 * 1 * 1 * 1 * 1
【例
计算
5
汉
7 7
沢
9 9
勺
1
11
2
1
(三) 用裂项法求
k
型分数求和
n(n +k)
k
分析：
k
型(
n,k
均为自然数)
n +k n k
n(n + k)
n(n +k)
1 1
——
-------------------------
n n+k n(n +k) n(n
+k)
k
所以
—
1 1
2
n(n
+k) n n+k
【例
3
1
求丄 +—^ +—^
+……+—
—
的和
1
江
3 3
況
5 5^7
97^99
2k
(四) 用裂项法求
型分数求和
n(n
+k)( n +2k)
分析：
(
n,k
均为自然数)
n(n +k)( n +2k)
分析：
1
(
n,k
均为自然数)
n(n +k)( n +2k)( n +3k)
1 * 1 丄* 1
【例
5
】
计算：
1x2^3
汉
4
2
疋
3
汇
4
汇
5
17
灯
8
切
9><20
(六) 用裂项法求
-------------
3k
----
型分数求和
n(n
+k)( n +2k)( n +3k)
3k
分析： -----------
----
(
n,k
均为自然数)
33
n(n +k)( n
+2k)( n +3k)
【例
6
】 计算：
+
+……+
1
疋
2
汉
3
汉
4
2
疋
3
汇
4
汇
5
17^18
疋
19
疋
20
3
三、
作业布置
：
彳丄
1 7
丄
9
1
1 1
2 6 12 110
11
丄
13 15
丄
17
3 12 20 30 42 56 72
彳
c 1
个性化教学辅导教案
一、学生评定
学生签字：
项目 内容
评 分
内容
休息时间是否合理
是否留作业并检杳作业
听课中是否激发了学习 兴趣
评 分
教学时间保 障
是否有效充分利用课堂时间
教学流程保 障
教学是否计划性
教师个性教 学
听课过程能否学会该学科学习 方法
教学内容 教学内容是否有针对性
讲课是否与练习相结合
教师课堂是否精神饱满 形象是
否得体大方
课 后
教师课堂教 学
能否听懂老师讲课 教学语言是否准确
评 价
评分标准：每项满分为
10
分，十分满意
10
分，满意
9
分，一
般
7
—
8
分，不满意
6
分，很不满
意
5
分以下。
共
100
分。
总分
二、教师评价
1
、 学生上次作业评价：
2
、 学生本次上课总体情况评价：
3
、
O
好
O
较好
O
好
O
较好
O
—般
O
—般
。一般
O
差
O
差
。差
本堂课学生掌握知识点的情况
：
O
好。较好
教 师
留
-_:
言
校长签字:
日期:
年 月