都匀西山公园-传统美德作文

班级 姓名


十堰外国语学校小学数学六年级奥数导学案 2012年9月12日
名言
：
学习数学要做多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。（苏步青）


第二讲 分数裂项巧求和


【专题解析】
细心观察、善于 总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自
然数1，分母是相邻两个自 然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写成的两个分
数的分子是自然数1，分母分别是 相邻的两个自然数。（这种方法称为
“裂项法”
）
如：
1
12
例2．计算：
1
6
+
1< br>12
+
1
20
+„+
1
2450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，
该怎么办 呢？仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，
„，2 450
＝49×50。这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形式。
1
6
+
1
1
12
+
1
20
1+„+
+
1
1
2450

1
＝
＝
＝
＝—
1
1
12
；
1
23
＝
1
2
—
1
3
；
1
34
＝
1
3
—
1
4
；
1
45
＝
1
4
—
1
5
；„ „
233445
11111
2
1
2
+…+
—

5
—
3
+
—
34
+
495 0
11

—
1
50
4
12
+…+
49

我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。

—
1
50
1
6
＝
24
50
1
12
＝
2 5
【典型例题】
例1．计算：
1
12
【举一反三】
+
1
23
+
1
34
+…+
1
4849
+
1
4950

计算：
（3）
+< br>2
1
++
1
20
+…+
1
90
（4）
1
20
+
1
30
+
1
42
+…+
1
132
+
1
156

分析与解：这道题如 果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。但是
如果巧妙地对算式变形，就可以使 繁杂的计算简便。
1
1223
1
1
+
1
+
1
＝（
—
1
2
）+（
—
1
3
34
11
2
1
3
+…+
3
1
4
1
—< br>）+（
—
3
48494950
11
4
1
48
1
49
1
49
+
1

1
48
）+…+（
+
—
—
1
49
）+（
1
49
—
1
50
）





例3. 计算：
4
15
＝
—
＝
—
＝
50
1
1
1
1
2
1
+
1
2
+
—
+…+
—
1
50+
4
59
+
4
913
+…+
4
2 0012005

（去掉括号）
分析与解：这道题中每 一个分数的分母都可以写成不相邻的两个自然数乘积的形式，分子是这
两个自然数的差。这样每一个分数 也都可以写成两个分数差的形式，写成的两个分数的分子是自然
数1，分母分别是原分数中分母上的两个 自然数。如：
4
4
15
150
49
（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0）
＝
—；
1
5
1
14
59
＝
—等等。
59
11
< br>1
12
1
23
1
34
1
1819< br>1
1920
【举一反三】
计算：
（1）




（2）
1
1112
+++…++
＝
—+—+—
＝
—
1
1
1
5599
1
2005
15
59
913
11111
1
+
4
+
4
+…+
13
4
20012005
1
2001

1
2005
+…+
—



＝
2004
2005

5
27
5
712
5
1217
5
97102
3
25< br>3
58
3
811
3
3235
+
11213
+
1
1314
+…+
1
2008200 9
+
1
20092010


【举一反三】
计算：
（5）





不为失败找理由，只为成功想办法！ 十堰外国语学校小学部
+++…+
（6）
+++…+

班级 姓名
1
15

1
十堰外国语学校小学数学六年级奥数导学案 2012年9月12日
名 言
：
学习数学要做多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。（苏步青）

例4. 计算：+
1
59
+
1
913
+…+< br>20012005

例5. 计算：
1
12
113
2
6
1
12
+
1
1
123< br>+
1
1234
1
+…+
1
1234 50
1

分析与解：是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完全一样？例3中每一 个分数的分子都是
4（两个自然数的差），而这道题中每一个分数的分子都是1，可以直接将每一个分数 写成两个分数
相减的形式吗？该怎么计算呢？
这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也 变成两个自然数的差呢？利用分数的基本性质
是完全可以的。所以给原题乘4，为了使原题的值不变，然 后再除以4.即：
1
15
1
15
4
分析与解：先算出 每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分数，找出规律然后计算。
+
＝
+
+
6
123
1
10
2
20
+
+…+< br>1234
1
+…+
123450

1275
2

+
1
59
1
+
1
913
1
+…+
1
20012005
1
200 12005
4
20012005
1
2001

）×4÷4
）÷4
1
2005
＝+
2
12
1
++…+
1
＝（
＝（
+
+
59
4
+
+
913
4
+…+
+…+
13 ＝（
＝（
＝
2334
11
2
++
2550
1

（分子分母同时乘以2）

1
505145
+…+）×2 （利用乘法分配律，把分子的2同时
—
＝（
—+—+—
1
1
5599
15
59< br>913
11111
1
1
2005
51
）×2 提到括号外面）
49
51
+…+
—
）÷4
49
102
×2＝
1
12

＝（
—＝
＝
1
2004
2005
501
2005
）÷ 4
【举一反三】
计算：
（9）





+
1
123
+
1
1234
+ …+
1
123420

÷4

【举一反三】
计算：
（7）
1
27
+
1
712
+
1
1217
+…+
1
97102


（10）
1
12







（8）
1
510
+
1
123
+< br>1
1234
+…+
1
1234100







+
1
1015< br>+
1
1520
+…+
1
4045


（11）

1
3






不为失败找理由，只为成功想办法！ 十堰外国语学校小学部
+
1
35
+
1
3 57
+…+
1
35721