农耕年华-实习报告总结

分数的速算与巧算
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项 归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用 运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨

一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
么有1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，那
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂 差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为 任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


1

三、整数裂项
1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4

二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换
元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：

分子
纯循环小数
循环节中的数字所组成的数
混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部
分数字所组成的数的差
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中
9在0的左侧
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字
个数
··
····
abca
aabab1ab
；
0.0ab
；

，……
0.a
；

990
9999910990
·

2、单位分数的拆分：
例：
11111111
111
=====

102020

分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

11(mn)mn
11
=



NN(m n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：

11(12)1211


1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有：





2

111111111


1351530

例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】




11111


123423453456678978910
333
【巩 固】

......
1234234517181920





【例 2】 计算：
5719

L

．
1232348910
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道 很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于 2，4，6，……这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为
n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的分子都分成 3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据
等差数列的性质，可知分子的通项公式为< br>2n323
，再将每一项的

n

n1
< br>

n2

n1



n 2

n

n1



n2

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

2n3
，所以
2
与
n1n2





【巩固】 计算：
1155
（







3
571719


L

）
234345891091011

【 巩固】 计算：




【例 3】




【例 4】
34512


L

12452356346710111314
12349


L

2232342345234
L
10
1111


LL

1121 2312
L
100
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的 分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始 ，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112

代入有

，，……，
1
(11)1
1212
(12)2
2 3
22




【例 5】




【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
11
1
31999
【例 6】
2


L

111111
1(1)(1)(1)(1)L
(1)
223231999
111111

.
3
2
15
2
17
2
19
2< br>111
2
113
2
1






4

【例 7】
121231234123
L
50

 
L

22323423
L
50
(1n) n
n(n1)
2
【解析】 找通项
a
n



(1n)n
n(n1)2
1
2



1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
26
2
【例 8】
3

3


3

3

333333333
11212312341226
n (n1)(2n1)
12n22n1211
6
【解析】
a
n

3
()

n
2
(n1)
2
12
3
n
3
3n(n1)3 nn1
4
222




n1
< br>n1

2
2
3
2
99
2

【例 9】 计算：
2
）

2

L

2

__________(项公式：
a
n

2131 991

n11

n11

n
n2





22
1
2
2
2
99
2
【巩固】 计算：
2

L

2

< br>110050002
2
20050009999005000
n< br>2
【解析】 本题的通项公式为
2
，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母< br>n100n5000
n
2
100n50005000n

100n

5000

100n


100

100n



，可以看出如 果把
n
换成
100n
的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组 合起来，最后单独剩下一个
50
2
．将项数和为100的两项相加，得
50
2
50005000
n
2


100n
100n

n
2
2n
2
200n1 0000

2
2
，
n
2
100n50 00

100n

2
100

100n
5000
n
2
100n5000n100n5000
所以原式
249199
．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式
19999
）





5
22

11

111

1
【例 10】
24





2

2
2021

112
2
1
2
 2
2
10
2

2345
【解析】 虽然很容易看出





1
11111
＝

，＝

……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不
23 23
45
45
象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母 容易让我们想到公式 ，
于是我们又有
16
．．减号前面括号里的式子有10项，减< br>＝
1
2
2
2
3
2
n
2< br>n(n1)(2n1)
号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？







模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3





111111
【例 12】 计算：
1
2

3

4

5

6

333333
1
364
设
S1
2

3

4
5

6
则
3S31
2

3

4

5
，
3SS3
6
，整理可得
S 1
．
333333333333
729





(2
2
4
2
6
2
100
2
)(1
2
3
2
5
2
9 9
2
)
【例 13】 计算：
12391098321








6

1
22
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
2000
2
2001
2< br>【例 14】 计算：

1223344520002001





【例 15】


2007

8.58.51.51.5

10


160 0.3
．





【例 16】 计算：
(1





1111111111
)()(1)()

2424624624
三、循环小数与分数互化
&&&
【例 17】 计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．






&
乘以一个数
a
时，把1.23
&
误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该【例 18】 某学生将
1.23
是多少?








7

2
5
2413
&&
&
【例 19】 有8个 数，
0.51
，,,
0.51
,
,
是其中6个，如果按从小 到大的顺序排列时，第4个数是
3
9
4725
&
，那么按从大到小排 列时，第4个数是哪一个数?
0.51





【例 20】 真分数
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数 字之和是1992，那么
a
7
是多少?





【例 21】
2002
1
和化成循环小数后第100位上的数字 之和是_____________.
2009
287
2002
1
和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我
2009
287

20021
1
，而
10.9
，则第100位上的数 字和为9.
2009287
【解析】 如果将
们发现





【例 22】



45

注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1 ，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.









8

【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。




【例 24】 若




课后练习：
练习1.




111

，其中a 、b都是四位数，且a2004ab
123456


1212312 34123451234561234567
12389
练 习2.
(1)(2)(3)L(8)(9)

234910





练习3. 计算：
1
3
3
3
5
3
L99
3
___________．




1

111

11

111

1
练习4. 计算 ：

1
L





L< br>



1
L





L



2208232007







9

····
11

&&
0 .98
&&
11
(结果表示成循环小数) 练习5. ⑴

0.150.218

0.3
； ⑵
2.234
111






月测备选
【备选1】计算：




2399
L
.
3!4!100!
1
2
2
2
2
2
3
2
2004
2
2005
2
2005
2
2006
2
【备选 2】计算：


L

12232004200520052006




12
3
3
3
200 6
3
【备选3】计算：
1232006





621739458

739458378

621739458378

739458

 
【备选4】计算：









126358947

358947207
 
7

358947






2009

11

2009

【备选5 】计算

(结果表示为循环小数)


999


10