六年级下册奥数讲义 - 分数裂项巧求和全国通用含答案巽怎么读

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六年级奥数讲义：分数裂项巧求和
教学目标：理解和掌握分数裂项巧求和的解题思路和方法，正确解答较复杂的相关的求和问
题。
教学重点：熟练掌握常用的分数裂项求和的方法。
教学难点：能够根据具体条件选用合适的方法解答相关问题。
【专题解析】
细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分
数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分
数差的形式。写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的两个自然数。（这
种方法称为“裂项法” ）
1111111111
1
1
如：＝—；＝—；＝—；＝—；……
1 2
1
2232334344545
我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。
【精讲精练】
11111
例1．计算：+++…++ < br>12233448494950
分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。但
是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。
11111
+++…++
12233448494950
111 1111
1
1
1
＝（—）+（—）+（—）+…+（—）+（—） < br>2334484949
501
2
111
1
11111
1
＝—+—+—+…+—+— （去掉括号）
484949
501
22334
11
＝— （中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0）
150
49
＝
50
【举一反三训练1】
计算：（1）

1111
（2） + + +…+
4×55×66×739×40

1111
（3） + + +…+
1×22×33×499×100

11111
+++…++
12233418191920

例2．计算：
1111
+++…+
612202450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？
仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。这
样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形式。
1111
+++…+
612202450
1111
＝++…+
2334454950
1111111
1
＝—+—+—+…+—
23344549
50
12412
1
＝—＝＝
2
50
5025
【举一反三训练2】
计算：（1）

1111111111
（3） + + + + + （4） 1－ + + +
26122

11111
1
111
1
++++…+ （2）+++…++
26122020
30
42132156
90

例3. 计算：
4444
+++…+
155991320012005
分析与解：这道题中每一个分数的分母都可以写成不相邻的两个自然数乘积的形式，分子是这两个
自然数的差。这样每一个分数也都可以写成两个分数差的形式，写成的两个分数的分子是自然数
1，分母分别是原分数中分母上的两个自然数。如：
4411
1
1
＝—；＝—等等。
15
1
55959

4444
+++…+
155991320012005
111
1
1111
＝—+—+—+…+—
20012005
1
559913
1
1
＝—
1
2005
2004
＝
2005
【举一反三训练3】
计算：（1）

（2）

（3）
5555
+++…+
27712121797102
3333
+++…+
25588113235
2222
......

1335579799

例4. 计算：
1111
+++…+
155991320012005
分析与解：是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完全一样？例3中每一个分数的分子都
是4（两个自然数的差），而这道题中每一个分数的分子都是1，可以直接将每一个分数写成两个
分数相减的形式吗？该怎么计算呢？
这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的差呢？利用分数的基本性
质是完全可以的。所以给原题乘4，为了使原题的值不变，然后再除以4.即：
1111
+++…+
155991320012005
1111
＝（+++…+）×4÷4
155991320012005
4444
＝（+++…+）÷4
155991320012005
11
1
11111
＝（—+—+— +…+—）÷4
20012005
1
559913
1
1
＝（—）÷4
1
2005
2004
＝÷4
2005
501
＝
2005
【举一反三训练4】
计算：
（1）

（3）

11111111
+++…+ （2）＋＋＋…＋
277121217971022446684850
11111111
+ ++…+ （4）＋＋＋…＋
5101015152040451335579799

例5. 计算：
1111
+++…+
1212 31234123450
分析与解：先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分数，找出规律然后计算。
1111
+++…+
121231234123450
1111
＝+++…+
36101275
2222
＝+++…+ （分子分母同时乘以2）
612202550
1111
＝（+++…+）×2 （利用乘法分配律，把分子的2同时
2334455051
11
＝（—）×2 提到括号外面）
251
4949
＝×2＝
10251
【举一反三训练5】
计算：（1）

（2）

1111
+++…+
121231234123420
1111
+++…+
1212312341234100

（3）

111
1
+++…+
33535735721

【课后作业】

（1）
1

179
11
13
15
－＋－＋－
31220
30
42
56
（2）

1111
+ + +…+
1×55×99×1333×37

（3）

111111111


26122
（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

111

（10）
112123

1
12100