1-2-2-1-分数裂项.教师版.doc
江淮学院-土壤学实习报告
分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是
发现规律、利用公式的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需
要进行适当的变形，或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，
列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前
提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法
.
裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程， 这样的话， 找到相邻两项的相似部分，
让它们消去才是最根本的。
(1)
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，
那么有
1 1
( 1
)
a b b a a b
(2) 对于分母上为 3 个或 4
个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
即
1
形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即
a b
，
a
b
n (
n
，
1) (n
2) n ( n 1)
1 1
1
[
1
1
形式的，我们有：
3)
]
2)
(
n 2) ( n
1
n ( n 1)
(n
2)
2 n (n 1) (n 1)(n
1
[
1
1) (n
1
n ( n
1) (n
2) (n 3) 3 n (n
1 ]
2) (n 1)
(n 2) (n 3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（
1）分子全部相同，最简单形式为都是
提取出来即可转化为分子都是
1
的运算。
1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻
（
3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2 个分母上的因数“首尾相接”
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
b ab1 1
（ 2）
a b
a b a b b a
裂和型运算与裂差型运算的对比：
（ 1）
a
a b
a b
2 2 2
2
a ba b
a b a b b a
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”
，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时
还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例题精讲
【例 1】
1
1
1
1
1
1 2 2
3 3 4
4 5 5
6
【考点】分数裂项
【难度】 2
星
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
【解析】
原式
。
【题型】计算
1
1
1
2
1 1
2
3
L
1 1
5 6
1
1
1
5
6 6
提醒学生注意要乘以
( 分母差 ) 分之一，如改为：
1 1
1
1
3 3 5 5 7
1
，计算过程就要变为：
7 9
1
1
1 1
1
3
3
5
5
7
7
9
【答案】
5
1
1
1
1
．
9
2
1
6
【巩固】
1
......
1
10 11 11
12
59 60
【考点】分数裂项
【难度】 2 星
1 1 1
1
1
【解析】 原式
(
) ......
) (
(
10
11 11 59
12
【答案】
1
60
)
【题型】计算
1
1 1
1
10
60 12
12
2
【巩固】
2
L
2
2
10 9 9
8
【考点】分数裂项
【解析】 原式
2
1
5
4 4 3
【难度】 2 星
【题型】计算
2
1 1
1
10 8
9
【答案】
7
9
L
1 1
1 1
4 5
3 4
1 1
3 10
7
15
15
【例2】
1
1
1
L L
11212
3
1
2
L
100
【考点】分数裂项
【题型】计算
【难度】 3 星
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
1
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
代入有
1
原式
99
， ， ，
1
1
2
2
1
1 2 1 2
(1
2)
2
2
3
(1 1)
1
1
2
2
2 2
2 200 99
2
1
L L 2 (1 )
1
1
2 100 101
101
101
2 3 3 4
101
【答案】
1
【例 3】
101
1
1
1
1 3 3
5 5
【考点】分数裂项
7
L
1
99 101
【难度】 2 星
【解析】
1 1
1 L
1 3 3
5
7
5
【答案】
50
1 1
(1
1
1
99
101 2
3 3
5
1
【题型】计算
1
）
50
1
99 101 101
101
【巩固】 计算： 25
1
1
1
1
7
3 3
5 5
L
1
23 25
【考点】分数裂项
【难度】 2 星
【关键词】 2009
年，迎春杯，初赛，六年级
【题型】计算
【解析】 原式
25
1
2
1
1
1 1
3
3 5
L
1
1
