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裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母
分数后再计算。

（一）阅读思考
例如
111

，这里分母3 、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，
3412
把这个例题推广到一般情况，就 有一个很有用的等式：
11n1n

nn1n(n1)n(n1)

n1n1

n(n1)n(n1)
111

即


nn1n(n1)
111

或
n(n1)nn1
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算：
1111
……

198519861986198719 87198819941995
111


19951996199619971997
分析与解答：
111
19856
111

19867
111


19878
……
111

19945
1 11

19956

111

19967
上面12个式子的右面相加时，很容易看出 有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这
一来问题解起来就十分方便了。
11111
…
19851986198619871987198819951996199 61997

1

1997
1

111111111
……
686

111

5

像这样在计算分数的加、减时，先将其中 的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分
分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法 。

例2. 计算：

公式的变式

1111

…
112123123…100
12


12…nn(n1)
当
n
分别取1，2，3，……，100时，就有
12

112
12

1223
12


12334
12

123445
12
12…100100101
1111
…
1121 23
12…100
22222
…
1223349 9100100101
11111

2(…)
< br>12233499100100101
111111111
2(1 …)
2233499100100101
1
2(1)
1 01
100
2
101
200



101
99
1
101

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式
111
中这两个

6()
2

符号所代表的数的数的积是多少？
111111
就变成< br>
，与前

6()6()
111
111

面提到的等式

相联系，便可找到一组解，即


6742
nn1n(n1)
分析与解：减法是加法的逆运算，
另外一种方法
设
n、x、y
都是自然数，且
xy
，当< br>得算式
111

时，利用上面的变加为减的想法，
nxy
x n1

。
nxy
1
这里是个单位分数，所以
x n
一定大于零，假定
xnt0
，则
xnt
，代
y
n
2
t1
n
。

，即
y
入上式得
t
n(nt)y
22
又因为
y
是自然数 ，所以
t
一定能整除
n
，即
t
是
n
的约数 ，有
n
个
t
就有
n
个
y
，
111

这一来我们便得到一个比

更广泛的等式，即当
xnt
，
nn1n(n1)
n
2
111
yn
，
t
是
n
2
的约数时，一定有

，即
t
nxy
11t




nnt n(nt)
n
2
111
n
，
t
是
n< br>2
的约数时，一定有

，这里 上面指出当
xnt
，
y
t
nxy
n6,n
2
36
，36共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
t1
时，
x7
，
y42

当
t2
时，
x8
，
y24

当
t3
时，
x9
，
y18

当
t4
时，
x10
，
y15

当
t6
时，
x12
，
y10

当
t9
时，
x15
，
y10

当
t12
时，
x18
，
y9

当
t18
时，
x24
，
y8

当
t36
时，
x42
，
y7

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：
11111
…

122334989999100
111

2. 计算：


36120

3

3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当
1 11

时，求
xy
。
18xy
【试题答案】

1. 计算：
11111
…

12233498 9999100
111111111
1…
2233498 9999100
1

1

100
99

100
111

2. 计算：


36120
22222222222222
 
612210240
111111111
2( 
233445566778899101011
11111
 )
11121213131414151516

112()
216
1
1
8
7

8
111

时，求
xy
。 3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当
18xy

xy
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
11111

因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
1818(11)3636
11211

1818(12)5427
542781


11311

1818(13)7224
72 2496
11611


1818(16)12621

21126147

4

119
18

11
18(19)
< br>180

20

20180200
111811

18

18(1 18)

19

342
19342361
1218

3
18(23)

1
45

1
30

304575
1291

18

18(29)

99

1
22
2299 121
还有别的解法。

5