乐山职业技术学校-祝寿

一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算 称为裂项法.裂项分为
分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或 差。遇到
裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，
找到相 邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即前面，即
ab
，那么有
1111
()

abb aab
1
形式的，这里我们把较小的数写在
ab
(2)对于分母上为3个 或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1) (n2)n(n1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2) (n3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复 杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，
但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵

消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。





11111

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【例 1】
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

【解析】 原式

< br>







12
 
23


11

115







56

166
提醒学生注意 要乘以(分母差)分之一，如改为：
程就要变为：
1111

11

1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6
1111
，计算过

13355779

111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2



2< br>




4534

91089

310

15
7
【答案】
15

1111
【例 2】



11212312100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题为典型的“隐藏 在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需
要从最简单的项开始入手，通过公式的运 算寻找规律。从第一项开始，对分母进行
112
等差数列求和运算公式的代入有，

(11)1
112
2
112
，……，

12
(12)2
23
2
2222120099
原式


2(1)1
1223341001
99< br>【答案】
1

101
1111
【例 3】


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】
(1…）
1 3355799101
50
【答案】
101

11

1

【巩固】 计算：
25

133557


1




2325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级
1

111
【解析】 原式
25

1 
2

335

11

1

1< br>
2524


25

1


12

2325

2

25
< br>225
【答案】
12


2551
【巩固】 < br>
4881212162000200420042008
【考点】 分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式



251

111



16

122334

11




500501501502

251

11111


1
16

22334
25150150121
15

165023232
21
【答案】
15

32

11




501502


3245671


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
百分数学培训奥数班

【解析】 原式

【答案】

1

2
11
1



2557 722929
2
11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，101中学
1111
【解析】 原式
（）128

2446681618
1111111

（）128

224461618
11

（）64

218
4

28

9
4
【答案】
28

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
11111111


6122< br>11111111

233445566778899 10

112
==
2105
2
【答案】
5

111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
【解析】 原式
1

1
111

121 231234

1

1234567
222


233478
11

11111

2




78

22334

1

7

2

1




8

4

【答案】

7

4
111111111

＝
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
【解析】 原式




111111111
( )

223344556677889910
111 11
(
22334
111
()

2210

11
)

910
1
10

【答案】

1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



25588 1111141417
1

1111111111






3

25588111114 1417

1

11

5






3

217

34
5
【答案】
34

1111


13535757 9200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【例 5】 计算：
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】 原式

1

11

11


< br>
4



1335

3557


11









2001200320032005


1< br>
11

1004003






4

1320032005

12048045< br>【答案】

1004003

12048045
百分数学培训奥数班

7
4.50.1 6
1

111
18
【例 6】






1
1 33.753.2

3153563

3
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2007年，仁华学校
7 9161

111

1
18290
【解析】 原式





1
1335577 9

1331.2540.8

3
71

46

1


1
1

1
1

1

1



1
233579

1312
3
46318
23
=

24429
36
23
【答案】
36