23
25
25
1
2
1
1
25
25
2
24
25
12
【答案】
12
【巩固】
251
251
251
4 8
8 12 12 16
2000 2004
【难度】 2 星
【考点】分数裂项
【关键词】 2008
年，台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】
原式
L
251
251
2004 2008
【题型】计算
251
1
1
1
16
1 2 2
3 3 4
L
1
1
500 501
501
502
251
1 1 1
2 2
16
251
501
501
1 1
1 L
1
1
3 3
4
501
502
21
15
【答案】 15
502
16
21
32
32
32
【巩固】 计算：
3
2
4
5
6
7
1
2
5 5 7 7 11 11 16
16 22 22 29 29
【难度】 3 星
【考点】分数裂项
【题型】计算
【解析】 原式
1
2
1 1 1 1
5 5
7 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
【答案】
1
11 11 16 16
22
22 29 29 2
2
【例 4】计算：
(
1
1
1
1
1
24 48
80 120
168
【难度】 2 星
【考点】分数裂项
【关键词】 2008 年， 101
中学
【解析】 原式 （
1
1 L
2
4
4
6 6
8
1
（
1
2
1
8
1
1 ) 128
224
288
【题型】计算
1
1
） 128
16 18
） 64
（
2
18
4
28
9
4
【答案】 28
9
【巩固】
1
2
1
1
4
1
1 L
4
6
）128
1
16 18
1
1
1
6
12
20
【考点】分数裂项
1
1 1 1 1
1
_______
30 90
42
56 72
【难度】 2 星
【题型】计算
【关键词】 2008
年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】
根据裂项性质进行拆分为：
1
1
1 1
1
1
1
1
6
12
20
1
1
=
30 42 56
72
1
1
1
90
1
1
1
2
3 3 4 4 5
5
1
1
2
6 6 7
7 8
8 9
9 10
=
2
10
5
【答案】
2
5
【巩固】
1
1 1 1
1 1
1
3
6 10 15
21
28
【考点】分数裂项
【难度】 6 星
【关键词】 2008 年，第 6 届，走美杯， 6
年级，决赛
【解析】 原式
【题型】计算
1
3 4
1
1
1
2
3 4
1
2
L
1 2
1
1 2 3
L
1 2
7
1
L
3 4
1
2
5 6 7
2
2 3
1 1
8
1
2
1
1
1
2
2
1
8
3
3
7
4
4
7
8
2 1
【答案】
7
4
【巩固】 计算：
1
1
1
1 1 1
1
＝
12 20
30
42 56 72 90
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【题型】计算
【关键词】 2006 年，第 4 届，走美杯， 6 年级，决赛
1
2 6
【解析】 原式
1
(
2
2
5 6 6 7
3 3
4
4 5
1 1 1
1
1
1 1
L )
(
2
2
4
10
3 3
9
1 1
1
)
(
2
2 10
1
1 1
1
1
1
1
1
1
9
1
)
7
8 8
9
10
【答案】
1
10
10
1
【巩固】
1 1
1 1
10 40 88
【考点】分数裂项
【解析】 原式
154
238
【难度】 3 星
1
。
【题型】计算
1
1
1
1
1
2 5 5 8
8 11 11
14
14 17
1
3
1
3
5
34
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
2 5 5 8
8
11 11 14
1
14 17
5
34
2 17
【答案】
【例 5】计算：
1
1
1
1
3 5 3
5
【考点】分数裂项
7 5 7 9
【难度】 3 星
L
1
2001 2003 2005
【题型】计算
【关键词】 2005 年，第 10 届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】 原式
1
1
1
1
1
7
L
2001
1
1
4 1 3 3 5
3 5 5
1
2003 2003 2005
1
4
1
1004003
12048045
1 3
2003 2005
【答案】
1004003
12048045
7 &
4.5
0.16
1 1
1
18 1
【例 6】
1
3.75 3.2
3
15 35 63
13
3
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【关键词】
2007
年，仁华学校
7 9 16 1
【题型】计算
【解析】 原式
18
13
2
90
1
3 1.25 4 0.8
1 1
1
3 3
5
1 1
5
7
7 9
3
7 1
4 6
1
1 2
12
13
3
46 3 1 8
1 1
1
1
3
3 5
1 1
7 9
23
=
【答案】
23
36
24 4
2 9
36
1
2
【例 7】计算：
1
12
20
420
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【关键词】第五届，小数报，初赛
6
2
1
3
1
4
1
L
20
1
【题型】计算
【解析】 原式
1 2
3 L
20
1 1
2 6
1
1
1
L
1
12 20
L
1
1
420
