七一是什么节-二本录取

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式 的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形， 或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分 ，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中 的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常 见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一 般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在 前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
abab11
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
（1）

（2）


abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，< br>同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
例题精讲

11

11

【解析】 原式

< br>







12
 
23


11

115







56

166
提醒学生注意 要乘以(分母差)分之一，如改为：
1111
，计算过程就要变为：

13355779
1111

11

1
< br>



．
13355779

19

2
5
【答案】
6

111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2



2< br>




4534

91089

310

15
7
【答案】
15

1111
【例 2】



11212312100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112
代入有

，， ……，

1
(11)1
1212
(12)2< br>23
22
2222120099
原式


 2(1)1
1223341001
99
【答案】
1

101
1111
【例 3】


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】

(1…）< br>13355799101
50
【答案】
101

11

1

【巩固】 计算：
25


133557
【关键词】迎春杯，初赛，六年级

1




2325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1

111
【解析】 原式
25

1
2

335
【答案】
12



11

1

1

2524
< br>
25

1


12

2325

2

25

225
2551
【巩固】


488121216200020042004 2008
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式

251

111



16

122334
11




500501501502

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

251

1111111



1


16

22334501502< br>
25150150121
15

165023232
21
【答案】
15

32

3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1
【答案】
2

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算


【关键词】101中学
1111
【解析】 原式
（）128

2446681618
1111111

（）128

224461618
11

（）64

218
4

28

9
4
【答案】
28

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
11111111


6122
11111111
23344556677889910

112
==
2105
2
【答案】
5

111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

【解析】 原式
1
111

1 21231234
222

1


233478

11111

2



22334

1

7

2

1




8

4

11



78



1

1234567
【答案】

7

4
111111111
＝

26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 原式

111111111
()

22334 4556677889910
1111111
()

22334910
111
()

2210
1

10

【答案】

1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



255881111141417
1

1111111111






3

25 5881111141417

1

11

5






3

217

34
5
【答案】
34

1111


13535757 9200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【例 5】 计算：
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

【解析】 原式

1
11

11




< br>

4


1335

3557

11








2001200320032005


1

1 1

1004003





4

1320032005

12048045
【答案】< br>
7
4.50.16
11

11
18
【例 6】






1133.753.2

3153563

3
【考点】分数裂 项 【难度】3星 【题型】计算
1004003

12048045
【关键词】仁华学校
7916 1

111

1
18290
【解析】 原式





1
1335577 9

1331.2540.8

3
71

46

1


1
1

1
1

1

1



1
233579

1312
3
4631823
 =

2442936
23
【答案】
36

11111
【例 7】 计算：
123420

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
11

111
2 0






420

261220
11111

210 
122334452021
1111111
2101 

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21

11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式


123
【关键词】学而思杯，6年级，1试
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

【解析】 原式
20082009201020112012
11111


366991212151518
11




56

1

1111

20105


9

1223

10050
【答案】
10050


5

54
5

54
11224

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【关键词】学而思杯，6年级
1325375117


26153577
111111111



2233557711
110

1

1111
10
【答案】
11

1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】原式

【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它 们可以表示为：
32
2
113
，
154
2
135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
1

11

1

11

1

11













2

13

2

35

2

1315

1

11

7






2

115

15
7
【答案】
15

19899
【巩固】 计算：

．
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】四中
1

1

1

【解析】 原式
< br>
1



1



1



2

6

12

1

1
99


1223
< br>
1



1



9900

1



99100

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18


111
99

1

223
1

99

1



100


11




99100

98
【答案】
98
1

100
1

100

111
【例 8】

123234789
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 首先分析出
原式




n1



n1
< br>11

11





n1 nn12n1nn12n1nnn1







1

11

11< br>








2


1223

2334

1

11



1








67787889


1

11





2

1289


35

144
【答案】

35

144
111


1232349899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
9

()
212991
4949
【答案】
19800

1111
【巩固】 计算：


135246357202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
1
1
【解析】 原式＝＋＋…+++…+
135357192123
246
20 2224
1111
11
＝(－)＋(－)
41321234
242224
40
652816010465
＝＋＝＋
483
211234
38625
＝
340032
38625
【答案】
340032
【巩固】 计算：
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

4444
【巩固】

.... ..
135357939597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

133535579395959795979799
113200


1397999603
3200
【答案】
9603

9998971
【巩固】


12323434599100101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
991001100
1
100
1
【解析】 ＝＝－＝－
123123123
23
123
23
9810021 002100
1
＝＝－＝－
23423423423423 4
34
9710031003100
1
＝＝－＝－
……
345345345345345
45
110099100 99100
1
＝＝－＝－
991001019910010199100 1019910010199100101
100101
111
原式...(...)

