世界是平的读后感-essay范文

奥数裂项法


同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母
分数后再计算。

（一）阅读思考
例如
1
3

1
4

1
12
，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘 积，把
这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
11n1n

nn1n(n1)n(n1)

n1n1

n(n1)n(n1)
即
或
1
n

1
n1
1
n(n1)

1
n(n1)
1
n

1
n1



下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算：
1
1985198619861987
111

< br>19951996199619971997

1

1
1 9871988
„„
1
19941995

分析与解答：
111

19856
111

198 67
111


19878
„„
1
19941995
1



1
1994
1
1995
1
1996



1
1995
1
1996

1
1997

19951996
1
19961997
上面12个式子的右面相 加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这
一来问题解起来就十分方便了。
1

1
1985198619861987198719881995 199619961997

1

1997
111111111< br>„„
686

111

5

1

1
„
1

1

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分
数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：
1
1

1
12

1
123
„< br>1
123„100

公式的变式

12
12„n

n(n1)

当
n
分别取1，2，3，„„，100时，就有
12
1

12
12
12

23

1
123

2
34

12
12 34

45
12
12„100

100101
1
1

1
12

1
123
„
1
12„100

222
12

2 3

2
34
„
99100

2
100101

2(
11
12

23
1
34
„
1
99100

1
100101
)

2(1
1111
2

2

1
3

3

4
„
1
11
99

1
100100

101
)
2(1
1
101
)
2

2
100
101


200
101
99
101

1

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加 法的逆运算，
前面提到的等式
1
n

1
n1
< br>1
n(n1)
1
6

1
()

1

1
6

1
(
1
6
)

1

中这两个
就变成

1
(
1
7
)


1
42
1

，与
相 联系，便可找到一组解，即
1
6


另外一种方法
设
n、x、y
都是自然数，且
xy
，当
得算式< br>xn
nx
1
y
t
n(nt)

1
y
1
n

1
x

1
y
时，利用 上面的变加为减的想法，
。
这里
上式得
是个单位分数，所以
xn
一定大于零，假定
xnt0
，则
xnt
，代入< br>
1
y
，即
y
n
t
2
n
。
又因为
y
是自然数，所以
t
一定能整除
n< br>2
，即
t
是
n
2
的约数，有
n
个< br>t
就有
n
个
y
，这
一来我们便得到一个比
1
n

1
n
1
n1

1
x


1
n(n1)
1
y
更广泛的等式，即当
x nt
，
y
n
t
2
n
，
2
t
是
n
的约数时，一定有，即

1
n
< br>1
nt

t
n(nt)

n
t
2
上面指出当
xnt
，
yn6,n
2
n
，
t
是
n
的约数时，一定有
2
1
n

1
x

1
y
， 这里
36
，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
t1
时，
x7
，
y42

当
t2
时，
x8
，
y24

当
t3
时，
x9
，
y18

当
t4
时，
x10
，
y15

当
t6
时，
x12
，
y10

当
t9
时，
x15
，
y10

当
t12
时，
x18
，
y9

当
t18
时，
x24
，
y8

当
t36
时，
x42
，
y7

3

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：

1
122334989999100
111
2. 计算：



36120
111
3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当

时，求
xy
。
18xy

1

1
„
1

1

【试题答案】

1. 计算：

1
1 22334989999100
111111111
1„22334989999100

1

1
„
1
1


1

99
1
100

100
1
3
2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1
2. 计算：< br>6120
2222222222222

6122 10240

7889910
111
)
1112 1213131414151516

11
2()
21 6
1
1
8
7

8
111
3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当

时，求
xy
。
18xy
2(
1
23

1
34
1

1
45
1

1
56

1< br>67

1

1

1

1
1011


xy
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因 为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
1
18

11
18(11)

1
36

1
36

4

1
18

12
18(12)< br>13
18(13)

1
54
1
72

1
27

542781
1
18

1
24

722496
11611


1818(16)12621

21126147
11911
1818(19)18020

20180200
1
18

118
18(118)

1
19< br>
1
342

19342361
12311
 
1818(23)4530

304575
1
1 8

29
18(29)

1
99

1
22

2299121
还有别的解法。


裂项法（二）

前一节我们已经讲过，利用等式
1
2
1

1
6

1
12

1
20
t
„
1
9900
1
n

1
n1

1
n(n1)
，采用“裂项法”能很快求出
这类问题的 结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：
n

1
nt
n(nt)
，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。

【典型例题】

例1.
1
13

1
35

1
57
„
1
19931995

1
19951997

分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
11t
下面我们用

，现在给
n
、
t
一些具体的值，看看有什么结 果。

nntn(nt)
当
n1,t2
时，有< br>2
13

1
1

1
3

5

当
n3,t2
时，有
当
n5,t2
时，有
„„
2
35
2
57


1
3
1
5


1< br>5
1
7


当
n1993,t2
时，有
当
n1995,t2
时 ，有
2
19931995
2
19951997

1
1993
1
1995


1
1995
1
1997


上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题 目中各加数的分母一样，只是分子是2
不是
1
13

1，但是很容 易将题目中各数的分子变为
1
2

2
,
1

1

2
2，例如
1335235
112112112
因为，„„，，
,
132133523519931995 219931995
112


19951997219951997
1111
„
所以
13351993199519951997
11111111
(1 „)
233551997
，„„，这样采用裂项法也能较快求出结果来。

1
2
1
2
(1

1
1997)



1996
1997

998
1997
111

例2.
1232349899100
11312

因为
1223123123
1111
()
所以
12321223
1111
()
同样可得
23422334
1111
()

34523445
„„

一般地，因为
11


n(n1)(n1)(n2)
6


n2n
n(n1)(n2)
2
n(n1)(n 2)
1




n(n1)(n2)< br>
1
2
[
1
n(n1)

1
( n1)(n2)
]

这里
n
是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
111
„< br>1232349899100
1111111
[()()„ ()]
212232334989999100

11111 11
(„)
212232334989999100
1 11
()
21299100
149501

2990 0
14949



29900
4949

19800

例3. 计算：< br>1
2

1
23

1
234

1
2345
„
1
234„200

分析与解：
122

23(23)225
1< br>234
1
2345
1
234„n
2
(n1)(n2)

2
(24)3

2
(25 )4

1
2
2

2
36

1
(n2)(n1)
1
(n1)(n2)
2
47

2
(n1)(n2)

而
1
n 1

1
n2

(n2)(n1)
(n1)(n 2)

3
(n1)(n2)

7

即
1
(n1)(n2)

1
3
(
1
n1

1
n2
)

连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
111
„
223
23 4„200

1
2
1
2
1
2
12





1
2
< br>
1
2
1
2
1
2



1
2536199202
2333
(„)
3 2536199202
211111111
(
32536 4758
2111111
[(„)(
323451995
2 111111
[(„)(
323451995
2111111
()
3234200201202
2996699
()3200201404
334433

100201202
4309 33
2030100

2

2
„
2

)
10199202
111
„)]

67202< br>1111
„)]
6200201202
7
1

1
„
1

1


【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
11111
1. 求和：


„
3343453456345„20
2. 求和：
1
3. 求和：
1
10
3
1
12 34
1
40
5

1
88
7
1
2345
1
154
9
1
238
11
1
340

1
„
17181920

8

【试题答案】

1. 求和：

1
3

1
34

1
345

13456
„
1
345„20

687836
841225

1
10
3
1
40
5
1
88
7
1
154
9
1< br>238
11
1
340
2. 求和：
1

36
3
20


1
1234
1
2345
„
1
17181920
3. 求和：



1139
20520


9