210
1
1
【答案】
210
2 3
3 4
4
5
1 1
1
1 1
210 1
L
2 3 3 4
20
2
1
20
210
1
210
21
21
20
1
2
1
20 21
1
21
21
【巩固】 计算： 2008
1
18
【考点】分数裂项
1
1 1 1
2009 2010 2011 2012 =
108
180
54
270
【难度】 2 星
【题型】计算
。
【关键词】 2008
年，学而思杯，
6年级，1试
【解析】 原式
2008 2009
2010
2011 2012
1
1 1
1
1
3 6 6 9
L
1
1
5
6
9 12 12 15 15 18
2010
5
1
9
1 1
1 2
1 1
2 3
10050
5
54
【答案】
5
10050
54
【巩固】 计算：
1
1 2
2 4
____。
2 6 15
35 77
【考点】分数裂项
【难度】 2 星
【题型】计算
【关键词】 2009
年，学而思杯， 6 年级
【解析】 原式
1 3 2 5
3 7 5 11 7
2 6
35
77
15
1 1 1 1
1 1 1 1
1
2 2 3 3
5 5 7 7
11
1
1 10
11 11
【答案】
10
11
【巩固】 计算：
1
1 1
1 1
1
1
3 15 35 63 99
143
195
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【题型】计算
【解析】
分析这个算式各项的分母， 可以发现它们可以表示为：
3
2
195
14
2
1 13
15 ，
所以原式
1
1
1
1
1
1 1
1 3 3
5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
1 1 1 1
1 1
1
1 1
2 1 3
2
3 5
L
13 15
2
1 1 1 7
7
2 1 15 15
【答案】
15
【巩固】 计算：
1
5 11
19 29 L 9701 9899
．
2 6 12
20 30
9702 9900
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【题型】计算
【关键词】 2008 年，四中
【解析】 原式
1
1
1
1
1
1
L
1
1
2
6
12
9900
99
1
1
L
1
1 2 2 3
99 100
99 1
1
1
1
2
L
1
1
2 3
99 100
1
99 1
100
98
1
100
2
113
，
2
4135
，
15
，
【答案】
98
1
100
1
【例 8】
1
2 3 4
1 2 3
【考点】分数裂项
L
1
7 8 9
【难度】 3 星
【题型】计算
n 1
1
【解析】 首先分析出
1 n 1 1
1
n 1 n n 1 2 n
1 n n 1 2 n 1 n n n 1
1
1
原式
1
2
1
1
1
1
L
1
1
1
7
1
1 2 2 3
2 3 3 4
6 7 7
8
8 8 9
1
2
35
144
1 2 8 9
【答案】
35
144
【巩固】 计算：
1
1 2
1
3
【考点】分数裂项
【解析】 原式
2
3 4 98 99 100
【难度】 3 星
1
1
L
1
【题型】计算
1
(
1 1
1
1
98
99
1
99 100
)
2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4
1
1
1 1 4949 4949
(
)
2 1
2 99 100 2 9900 19800
4949
【答案】
19800
【巩固】 计算：
1
1
3
1
1
5
【考点】分数裂项
【解析】 原式＝
2 4 6
3 5 7
【难度】 3 星
L
1
20
22
24
【题型】计算
1
＝
(
1
1 3
1
1
＋ +
1
＋
1
+ +
+
5 3 5 7 19 21
23
2 4 6 20 22 24
＝
40
＋
65
＝
28160
＋
10465
483
2112
340032
340032
1
－
1
)＋(
1
－
1 )
4 1 3 21
23
4
2
22
24
4
1
＝
38625
340032
【答案】
38625
340032
【巩固】
4
4
......
4
4
1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99
【难度】 3 星
【考点】分数裂项
【题型】计算
1 1
1
1 1 1
1
1
【解析】
( )
(
)
...... (
)
(
)
1
3 3
5
3 5 5
7
93 95 95
97 95
97 97
99
1 1
3200
【答案】
3200
1 3 97 99
9603
9603
【巩固】
99
1 2
98
97
3 4 5
L
1
3 2 3 4
99 100 101
【考点】分数裂项
【解析】
【难度】 3 星
【题型】计算
－
99
＝
100 1
＝
100
1
＝
100
－
1
1 2 3
1 1
2 3
2 3
1
2 3
2 3
2 3
＝
100
－
1
＝
100 2
＝
100
－
2
98
2 3 4 2 2
3 4 2
3 2 3
3 4
4
4 3 4
＝
100 3
＝
100
－
3
＝
100
－
1
97
3 4 5 3 3
4 5 3
4
5 3 4
5 4 5
4 5
1
＝
100
99
＝
100 99
＝
100 1
－
－
99 100 101
99 100 101 99 99 100
101
99 100 101 100 101
100 101
100 100
100 100
1
1
1
原式
...
)
(
...