12323434599100 1012334100101
1111151

100()() 24
221
51
【答案】
24

101

11111
【例 9】

1234234 53456678978910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1

111111


【解析】 原式



3

1232342343 457898910

1

11

119






3

12389 10

2160
119
【答案】
2160

333
【巩固】

......
1234234 517181920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]

31232342343 45171819181920
113192011139

 
1231819201819206840
1139
【答案】
6840

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

5719

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【例 10】 计算：
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就 是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相 比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以
先把原式中每一项的分子 都分成3与另一个的和再进行计算．
3234316
原式



1232348910
112

1

1
3



2

1232 348910123234


8



8910

1

111111

1

1
3

2

2

1223233489910

2334
3

11

11

1111


2 



2

12910
910

2334
3

11

711
23

11





2








2
< br>290

210
4605
15


1


910

也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性 质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以
2n3232

，再 将每一项的与
n

n1



n2

n1



n2

n

n1



n2

n1

< br>
n2

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

【 答案】
23

15

571719

）
234345891091011
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
1155（
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
【解析】 本题的重点在于计 算括号内的算式：
571719
．这个算式不同

23434 5891091011
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常 见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的 形式．
观察可知
523
，
734
，……即每一项的分子都 等于分母中前两个乘数的和，所以
571719


2343 45891091011
2334910


23434591011
111111




342445351011911
1 1

111

1





1011

2435911

34 45
11

1

111111

1111







101 1

2

243546

3445

11

1

1111

81

28

31







< br>





311221
 
55
1111




810911

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

所以原式
1155
（法二）
31
651
．
55
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一 的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列
的通项公式为
and
，其中
d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每一
项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．
571719


234345891091011
122132182192

234345891091011
12213 2182192


23423434534 5891089109101191011
111222

1
2







891091011

34459101011

234345
1

111111

1111



2


2< br>
233434459101011

3445
1
11

11



2
 



2

231011

31 1

112234131

，
1222
31
所以原式
1155651
．
55
（法三）

11




1011

本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
571719


234345891091011
5

11

7

11

17
11

19

11






2

2334
2

3445

2

89910< br>
2

9101011

51111191
< br>75

97

1917














223

22

34
< br>22

45

22

91021011
51111191


223344591021011
5111931


1231022055
31
所 以原式
1155651
．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
a
n

（
n2
，3，……，9） n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651


34512

12452356346710111314
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【解析】 观察可知 原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先
1-2-2-1. 分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



123 4523456345671011121314
现在进行裂项的话无法 全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
3
2
154
，
4
2
264
，
5
2
374
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



12345 23456345671011121314
15426437 410144


1234523456345 671011121314
1111



< br>
111213

234345456

4444





101112131 4

123452345634567
1
111111





2
< br>2334344511121213


111111
 




10111213111213 14

1234234523453456
1

11

11








2

231213

1234 11121314

11111771111175

 
1221213241112131481112131482111 48308616
75

616

12349
【例 11】



223234234523410
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】 原式



223234234523410< br>213141101


22323423410
1111111

1
2223232342349234910
13 628799

1
2349103628800
3628799
【答案】
3628800

123456
【例 12】
121231234123451234561234567
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



12123123412345123456123456 7
111111


12121231231 2341234567
111


12121234567
15039

1
50405040
【答案】
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

【答案】
5039

5040

2399

.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



123123412 3100
31411001


1231234123100
111111
< br>
12123123123412399123 100
1111


121231002100!
11
【答案】


2100!

