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第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）
加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。
一：裂项相消法（拆分法）：
把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相

二：列项相消公式
（1）
111


n(n1)nn1
k11


n

nk

nnk
（2）
（3）
1111
()

n(nk)nnkk
（4）
（5）

1111





n

n1

n2

< br>n

n1

n1

n2


2
ab11


abab
a
2
b
2
ba

（6）
abab
三：数列
（
1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二
项、、、、、、第n项（末项）。
（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。
四：等差数列
（1）定义：如果 一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列。而这个常数 叫做等差数列的公差。
（2）等差数列的和=
（首项+末项）×项数÷2
（
3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）


三：经典例题
1111111

例1、
12233445566 778
（例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式
111

）
n(n1)nn1

1111111
例2、


261220304256








111111111
例3、
1+3+5+7+9+11+13+15+17 +19

612210









111111
例4、

133557799111113










11111
11111
例5、

例6、
1+3+5+7+9

315356399
315356399

例7、
11111

++++
144771010131316



例8、
22222

+++
L
++
13355 72001200320032005





357937791105
例9、
-+-+-+

例10
、


26122304256
（例9和例 10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个
数相加的和。可用公式< br>ab11

）
abab




899
例11、
++++L

+
260
（观察到 每个分数分母都比分子多1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘
的形式，想方设法将每 个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算。
）

7391
例12、
+++++++

6122
（观察到每个分数分子都比分母多1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘
的形式，想 方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算。
）










例13、
222
8
22
13
+
4
35
+
6< br>2
57
+
79
+
10
911






例14、
1
123

1
234

1
345

11
456

567

（观察到分子都是1，分母是连续的三个数相乘，
1
n

n1

n2




1


1


n

n 1

n1

n2



1
）

2











所以可以用公式

12
2
2
2
2
3
2
3
2
 4
2
2001
2
2002
2

L

例15、

12233420012002
a
2
 b
2
ba

列项凑整，但不能相消。（观察此题可用公式）
abab








四：考题精选
111111111
1、


612210








1111111111
2、
135791113151719
2612210








11111

L

3、

24466881019982000

4、









22222


L

24466881098100
11111
5、
123 4L10

3153563399










579111315
6、
1-+-+-+

61220304256




7、
3549637791105


61220304256

8、









9、









111


L

23434 5101112
111111


1353575 79791191113111315
10、









1111


L

121231234123
L
2011
1< br>2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
1999
2
2000
2

L

11、

12233419992000