1 2
3 2 3 4 3 4 5
99 100 101
2
3 3
4
100 101
1 1
1 1
1
51
100
(
) (
)
24
2 2 10100
2
101
101
51
【答案】
24
101
【例 9】
1
1
1
1
1
1 2 3 4
2 3 4 5 3
4
5
6
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【解析】 原式
6 7
8 9 7 8 9
10
【题型】计算
1
3
4
1
3
1
3
1
1
1
1
1
2 3
2
3 4
2
3
4
1
5
L
1
1
7 8 9
8 9 10
119
2160
【答案】
119
1
2 3 8 9 10
2160
【巩固】
3
3
1
2 3 4
【考点】分数裂项
2 3 4 5
17 18
19 20
【难度】 3 星
【题型】计算
......
3
1 1
1
【解析】 原式
3 [
1
(
1
...
1
17 18 19
3
1
2 3
2 3
4
2 3
4 3 4
5
1
1
3 19
20
1
1139
1
)]
18 19
20
【答案】
1139
1 2
3 18 19
20
18 19
20 6840
6840
【例 10 】计算：
5
7
2 3
4
8 9 10
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【题型】计算
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
2．相比较于 2， 4，6， 这一公差为
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为
列 ( 该数列的第 n 个数恰好为 n 的 2
倍 )
，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大
以先把原式中每一项的分子都分成
原式
1 2 3
L
19
．
2 的等差数
3，所以可
3 与另一个的和再进行计算．
3 2
1 2
3
3
4
3
1
8
9
10
1
L
1
2 3 2 3 4
8 9
10
3 2 3 4
1
1
L
3
16
2
1
1 2
2
3 2 3
4
2
L
8
8 9 10
1
9
10
2
3
2
3
2
1
1
2
1
1 1
1
L
2
3 2
3
3
4
1
1
8
9
L
1
9 10
1 1
9
15
23
1 1 L
2
3 3
4
1
2 9
10
1
2
1
2
1 1
2 3
1
1 1
3 4
7
1
10
90
2
1
1
2 10
4
60 5
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n
3
，所以
2
n 1 n 2
2n 3
2
3
，再将每一项的
与
n n 1
n
2
n 1
n 2
n n 1
n 2
3
n 1
n
【答案】
23
n
2
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
15
7
5
【巩固】 计算：
1155
（
L
2 3 4
3 4
5
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【关键词】 2009
年，迎春杯，初赛，五年级
17
19
）
8 9 10
9
10
11
【题型】计算
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：
．这个算式不同
2 3 4 3 4
5
8 9 10 9
10
11
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
5
7
L
17
19
观察可知
5 2
3
，
7
3 4
，
即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
5
7
2 3 4
3 4
5
2 3
4
3
L
17
19
9 10 11
1
1
1
L
3 4 2 4
4 5
3 5
10 11 9 11
2 3 4
3 4 5
1 1
1
1
1
L
8
9
10 9
10 11
9 10
3
4 4 5
1 1
L
1
1
1
1
10 11
2 4
3 5
1
1
2
2
1
L
1
9
11
1 1
4 6
1
1
1
1
3
4 4 5
1
L
1
1 1
1
4 3
5
1 2
2 5
10
11
1 1
L
1 1
8 10
1
1
9
11
1
8
33
8
33
31
55
3
11
所以原式
2
2
1155
31
55
10 3 11
651
．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式为
a nd
，其中
d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
变成两个分数，接下来就可以裂项了．
a 与
nd
分开，每一项都
5
7
2 3 4 3 4
5
1 2 2 1 3 2
L
17
19
2 3 4
1
2 3 4
3 4 5
2
2
L
8 9
10 9
10
11
1
8 2
1 9 2
8 9
10 9
1 3 2
10 11
L
1
8 2
2
4 5
1
3
1
9
2
1
2
2 3 4
3 4 5
1
3 4
5
1
8
9 10 8 9 10 9
10 11 9 10 11
1
1
2 3 4 3
4 5
1
1
L
1
1
2