23450

【例 13】
1(12)(12)(12 3)(123)(1234)(12349)(1250)
【考点】分 数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
3
4550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋
13
3 6
610101512251275
11
11111
11274
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝

366101225
1312751275
1274
【答案】
1275

234100

【巩固】
1(12 )(12)(123)(123)(1234)(1299)(12
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
311
211


【解析】 ，，……，
(12) (123)12123
1(12)112
10011

，所以
(1299)(12100)129912100
1原式
1

12100
15049

1
50505050
5049
【答案】
5050

2310
1
【巩固】

1（12）(12)(1 23)(1239)(12310)
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】 原式
1()

13366104555
100)

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18


11111
1

1

336610
1

1
1

1



55
55

【答案】


11




4555

1

55
111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()
< br>24466881010121214
11
() 

24466881
1113
()

214214
3
【答案】
14

111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)

23454849
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111311124
【解析】 1
2
(1)(1)
，
1
2
(1) (1)
，……所以，
2222233333
25
原式



2233494924949
25
【答案】
49

35715
【巩固】 计算：
22

22

22

22

12233478
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
【解析】 原式

22
< br>22

22

122334
11111
1
2

2

2

2

2

22334
1
63
1
2


8
64
63
【答案】
64

8
2
7
2

22

78
11

2

2

78
3< br>2
15
2
17
2
11993
2
11 995
2
1
【巩固】 计算：
2

．
315
2
17
2
11993
2
11 995
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

1 1
【解析】 原式


1
2

22

31

51

71

22



11


22
19931

19951

1-2-2-1.分数裂项 .题库 教师版 page 18 of 18

22

2

997




244619941996

11

1111
997




244619941996

1

997

1
997



997

199 6

21996

997
【答案】
997

1996

1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】 计算：
2

2

2

．
21314199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
104
204344
1
2
3
2
102
2
4
2
203
25
2
34
【解析】
2
，
2
2
，
2
，

，2

，……由于
2
，
2133184115
881515
33
4444
可见原式
2
2

2
2
2
2
2
2
213141991
1 11

1

2984




98100

132435
1

11111
1964

1
2

32435
1

11
1962

1


299100

199

19632
9900
4751

198
4950
【答案】
198

1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：

．
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11




98100

4751

4950
【解析】 式子中每一项 的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
1
，
6
2
1
，… …，
100
2
1
，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
1
< br>2
2
4
2
6
2

原式

2
4

214
2
16
2
1< br>100
2




100
2
1< br>
1

1111



1
2< br>1
2
1
2
1


4

214161100
2
1

1

111 1



50


4
13355799101

11

1111111




50

1


4

2

3355799101




11

1


15063


50

1

5012

4

2

101


4101101

1 -2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

【答案】
12

63

101
56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】
10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5



【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3

1111

212

313

111

















3

4

3366

555
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式

11111

11

11

11

11

11




















23303141

317

717

430

341

431< br>
1111111
1

2

2337434
7
1
【答案】
2

7

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>




【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


579111315
3


71

8
【解析】 原式




8


6122030 4256



1111






2334

11

11


7

8

78

8

1 1

11





788
8

28

211110

【答案】
10


5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
11111
1()()()()()()()( )

23344556677889910
113

1

2105
3
【答案】
5

11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111

2452
3

3456
【答案】
3


1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】


122318191920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...21736

21912020
19
【答案】
36

20


【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200 812007220062007120081200620061
1-2-2-1.分数裂 项.题库 教师版 page 18 of 18

2
(...)(...)

2008120072200 62007120081200620061
1220072007
=
( ...)(...)

200812007220062007120081 200620061

=
[(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028

111111
【例 17】 计算：


23459899515299
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
=

11
【解析】 原式




24

11





24

11





24

11





24

11





24

11





24

11




24

1

11




98

35

1

11




50

35
1

11




50

3 5
1

11




24

35
1

11




24< br>
35
1

11



12

35
1

11



12

35

1

11


99

5152

1



99


1



98


1

1

1


2
< br>
49

5254

1

11
 

49

2627

1



49


1

1



48

50

1

1

1< br>

2


25

2628

1

11




25

1314
1

11

2

11

1416
1

11




11

78


1

1



24

50

1

11


24

5025


1

1 1



12

5025
1

111

11

111

1










2





246

35
81012

5025
1

111
< br>11

111

1


< br>








 



246

35

456
5025

1
【答案】

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18
1149


502550
49

50

24612


335357357911
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【例 18】 计算：
【解析】 原式

