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分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过
程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当
的变形，或 者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找
通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为
分数裂项和整数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到
裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关
系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，
找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对 于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
前面，即
ab
，那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂 差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为 任意自然数)的，
但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 1 of 9

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababb a
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节 是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两
抵消”型的，同时还有转化为“分数凑 整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556


111
【巩固】
......
101111125960




2222
【巩固】

L


109985443




1111
【例 2】



LL

1 1212312
L
100
1111
【例 3】

L


13355799101





111

1

L

【巩固】 计算：
25



1335572325





2551
【巩固】


L

488 1212162000200420042008





例题精讲
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 2 of 9

【巩固】 计算：




3245671


255771111161622222929
11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888





11111111
【巩固】

_______
6122





111111
【巩固】
1

3610152128


111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
11111
【巩固】

。
1


【例 5】 计算：



7
&
4.50.16
11

11
【例 6】
18






1
133.753.2

3153563

3




11111
【例 7】 计算：
1234L20

261220420



1111


L

1353575 79200120032005
1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 3 of 9

【巩固】 计算：
2008



【巩固】 计算：




11111
= 。
2009201020112012
70
11224

____。
26153577
1111111
【巩固】 计算：



3195





19899
【巩固】 计算：
L
．
26122



111
【例 8】


L

123234789
111
【巩固】 计算：


L

1232349899100




1111
【巩固】 计算：


L

135246357202224





4444
【巩固】
......
135357939597959799





9998971
【巩固】


L

12323434599100101

1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 4 of 9

【例 9】




11111


12 3423453456678978910
333
【巩固】
......
1234234517181920




5719
【例 10】 计算：

L

．
1232348910




571719
【巩固】 计算：
1155

（

L

）
234345891091011


34512
【巩固】 计算：


L

1 2452356346710111314







12349
【例 11】


 
L

2232342345234
L
10< br>




【例 12】
123456
 
121231234123451234561234 567






1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 5 of 9

【巩固】 计算：





2399
L
.
3!4!100!
23450
【例 13】

L
< br>1(12)(12)(123)(123)(1234)(123
L
49)(12
L
50)






234100
【巩固】

L

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12
L
99)(12
L
100)






2310
【巩固】
1
L

1
（
12
）
(12)(123)(123
L
9) (123
L
10)
111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131




111111
【巩固】 计算：
(1
2
) (1
2
)(1
2
)(1
2
)L(1
2
)(1
2
)

23454849




35715
【巩固】 计算：
22

22

22

L

22

12233478




32
15
2
17
2
11993
2
119 95
2
1
【巩固】 计算：
2

L

．
3 15
2
17
2
11993
2
11995
2< br>1




1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 6 of 9

1
2
3
2
2
2
4< br>2
3
2
5
2
98
2
100
2< br>【巩固】 计算：
2

2

2

L

．
2
213141991





1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：

L

．
13355799101





56677889910
【例 15】

56677889910




365791113
【巩固】



57612203042




9
【巩固】计算：


3457820212435




【巩固】



3571220283042




3827
【巩固】



2330123124







3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>






1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 7 of 9

5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122




11798175
【巩固】


451220153012




1
2
2
2
2
2
3
2
182
19
2
19
2
20
2
【例 16】

122318191920





【巩固】
(......)(......)
1200 72200620062200712008120062200520061







【例 17】 计算：









【例 18】 计算：




1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 8 of 9
111111

L

L


23459899515299
24612

L

335357357911


2
3

122
2
2
8
2
4
2
11

L



L

【例 19】 计算：



1335571719

135357171921


1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 9 of 9