3 4
2
8
9 10
9 10 11
1
L
2
1
9 10
10 11
1
11
1
1
2
2
1
3
3
4
3 4
4
5
L
1
1 1
4 4
9 10 10
11
5
L
10
1
2
2 3 10 11
2
1
1
3
11
1
1
2
2 3 41
12
220 3
11 4 220
31
所以原式
1155
651 ．
55
（法三）
31
，
55
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
5
2 3
5
2
5
2
5
2
5
7
4
3
4 5
1
L
17
1
3
19
8 9 10
9
10 11
7
2
1
1
7
2
1
2
3
3 4
1
2 3
1
4 4 5
9
2
L
17
1
8 9
19
2
1
19
2
1
1
1
2
L
9 10
17
2
9 10 10 11
1
7 5
2 2
1
1
1
19
19
3 4
1
4 5
9 10
2
10 11
2 3 3 4
4
5
1
1
19
31
L
1
9 10
2 10
11
220 55
31
所以原式
．
1155 651
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
a
n
12 3
10
2n
1
n( n
1)(n 2)
（
n
2
， 3， ， 9）
如果将分子
2n
1
分成
2n
和
1，就是上面的法二；如果将分子分成
n 和
n
1
，就是上面的法一．
【答案】
651
【巩固】 计算：
3
4
5
1
2 3 5
6 10 11 13 14
2
4 5
3
4
6 7
【考点】分数裂项
【难度】 3 星
【题型】计算
【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是
将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
L
12
5 个连续自然数的乘积，所以可以先
原式
3
2
4
2
5
2
1
2 3 4 10 11 12
13 14
5
2 3 4 5
6
3 4 5
6 7
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
2
2
可以用平方差公式：
1 5
3
4，4
L
12
2
2
2
2
2 6
4，5
2
3
7
4
2
原式
3
4
1
2 3 4
5
2 3 4 5
6
2 6 4
1 5 4
5
L
3 4 5 6 7
3 7 4
L
1
2 3 4
5
2 3 4 5
6
3 4 5 6 7
1
1
1
1
L
2 3 4 3 4 5 4 5 6 11
12 13
12
10 11 12
13 14
10
14
4
10 11 12
13 14
4
1
1
4
4
1 2
3 4
5
1
2
2
3
4 5 6
3 4
5
6 7
L
1
1
L
4
10 11
12
13
14
1
1
1
1
2 3
3 4
3
4
4
5
1
11 12
12 13
1
1
1 2
3 4
1
2
1
2 3
4
5
2
3
4 5
3 4 5 6
1
L
1
1
10 11
12
13
11 12 13 14
1
1
1
2 3
12 13
1 2
3
4 11
12
1
8
13 14
1
1
77
1
1
1
1
1
75
616
12 2 12
13
24
11 12 13 14
11 12 13
14 8
2 11
14
8 308
【答案】
75
616
【例 11】
2
2
3 2
【考点】分数裂项
2
1
3
3
4
4
L
2
3
4
5
【难度】 4 星
2
3
9
4L
10
【题型】计算
【解析】
原式
1
2
3
4
2
2
3 2 3
4
2 3 4 5
L
9
2 3 4L
10
2
1 3
1
4
1
L
10
1
2
1
1
2
2
1
2
3 2 3
4
1
1
2 3
1
2
3
1
4L 10
L
1
1
2 3 2 3 4
3628799
9 10 3628800
L
2 3 4 9
2 3
1
L
4
9 10
2 3
4L
【答案】
3628799
3628800
【例 12】
1
2
3
4 5
6
1 2 1 2
3 1 2 3 4 1
2 3
4 5
1 2
3 4 5 6 1
2
3 4 5 6 7
【难度】 4 星
【考点】分数裂项
【题型】计算
【解析】 原式
1
3 1
4 1
5
1
6 1
7 1
1
2 1
2
3 1
2 3
1
1
1
1
2 1
2
1 2
1
1
4
1 2
3 4 5
1
2 3 4 5 6
1
2 3 4 5 6
1 1
1
L
3 1 2
3 1
2
3 4
1
2 3 4 5 6 7
1
7
【答案】
5039
1
2 1
2
1 2
3 4 5
6 7
1
5039
1
5040
5040
5040
【巩固】 计算：
3
L 99 .
3!
4!
100!
【难度】 4 星
【考点】分数裂项
【题型】计算
【解析】
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式
2
2
3
1
2 3
1
2 3
4
3
1
4 1
1
2 3
1
2 3
4
1
1
1
L
L
99
1
2 3 L 100
100
1
1
2 3 L
1
100
L
1
1
1
2 1
2
3 1
2 3 1
2 3 4
1
1
1
1
1
2 1
2
3 L
1
2
3
L
99
1 2
3 L
100
【答案】
1
100 2
100!
1
2 100!
