12
112
12

1223
12


12334
12

123445
12

1 2…100100101
1
112123
12…100
22222
…
12233499100100101
1111 1

2(…)

1223349910010 0101
111111111
2(1…)
2233499 100100101
1
2(1)
101
100
101
200



101
99
1
101
2

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式
符号所代表的数的数的积是多少？ 
1

1
…
1
111
中这两个
 
6()

分析与解：减法是加法的逆运算，
111111
就变成

，与

6()6()
前面提到的等式
111
111
相联系，便可找到一组解，即



6742
nn1n(n1)
另外一种方法
设
n、x、y
都是自然数，且
xy
，当
111

时，利用上面的变加为减的想法，
nxy
得算式
xn1

。 < br>nxy
1
是个单位分数，所以
xn
一定大于零，假定
xn t0
，则
xnt
，代
y
这里
n
2
t1
n
。 入上式得

，即
y
t
n(nt)y
又因为y
是自然数，所以
t
一定能整除
n
，即
t
是< br>n
的约数，有
n
个
t
就有
n
个
y< br>，
这一来我们便得到一个比
22
111

更广泛的等式，即 当
xnt
，
nn1n(n1)
n
2
111
yn
，
t
是
n
2
的约数时，一定有

，即
t
nxy

11t


nnt n(nt)
n
2
111
n
，
t
是
n< br>2
的约数时，一定有

，这里 上面指出当
xnt
，
y
t
nxy
n6,n
2
36
，36共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
t1
时，
x7
，
y42

当
t2
时，
x8
，
y24

当
t3
时，
x9
，
y18

当
t4
时，
x10
，
y15

当
t6
时，
x12
，
y10

当
t9
时，
x15
，
y10

当
t12
时，
x18
，
y9

当
t18
时，
x24
，
y8

当
t36
时，
x42
，
y7

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：
11111
…

122334989999100
111

2. 计算：


36120

3. 已知
x 、y
是互不相等的自然数，当
111

时，求
xy
。
18xy

【试题答案】

1. 计算：

11111
…

122334989999100111111111
…
22334989999100
1
1

100
99

100
1
2. 计算：
111


36120
22222 222222222

612210240
1111111 11
2(
2334455667788991010 11
11111
)
11121213131414151516

11
2()
216
1
1
8< br>7

8

3. 已知
x、y
是互不相等的自然数 ，当
111

时，求
xy
。
18xy

xy
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
11111


1818(11)3636

11211

1818(12)5427
542781
11311

1818(13)7224
722496

11611


1818(16)12621
< br>21126147
11911

1818(19)18020< br>20180200

111811

1818( 118)19342
19342361
12311

1818 (23)4530
304575
12911

1818(2 9)9922
2299121

还有别的解法。