刘京辉-成长感悟作文600字

学数学到新起点
分数的巧算：裂项

知识点分析：
特殊 的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。它
们有其特殊的规律及性质，对于这 些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：
①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和 公式，计算时可以
直接运用这些公式使计算简便。
②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作 适当拆分，使得拆分后的一些分
数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。
例题精讲
例1：
1
12

1
23

1
34< br>...
1
910

分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻 的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公
式：
a
n

n a


1
n

1
na
原式
1
12

1
23

1
34
... 
1
910
1

1




910

，先裂项，再求和。
解答：






1

11


1






2

2 3

1

9
10
1
10

11




...

34

注重：必须弄懂
第一种裂项公
式：
a
n

na


1
n

1
na

1
< br>1
67

1
78
...
1
202 1
举一反三①
（1）




（2）




（3）




地 址：韶关市武江区工业西路山水华府旭日园1-4栋（山水华府游泳池旁）
联系电话：
网 站：
http:

第1页
5
27

5
712

5
1217
...
5
4247
4
15

4
59

4
913
.. .
4
4953

56

学数学到新起点
例2：
1
24

146

1
68
...
1
98100

分析：
这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想
办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。

解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。








方法二：直接运用另一个裂项公式











原式
222

2
< br>1
原式

...


98100

2

244668
11

1

111111


...


98100

2

244668


49
10049
200

1
2
方法一：先将分数变形，再
利用第一 种裂项公式：
a
n

na


1
n
1
na
进行计算。

1
n

nd


1



1




d

nnd

1
11

11

11

1
< br>11

1

11













.. .



2

24

2
< br>46

2

68

2

98100

1


11

11

11

1



1













 ...




2


24
 
46

68

98100


2< br>
49
100

1
方法二：引用第二种裂项公式：
1
n

nd


1



1




d

nnd

1
49
200
注重公式的由来！

举一反三②
（1）




（2）




（3）




地 址：韶关市武江区工业西路山水华府旭日园1-4栋（山水华府游泳池旁）
联系电话：
网 站：
http:

第2页
1
17

1
713

1
1319
...
1
3743
1
36

1
69

1
912
.. .
1
3336
1
36

1
69

1
912
...
1
3336

学数学到新起点
例3：
1

1

1

1

1

1
（第二届 新起点杯数学竞赛试题）
2612203042
分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是 两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，
再利用裂项公式即可求出和。
解答：







原式
1
12

1
23

1
34

145

1
56

1
67
1

11

11

11

11
11



1





















2

23
34

45

56

67

1

6
7
1
7
先将分母变为两个数相乘的 形
式，注意要使相乘两数之差相
等，再利用第一种裂项公式
a
n
< br>na


1
n

1
na
求和。
举一反三③
（1）
1

1

1

1
（2）
1

1

1

1
（ 3）
1
1
2
1
3
1
4
1
 5
1
6
1
7
1

72986








例4：
2123

2
234
...
2
9899 100

分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三 个数的相差数，
运用裂项公式

解答：







举一反三④
（1）




地 址：韶关市武江区工业西路山水华府旭日园1-4栋（山水华府游泳池旁）
联系电话：
网 站：
http:

第3页
2345

2
456
...
2
9101 1
2
n

n1



n2


1
n

n1


1
先

n1



n2

1

11

11

1

原式

 



...

99100
< br>1223

2334

9899


1
12
4545
9900

1
99100第三种裂项公式：
2
n

n1


n2


1
n

n1

1


n1



n2

通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题

学数学到新起点
（2）
5

5

5

5

5

5
（ 3）
14842
1
678

1
789
. ..
1
484950







例5：
1
12

1
123
1
1234
...
1
1234..100

分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式

1n

n
求和，那么
2
1< br>1234..n

2
。所以分母就变成了两个数相乘的形式，最
1n

n
后再采用裂项法计算。
解答：







原式
2
23

2
34

2
45
...
2
100101
运用等差数
列的求和公式先
将每一个分数变
形， 再利用第一种
裂项公式进行计
算。
11

111111
2

...

100101

23 3445
2

99
101
99
202
举一反三 ⑤
（1）
1




（2）
1
2

1
23

1
234
...
1
234..50
1
12

1
123

1
1234
...
1
1234..2012







（3）

1
1



1
1


< br>1
1



1
1



1
1



1
1

.. .

1
1



1
1
< br>


2

2
 
3

3

4

4

9 9

99







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第4页

学数学到新起点
模 拟 练 习
一、初级
1、




3、





二、中级
5、
1




7、
1





三、高级
9、
1
1




10、




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第5页
1
123

1234
...
1
202122

7
12< br>
9
20

11
30

13
42< br>
15
56

17
72

19
90
1
2

1
4

1
8

1
16

1
32

1
64
1
6
1
42

1
56

1
72

1
90

1
110
1
20

1
30

1
42
...
1
132
11011

1
1112

1
1213
 ...
1
5960
2、
1
3 8

1
813

1
1318
...1
5863

4、
1
13

1
35

1
57
...
1
5557

6、
1
2

5
6

11
12

19
20

29
30
...
9701
970 2

9899
9900

8、

1

1

1

1

1

64



8244880120


3

学数学到新起点
11、






1
13< br>
1
135

1
1357

1< br>13579

73
945

12、
1









1
12

2
123

3
1234
...
4
12345

历 年 小 考 真 题
1、（2008年韶关北中，9题）：
从式子
1
2< br>
1
4

1
6

1
8
< br>1
10

1
12
1
10
中去掉（ ），余下的各数和等于1。
C、
1
和
8
1
10
A、
1
和
2
1
12
B、
1
和
2
D、
1
和
8
1
12


2、（2008年 韶关北中，21题）：
2009
24

2009
46

2009
68
...
2009
40164018





3、（2010年韶关统考，17题）：
有两根 同样长的木条。从第一根中先用去
1
4
，再用去余下的
1
4
米；从第二根中先用去
1
4
米，再用去
余下的

1
4
，两条木条仍然有剩余。比较两根木条剩下部分的长度（ ）
B、第二根长 C、两根一样长 D、不能确定 A、第一根长
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