【例 13】
2
3 4
L
50
1
(1 2)
【考点】分数裂项
【解析】 原式＝
(1 2) (1
2 3) (1
2 3)
(1 2 3
4)
(1 2
3
L
【难度】 3 星
【题型】计算
49) (1
2 L 50)
2
＋
4
＋
5
＋ ＋
50
3
＋
1 3 3
6 6
10
10
15
1225
1275
＝（
1 1
）＋（
）＋（
1 1
【答案】
1274
1 3
3
6
）＝
1274
1
）＋（
1
1
6 1275
10
1225
1275
1
1275
【巩固】
2
3
4
L
100
1 (1
2)
【考点】分数裂项
【解析】
2
(1
2)
(1
2
3) (1
2 (1 2 L
99) (1 2 L
3)
(1 2 3
4)
【难度】 3 星
【题型】计算
100)
1 (1 2)
3
，
1 1 2 (1 2)
(1
2
3)
1
1
， ，
1 2 1
2
3
1
1
100
1
1
1
，所以
(1 2 L
原式
1
99) (1 2 L
100)
1 2
L 99 1
2 L
100
1
1 2 L
100
1
5049
5050
2
）
【答案】
5049
5050
5050
2
【巩固】
1
1 1
（
3
(1 2)
(1 2
3)
L
(1
2 3
【考点】分数裂项
【解析】
原式
1
【难度】 2 星
L
【题型】计算
10
9) (1 2 3
L
10)
3
10
)
4
(
2
L
1
45
55
3 3 6
6 10
1 1 1 1
1
1
1
1 1 L
3 6 6 10
45
55
3
1 1
1
55
1
55
【答案】
1
55
【例 14
】
2
2
3
1
5
【考点】分数裂项
【关键词】仁华学校
1
1
1
7
1 9
1
11
1
13
【难度】 3 星
2
1
2
1
2
1
2
1
1
【题型】计算
.
a
2
b
2
(a b) (a
b) ，
【解析】
这题是利用平方差公式进行裂项：
1
1
1
1
1
1
原式
(
)
(
) )
(
)
(
) (
)
(
2 4
4 6
6
8
8 10
10
12 12 14
1 1 1
1 1
1
1
1
1 1
1
1 1
(
)
2 6 2
4 4
6
8 8 10 10 12 12
14
1 1 3
1
(
)
2
2
14
14
【答案】
3
14
【巩固】
计算：
(1
【考点】分数裂项
【解析】 1
1
1
2
)
(1
2
)
(1
2
)
(1
2
)
L
4
5
2
3
【难度】 3
星
1
1
【答案】
25
(1 1 ) (1
1 )
2
2
2
2
1 3
2 4
原式
L
2 2
3 3
1
， 1
1
(1 1 ) (1 1 ) 2
1
3
2
3
2 3
3 3
2
48 50 1 50 25
49 49
3
49
48
【题型】计算
(1
1
2
) (1
1
2
)
4
， 所以，
2
49
49
49
【巩固】 计算：
1
2
【考点】分数裂项
3
2
2
5
2
2
2
7
3
2
3
2
4
2
2
L
15
7
2
8
2
【难度】 3 星
4
3
1
2
3
2
2
【题型】计算
【解析】 原式
2
1
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
4
1
2
2
1
1
2
2
3
1
1
2 2
3
2 2 2
L
8
7
7
1
2
7
2
2
2
8
2
L
2
4
1
2
8
1
1
8
2
63
64
【答案】
63
64
【巩固】 计算：
3
2
1
5
2
1
2
3
1
5
【考点】分数裂项
【解析】 原式
2
7
2
1
2
1
7
1
1993
【难度】 3 星
1
2
L
1993
2
1
2
1995
2
1
2
1
1995
1
【题型】计算
．
1
2
2
2
1
2
2
L
1
2
1993
2
1
1
2
2
3
1
5
1
2
2
997 L
2 4 4 6
997
7
2
1
1
1995
1
1994
1996
1
1996
1 1
1
2 4 4
1
1
6
L
1994
997
997
1
2 1996
997
1996
【答案】 997
997
1996
【巩固】 计算：
2
1
2
3
2
2 1
2
【考点】分数裂项
【解析】
1
3
2
2
2
2
4
2
3
2
2
5
2
L
3 1
4 1
【难度】 3 星
4
1
2
98
2
2
100
2
．
99
1
【题型】计算
2
5
10
2
2
2
1
8
1 15
3
4
4
4
4
4
可见原式
2
2
2
2
2
2
L 2
2
2
1
3
1
4
1
1
99
1 1
1
1
2 98
4 L
1 3 2 4 3 5
98 100
10
，
2
2
3
3
2
20
，
3
2
34
， 由于
2
4
，
20
3
2
4
，
34
8
2 ，
15
4
8
15
1
196 4
2
1
1
1
3
2
1 1 1
L
1
1
4 3 5
1
98
100
196
2 1
1
1
2
99
199
9900
100
196 3
2
【答案】 198
4751
198
4751
4950
4950
2
2
2
2
3 L
50
1
3
3 5
5 7
99 101
【难度】 3 星
【考点】分数裂项
