贵阳高中招生网-全国文明城市排名

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问
题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结
（一） 用裂项法求
1
型分数求和
分析：因为

n(n1)
n1n1111
11

＝（n为自然数） 所以有裂项公式：


n(n1)nn1
nn1
n(n1) n(n1)n(n1)
【例1】 求
111
的和。
......
101111125960
11
型分数求和：
分析：型。（n,k均为 自然数）因为

n(nk)n(nk)
（二） 用裂项法求
1111()
1111nkn1
()[]
所以
n(nk)knn k

knnkkn(nk)n(nk)n(nk)
【例2】
11 111

计算
577991111131315

kk
型分数求和：
分析：型（n,k均为自然数）

n(nk)n(nk)
（三） 用裂项法求
nknkk
1111

＝＝

所以＝



n(nk)
nnknnk
n( nk)n(nk)n(nk)
【例3】 求
2222
的和
.. ....
1335579799
2k2k
型分数求和：
分析：

n(nk)(n2k)n(nk)(n2k)
（四） 用裂项法 求
2k11

（n,k均为自然数）
n(nk)(n2k)n(nk )(nk)(n2k)

【例4】 计算：
4444
......

1353579395 97959799
11
型分数求和
分析：（n,k
n(nk)(n2 k)(n3k)n(nk)(n2k)(n3k)
均为
（五） 用裂项法求
自然数）

【例5】
111
......
计算：
1234234517181920

（六） 用裂项法求
均为自然数）

3k3k
型分数求和：
分析：（n,k
n(nk)(n2k)(n3 k)n(nk)(n2k)(n3k)
333

......
1 234234517181920
1
3
7
2937415 329
3
【例7】计算：＋＋＋＋＋＋＋＋
7
8
36
56 63727784
88
29374153
【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成 两类来看，一类是把、、、这四个分
56637277
7
29
3
数， 可以拆成是两个分数的和。另一类是把、、这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然
36
84
88
【例6】 计算：
后再根据题目中的相关分数合并。
1
41< br>3
411
3
14131
6
＋＋（－）＋（＋）＋（＋）＋（＋ ）＋（ ＋）＋（－）
11
8
97
8
947
8
79 7712
1
1
＋（－）
8
11
1
1
3< br>411
3
14
1
4111
6
3
＝＋＋－＋＋ ＋＋＋＋＋＋＋－ ＋－
8
117
8
947
8
79
8
97
11
712
3311
1111344411
6＝（＋＋＋＋）＋（＋＋＋）＋（＋＋）＋（－）－（
11
11
8888
7777799912
1
＋）
4
45
1
＝1＋1＋＋－
311
3
5
＝
3

11
1
112223
3
3
【例8】计算：（1＋＋＋…＋）＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋） ＋…＋
2
3
6034604
5
60
58
5859< br>（＋）＋
60
59
60
原式＝
【分析与解】先将题目中分母 相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
原式＝1＋




1
2
1
2
3
41123151< br>＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋（＋…＋）＋…＋（＋
3
3
5
5< br>5
524446660
235859
＋＋…＋＋）
60606060
1
1
(12)2
1
(13)3
1
(14 )4
1
(159)59
＝1＋＋×＋×＋×＋……＋×
5
2
3
460
222
2
1234
59
＝1＋＋＋＋＋… …＋
2222
2
1
＝1＋×（1＋2＋3＋4＋……＋59）
2
1
(159)59
＝1＋×
2
2
＝1＋15×59
＝886
【巩固练习】

111
111111
＋＋＋……＋ 2、＋＋＋＋
4 55667
394010111112121313141415
1111
1
111
1
1
3、＋＋＋＋＋ 4、1－＋＋＋
261220
30
42642
56
72
111
11
1
11
5、＋＋＋……＋ 6、＋＋＋……＋
244668485015
59
9133337
1111
1
179
11
13
15
7、＋＋＋＋ 8、
1
－＋－＋－
42870130
208
31220
3 0
42
56
11
1
1
1
1
9.＋＋＋＋＋ 10．÷＝
24
8
16
32
64
1、
17171 7
11、（11－ ×15）+(13－ ×13)÷(15－ ×11)
393939
19． 4×5×6×7×……×355×356的末尾有( )个零。
20．要使325×765×895×()的积的末尾有5个连续的0，括号内填入的自然数最小是
( )。
21．124124×366366×5210002的尾数是( )。
22．证明：＋3的和不能是两个连续的自然数的积。