正定中学网站-祝寿词语

一、裂项法
小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加
减，


自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一
个很有用的等式：


下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题.
例1计算：


分析与解 此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂.


是1，而分母又都 是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上
面等式把题目中的前12个加数也分别写成两个 单位分数之差的形式，就
得到下面12个等式：

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相
互抵消变为0，这一来问题解起来就 十分方便了



像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一 些分数做适当的拆分，
使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂
项法.
例2 计算：

分析与解 这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自 然数的积，但
都是从1开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：
1+

当n分别取1，2，3，…，100时，就有



即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘
积的形式， 略加变形就得到例1的形式，仿照例1的方法便可求出解来.

分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都
可以改为

这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有
答案呢？为此，我们来 讨论这类问题的一般情况.设n、x、y都是自然数，
且


当t=1时，x=7，y=42，
当t=2时，x=8，y=24，
当t=3时，x=9，y=18，
当t=4时，x=10，y=15，
当t=6时，x=12，y=12，
当t=9时，x=15，y=10，

当t=12时，x=18，y=9，
当t=18时，x=24，y=8，
当t=36时，x=42，y=7.
故□和○所代表的两数和分别为49、32、27、25.
例4 已知A、B、C、D、E、F为互不 相等的自然数，当A、B、C、D、
E、F各为什么数时，下面等式成立？



当A=3，B=7，C=43，D=1807，E=3263443，F=16时，
等式成立.即

这方法计算量太大，我们试着找另外方便一些的解法.

在上面两种解法中，后面的解法明显比前面的解法简便.下面 我们把
后面的那种解题方法一般
化.

当A有n个不同的约数a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
时