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分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即< br>ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 1 of 5

a
2
b
2
a
2
b
2
ab
a bab11
（1）



（2）
aba babba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运 算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转 化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】 原式














12

23

56

166
1111
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为 ：

13355779
1111

11
< br>1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6

111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2



2< br>




4534

91089

310

15
7
【答案】
15

1111
【例 2】


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】
(1…）
1 3355799101
50
【答案】
101

3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 2 of 5
例题精讲

【答案】

1

2
11111111
【例 3】 计算：


6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
11111111


6122
11111111
23344556677889910

112
==
2105
2
【答案】
5

111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
111111111
【解析】 原式
()

2233445566778899 10



【答案】

11111
(
22334
111
()

2210
1
10


11
)

910
1

10
11111
【例 4】 计算：
123420

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
11

111

【解析】 原式


12320






420

261220
11111

210 
122334452021
1111111
2101 

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21

11224
【巩固】 计算：

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 3 of 5

【解析】原式



1325375117


26153577
111111111


2233557711
110


1111

1
【答案】

10

11
19899

．
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】四中
1

1

1

1

【解析】 原式


1



1



1



1


26129900

11

1

99




9910 0

1223
11

111
99
< br>1


99100

223
1

99

1


100

1

98
100
1
【答案】
98

100

11798175
【例 5】


451220153012

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111

2452
3

3456
【答案】
3



111111
【例 6】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()
< br>24466881010121214
11
() 

24466881
1113
()

214214
3
【答案】
14
【巩固】 计算：
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 4 of 5

56677889910


56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】
10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5




【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3

1111

212

313

111

















3

4

3366

555
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111

11
 
11

11

11

11




















【解析】 原式

23303141

317
< br>717

430

341

431

11111111
2

23374347
1
【答案】
2

7





【例 7】
1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 5 of 5