【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，
【巩固】 计算：
2
2
2
1
，
4
2
1
，6
2
1 ， ， 100
1
2
．
【题型】计算
但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
所以可以先将原式乘以
原式
1，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，
4
后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了．
1
2
2
2
2
4
2
1
1
6
2
2
L
100
2
2
4
2
1
1
4
1
1
6
1
100
L
1
1
4
1
4
1
2
2
4
2
1
1
2
6
1
1
1
1
100
2
1
50
1
1
1
1
3 3 5 5
7
L
1
99 101
1
4
1
50
1
2
1
2
1
1
1 1
1
3 3
5
1
1 1
5 7
1
4
L
1
99
12
1
101
50
50
50
63
101
4
【答案】 12
63
101
101
101
【例
15
】
56677889910
5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
【难度】 3 星
【考点】分数裂项
【解析】
5
5
【答案】
3
10
6 6
7 7
8 8
6 6
7 7
8 8
9 9 10
1
9 9 10
5
1
)
1
(1
)
...
(
6 6 7
9 10
1
【题型】计算
1
1 1 3
5 10 10
【巩固】
3 6 5 7
9 11 13
5 7 6 12
20 30 42
【难度】 3 星
【考点】分数裂项
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
【题型】计算
6
7
【解析】 原式
=
【答案】
4
3
5
6
7
2 3 3 4
2 3 3 4
4 5
4 5
5 6 6 7 3
5 6 6 7 5
1 1 1
2 3 3
=
4
1 ... 1
4 6 7
1
10 11
【巩固】计算：
1
3 2
5 7
9
3
4 5
7 8
20
21 24
【难度】 3 星
【考点】分数裂项
19
35
【题型】计算
【解析】 原式
1
3 2
3
4 5
5 7
7 8
1 1 1
4 5 3
1
7
1
1 2 1
3 8 5 7
1 1
1
1 1 5
【答案】
5
【巩固】
2 3
7
3 5 7
12
【考点】分数裂项
【解析】 原式
1
9 11
17 25
20 28
30 42
【难度】 3 星
【题型】计算
1 3
1
2 3
1 1
1 1
1
1
2 1
1
3
5 7
1
1 1
3 4
4 5 4 5 6
7
2 1 2 3
1 3
6 7
1 1 1
4 4 4
3
3
【答案】
3
3
3
3
6 6
5 5
5
7
7
7
4
4
【巩固】
1 1
1
2 3 30 31
【考点】分数裂项
【解析】 原式
1
1
20 10 26 38 27
41 51 119 120 123
124
【难度】 3 星
【题型】计算
1
1 1
2
3 30
1
2
1
1 1
7 4
1 1 1
1 1
7 17
1 1
4 30
1
3
1
41
1 1
4 31
31 41 3 17
2
1 1
3 3
1 1
3 4
1
7
【答案】
2
1
7
35
【巩固】
49
63
77 91 105
1
3
1
8
6
12
【考点】分数裂项
20
30 42
56
8
【难度】 3 星
【题型】计算
【解析】 原式
5 7
9
11 13
15
1
8
7
3
8
11
8
18
6 12
20
30
1 1 1
42 56
1
7
7
1
4
L
8
2 3 3
1
2
【答案】
10
5
7
1 7 8 11 8
8
8
21 11 10
【巩固】 计算： 1
9
11 13
15 17
19
90
6
12 20
【考点】分数裂项
【解析】 原式
30 42
56 72
【难度】 3 星
【题型】计算
9
【答案】
3
2
3 3 4 4
5 5 6 6
1 1 1 1
1 1
1
1
(
)
(
) (
) (
2
3
4
4
5 5
3
1
1 3
1
2
10
5
1
2
3
3 4
4
5 5
6 6 7 7 8 8
) (
6
9 10
)
7 7 8
8 9
1 1 1 1
)
6
7
(
7
9 10
1 1 1 1
( )
(
1
)
8
8 9
9
10
5
【巩固】
1 7
4
5 12
【考点】分数裂项
【解析】 原式
1
9 8 5
17
20 15 30
12
【难度】 3 星
【题型】计算
1 1
4 6
1 1
1 1
1 1 1
1 2
1
6
4 5 3 4
4 5
3
5 5
1
1
1
1
3
2
4 5
2
3
4
5 6
【答案】
3
【例 16】
2
2
2
2
2
3
1 2 2 3
【考点】分数裂项
1
2
18
2
19
2
19
2
18 19 19
【难度】 3 星
4
3
20
2
20
【题型】计算
20 2
19 1
【解析】 原式
1 2
2 1
3 2
3
2 3 4
...
