分数裂项计算.docx
河北医科大学临床学院-高中生自我鉴定范文
.
分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的
过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行
适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先
找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法
分数裂项和整数裂项， 常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
裂项的计算题时， 要仔细的观察每项的分子和分母，
.裂项分为
遇到
找出每项分子分母之间具有的相同的关
这样的话，
系，找出共有部分， 裂项的题目无需复杂的计算， 一般都是中间部分消去的过程，
找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a
b
前面，即 a
形式的，这里我们把较小的数写在
b ，那么有
1
a b
1
b
(
1
1
)
a
a
b
(2) 对于分母上为 3 个或 4
个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1)
(n
1
1)
(n
n
(n
1
，
2)
n
(n
1) (n
2)
1
1
[
(n
1
形式的，我们有：
3)
]
n
(n
2)
2
n
(n
1)
(n
1)(n
2)
.
.
1
1
1
[
1
(n 1) ( n 2) ( n 3)
]
n (n 1) (n 2) (n 3)
3
n
(n 1) ( n 2)
裂差型裂项的三大关键特征：
（ 1
）分子全部相同，
最简单形式为都是
但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是
（
2
）分母上均为几个自然数的乘积形式，
（ 3
）分母上几个因数间的差是一个定值。
1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 )的，
1 的运算。
并且满足相邻
2 个分母上的因数
“首尾相接”
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（
1
）
a bab
1
1
a b a b a b b
a
2
（
2
）
a
b
2
a b
a
2
b
2
a
b
a b a b
b
a
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是
“两两抵消达到简化的目的”
，裂和型运算的题目不仅有 “两两
抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例题精讲
【例 1 】
1
1
2
1
1
1
1
6
。
2
3
3
4
4
5
5
【巩固】
1
1
10
11
11
12
......
1
59
60
【例 2 】
1
1
5
1
3
3
1
L
5
7
1
99
101
.
.
【巩固】计算：
25
1
1
1
L
1
1
3
3
5
5
7
23
25
【例 3
】
1
1
1
L L
1
1
1 2
1 2
3
1 2 L 100
【例 4 】计算：
(
1
1
1
1
1
1
1
1
)
128
8
24
48
80
120
168
224
288
【巩固】
1
1
1
1
1
1
1
1
______
6
12
20
30
42
56
72
90
.
.
【例 5
】计算：
1
1
1
5
7
9
L
1
1
3
5
3
5
7
2001
2003
2005
6 】计算： 2008
2009
1
18
1
1
2
1
2
6
1
2010
1
1
2011
54
108
180
3
1
4
1
L 20
1
12
20
420
.
2012=
1
。
270
【例
【巩固】计算：