六年级数学专题复习：分数的裂项.docx
南山中学-重庆民生职业技术学院
例题精讲
分数的巧算：裂项
知识点分析：
特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。它 们
①
引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以 直
②
裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分
数
有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：
接运用这些公式使计算简便。
可以互相抵消，从而达到巧算的目的。
例
1:
分析:
-------- 1 --------- 1
--------- … ---------------
1 1 1 1
1x2
2x3 3x4 9x10
观察发现每-
个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子
1
就是它们的差，可以运用裂项公
,先裂项，再求和。
1x2 2x3 3x4 9x10
_ ____
二丄__
n(ri + ci) n n + a
解答： 原式二丄+丄+丄+...+丄
注重：必须弄懂
第一种裂项公
10
9
式：
a
二
1__1
n(ii + a) n n + a
举一反三①
⑴丄+丄+丄+ +_!_
5x6 6x7 7x8 20x21
⑵丄+丄+丄+ +^_
1x5 5x9 9x13 …49x53
(3)
5 5 5 5
------- 1 ---------
1
------------- ・・.
2x7 7x12 12x17 ------------
42x47
J ■ ----------- d ----------- 1
--------- …+ -----------------
2x4 4x6 6x8
98x100
分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差
2
.如果想
办法将分子都变成
2,
就可以利用例
1
中的公式计算了。
解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。
原式=
--------- 1 ---------- 1 --------
<2x4 4x6
6x8
(111111
---------- 1 ----------- 1
---------- F
X —
1
2
4
98x100
丿
+
方法一：先将分数变形，再
利用第一种裂项公式：
—丄__ 进行计算。
n(ii + a) n n + a
(
2 4 4 6 6 8
49
49
200
——X
—
98 ~100
1
100 2
方法二: 直接运用另-
个裂项公式
1 1
98 100
丿
方法二：引用第二种裂项公式:
2 100 _
49
200
1 1
=—X
nn + d) d
注重公式的由来!
举一反三②
(1)
1 1 + ---- + 3x6
------ 6x9 ----- 9x12
1
+... + -
33x36
-------- + ------------- +
----------------- F …+
1 1 1 I
3x6 6x9
9x12 33x36
(3)
----------- 1
------------ 1 ------------------ …
1x7 7x13
13x19 37x43
例
3
：
丄+丄+丄+丄+丄+丄(第二届新起点杯数学竞赛试题)
2 6 12 20 30 42
1,
将分母加以变形,
分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是
再利用裂项公式即可求出和。
解答:
原式=—+—+
6>
7
6
7
先将分母变为两个数相乘的形
式，注意耍使相乘两数之差相
等，再利用第一种裂项公式
° =丄__ 求和。
n(ii + a) n n
+ a
举一反三③
(1)
丄+丄+丄+丄
72 90 110
(3)
中才
3$$
癌+
5
存
6
右+
7
律
132
------------- 1
--------------- ・・・ --------------------
1x2x3 2x3x4 98x99x100
分析：观察发现每一个
分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子
2
是每个数与第三个数的相差数,
运用裂项公式
2
二 ________________
1
先裂项，再求和。
z?x(n + l)x(z + 2
)
?x(n + l) (? + l)x
(i
+ 2
)
解答:
_1_ 1
原式二
------------- 1 -------------
(1x2 2x3
丿
<2x3
1 ______ 1
3x4
198x99
99x100
丿
第三种裂项公式：
2 ___ 1 _________ 1
X
2~99
X
100
_ 4545
nx(n +
1)x(? + 2
)
nx(n
+1) (n + 1)x(
〃 +
2
)
通过代数法先理解公式的推导，再结合题
H
解题
举一反三④
⑴
+ + 2 3x4x5 4x5x6
*
9x10x11
⑵2+2_
+丄+丄+丄+丄
14 84 204 374
590 864
+ + …
I
6x7x8 7x8x9
48x49x50
1 1
例
5
：
1
十
1
1 + 2
| 1
十 _______ ! _________
1 + 2 + 3 + 4 + .
・
+100 1 + 2 + 3 1 +
2 + 3 + 4
分析：观察发现每一个分数的分母都是从
1
开始的连续若
T
•个口然数的和，因此分母可以运用等差数
那么
1 _ 2
°所以分母就变成了两个数相乘的形式，最
I + 2 + 3 + 4 +
・
.+
〃
(1 + w)x
n
后再采用裂项法计算。
解答:
2x3 3x4 4x5
2
100x101
运用等差数 列的求和公式先 将
每一个分数变 形，再利用第一种
裂项
公式进行计 算。
= 2x —
202
99
1
+ 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 +
.
・
+ 2012
举一反三⑤
<1) 1
十
1
十
1 I 1 ...I 1
1
2
1
2 + 3
2 + 3 + 4
1 1
2 + 3 + 4 + .. + 50
—+
-------- + ----------------- .・■
模拟练习
一.初级
10x11
+
11x12
+
12x13
+-+
59x60
1
20 3() 42
132
二中级
•丿、
1 ——+ _ + _ + _ + _
+
6 42 56 72 90
H
1
o
7
I
1111 1 I
2 4 8 16 32 64
三.高级
g 1 7
9 11 13 15 17 19
p、
i _ ____ ___ i ___
_ _j _ ____
3 12 20 30 42 56 72 90
10
、
1 1 1 + ... + 1x2x3 2x3x4
20x21x22
1 1 1 1 73
--- + ------------- +
----------------- +
-------------------------------
1x3 1x3x5
Ix3x5x7 Ix3x5x7x9 945
1
-
3x8 8x13
13x18 ---------
-----
1 1 1
+
---------+ ----------- +
5
... +
8x63
----- 4
1x3
--------- +
3x5
----------- F
5x7
…4 ------------
55x57
6
、
1
+
5
+
11
+
19
+
29
+
+
9701
+
9899
2 6 12 20 30 …9702
9900
8
、卩+丄+丄+丄+丄农
64
48 80 120 J
Is 24
12
、
］+
丄
+_2_+
1x2
1x2x3
Ix2x3x4
+…H
-------------------------
Ix2x3x4x5
小考真题
（2008
年韶关北中,
9
题）:
1+
丄+丄中去掉（
10
12
余下的各数和等于
1
。
丄和丄
2 10
D
、
2
、
（2008
年韶关北中,
21
题）:
2009 2009 2009 2009
----------- 1 + + …+
2x4 4x6 6x8 4016x4018
3.
（2010
年韶关统考，
17
题）:
冇两根同样长的木条。从第一根中先用去丄， 再用去余卞的丄米; 从第二根中先用去丄米，再用去
4
余下的丄，两条木条仍然有剩余。比较两根木条剩下部分的长度（
4
4
)