19 18 19
18
19 20
2 17
19
20
36
19
20
【答案】
36
19
20
1
【巩固】 (
...... )
)
(
......
1
2007 2 2006
2006 1
2 2005
2006
2 2007
1
2008
1 2006
【难度】 4 星
【考点】分数裂项
【题型】计算
1 1 1 2007 1 1
2008
【解析】 原式 =
( ) ( )
...
...
2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1
2008
1 2007
1 1 1 2007 1 1
) ( )
... ...
=
2008
(
2007 1
2008 1 2006 2006
2008
1 2007 2 2006
1
2008 2008 2008 1 2007 2007
1
=
) (
( ... ...
)
2008
1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=
[(
... ) (
...
)]
1 2007 2 2006 2007 1 1 2006
2006 1
2008
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
=
[( ... ) ( ... )]
2008
1
2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1
1
1 1
1
=
(
)
2008
2007 2007 2015028
1
1
1
2007
1
1
1
【答案】
1
2015028
【例 17
】计算：
1
1
2 3
4 5
L
1
1 1
【考点】分数裂项
【解析】 原式
98 99
51 52
【难度】 5 星
L
1
99
【题型】计算
1
L
1
1
1
2 4
L
1 1
1
5
L
1
1
98
3 99
51 52
99
1 1
L
1
2
4
50
1 1
L
3 5
1
49
2
1
52
1 L
54
1
98
1 1
L
1
2
4
50
1 1
L
3 5
1
49
1
1 L
26 27
1
49
1 1
L
2
4
1
24
1 1
L
3 5
1
25
2
1
26
1 L
28
1
48
1
50
1 1
L
2
4
1
1
1
24
1
1 1
L
3
1
3
1
3
1
5
1
5
5
1
25
1 1 L
13 14
1
1
24
1
1
50
L
1
1
L
2
1
16
L
1
50
1
1
25
2
4
1
1
12
1
5
1
L
11
1
14
1 1
7 8
1
24
1
12
1
L
L
2
4
12
5
11
1 1
50
25
1
1
1
2
4
6
1
1
1
2
4
6
1
1
1
3
1
3
49
50
2
1
50
1
25
1
25
8
10 12
1
50
1
1 1
4
5 6
1
【答案】
49
50
50
25
【例 18 】计算：
2
4
3 3
5 3
【考点】分数裂项
【解析】 原式
6 L 12
5
7
3
5
7
9 11
【难度】 4 星
【题型】计算
3
1
5 1
7 1
L
5 7
3
3 5 3
13 1
3
5 7 9 11
13
1
1
1
1
3
3 5
L
1 1
3 5
7 9 11
3 3 5
L
1
3
5 7 9 11 13
1
1
3 5 7
9 11 13
135134
135135
【答案】
135134
135135
【例 19 】计算：
1
2
2
2
1 3 3 5
5 7
L
2
8
2
3
2
4
3 5 7
17 19
1 3 5
L
2
11
17 19
21
【考点】分数裂项
【解析】
【难度】 5 星
【题型】计算
2
3
2
4
L
1 3 5 3 5
7
2
2
4
4 L
17 19
21
1 3 3 5
3 5 5 7
2
11
8
9
2
9
2
9
17
19 19 21
2 2 4
L
2
2
【答案】
1 3 3 5 5 7 17 19 19 21
所以原式
1
2
2
2
3 3 5
L
2
8
1
17 19
1 3 3 5
9
2
1
512
133
379
379
19 21 1 3 399
399
399
4
5 7
L
2
8
17 19
2
9
19
21