315171

335357

13 1

35791113

1



35791113

1

1




1
335


1
11

1





3579 11

335
1

35791113
135134



135135
135134
【答案】
135135

122
2

【例 19】 计算：
133557

2
3
2
8
2
4


1719

135357

2
11




171921

【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
2
3
2
4
【解析】

135357< br>224

133557
12

所以原式

1335
2
11
2244

1719 2113353557
2
8
2
9


17191921

22
8
24



1719

133557
2
9
2
9


17191921
2
8
2
9




17191921

2
9
1512133379




192113399399
379
【答案】
399


整数裂项


知识点拨
整数裂项基本公式

1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4

例题精讲

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

【例 20】
1223344950
=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S＝
122334
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S＝49×50×51÷3＝41650
【答案】
41650


【巩固】
1223344556677889910
________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对 于项数较多的情况显
然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
4950

11
n

n1

n 2



n1

n

n1

，
333
111

1

1

所以原式
123

234123



910118910


333

3

3

1
91011330

3
另解：由于
n

n1

n
2
n，所以
n

n1


原式
1
2
12
2
2
n

n1

n 2



n1

n

n1




9
2
9


11
9

91019910
330
< br>62
1
采用此种方法也可以得到
1223n

n 1

n

n1

n2

这一结 论．
3
【答案】
330


【例 21】
14477104952
=_________

1
2
2
2
9
2



12
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 设S＝
1447710
1×4×9＝1×4×7＋1×4×2




4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….
49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9S＝49×52×55＋1×4×2
S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
【答案】
15572


【例 22】
123234345
4952

91011

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

11
【解析】
n

n1

n2

n

n1

n2
< br>n3



n1

n

n1

n2

，所以，
44
原式
11

1

1234

23451234


44

4

1
91011 12
2970

4
从中还可以看出，
1232343 45
【答案】
2970


【例 23】 计算：
1 35357
1

1



910 1112891011


4

4

1
n

n1



n2
n

n1

n2

n3


4
171921
．
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 可以进行整数裂项．
35791357
，
8
579113579

579
，
8
1719212315171921

171921
，
8
3579135717192 12315171921
所以原式
135
8 8
17192123135717192123135
1950 3

135
88

357
也可适用公式．
原式


32

3

32



52

5

52



192

1 9

192




3
2
 2
2

3

5
2
2
2
< br>5


3
3
5
3



19
2
2
2

19

19


19

3

20
3


19
3

4

35


1
3
3
3
5
3

而
1
3
3
3
5
3
19
3

4

135
19
3< br>

1
3
2
3
3
3
20< br>3



2
3
4
3
6
3

11
20
2
21
2
810
2
11
2
19900
，
44
13519 10
2
100
，所以原式
199004100319503．
【答案】
19503


【巩固】 计算：
101622162228707682768288

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 可进行整数裂项：
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18


101622284101622
< br>1622283410162228



原式
=




2424


7 076828864707682

768288947076 8288





2424
1016222841016221622283410162228
= 

24242424
707682886470768276 82889470768288


24242424
768288944101622

=
2424
768288944101622

=
24
=2147376

【答案】
2147376


【巩固】 计算：
123434565678979899100

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补 上，
再进行计算．
记原式为
A
，再设
B234545 67678996979899
，
则
AB123 423453456979899100

1
9798991001011901009880
，
5< br>现在知道
A
与
B
的和了，如果能再求出
A
与
B
的差，那么
A
、
B
的值就都可以求出来了．
AB1 23423453456456756789798991 00

4(123345567...979899)

222
4

2(21)4(41)6(61)

98(98
2
1)



98)

4(2
3
4
3
6
3< br>98
3
)4(246
11
4849
2
50
2
410049
48010200

42
所以，
A

190100988048010200

2974510040
．
【答案】
974510040


【例 24】
2004200320032002200220012001 2000
【解析】 原式
20032200123212

2

13520012003


2

12003

10022

21

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2008008

其中也可以直接根据公式
135 7
135200120031002
2



2n1

n
2
得出
【答案】
2008008


【例 25】
11!22!33!20082008!

【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 观察发现
22!221(31)213!2!
，
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18

33!3321(41)3214!3!
，……
20082008!20082008200721
，
(2009 1)20082007212009!2008!
可见，原式
1!(2! 1!)(3!2!)
【答案】
2009!


(2009!2008!)

2009!

12345699100


23459899
【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算
【例 26】 计算：
【解析】 设原式=
B

A
AB122334989999100


991001019899100




1




123012
< br>

234123


3

1< br>
99100101333300

3
BA1232992501005000

B33330050003383


A33330050003283
3383
【答案】

3283


1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 18 of 18