数学变形-裂项
福建师范大学录取分数线-节水日
*裂项就是朝着一定方向变形。*裂差型运算的核心环节是
“两两抵消达到简化的目的”
裂和型运算的题目不仅有，
“两两抵消”型的，同时还有转化为
“分数凑整”型的，
以达到简化目的。
一、基本裂项
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
分析
：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、
100，先将所有的相邻
两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：
数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）
2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）
3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）
4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）
……
扩大倍数=公差X因数加一
98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）
99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）
将以上
算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里
面诸多项相互抵消，可以简化为（9
9×100×101-0×1×2）÷3。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
=（99×100×101-0×1×2）÷3
=333300
下式：增大后减（裂差）
例2、计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，
先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公
差为2，因数个数为2。
3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）
5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）
7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）
……
97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）
99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）
将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相
互抵消。
解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）
=1029882÷6
=171647
例3、计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×9
8×99
分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、
99、
100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：
数列公
差为1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）
3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）
……
96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）
97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）
右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99
=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）
=23527350
例4、计算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）
=2147376
二、组合裂项
例5、计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
分析：
n×n=(n-1)×n+n
解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）
=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）
=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2
=333300+5050
=338350
例6、计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100
分析：
(n-1)×n=(n-2)×n+n
左式：缩小后加（裂和）
解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100
=2+（2×4+4）+
（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）
=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）
=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2
=169150
例7、计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×1 00
分析：
n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n 更神奇的“倒推”
解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
= 1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×10 1+100）
=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101） +（1+2+3+……+99+100）
=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2
=25492400
例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101（奇偶数项分开）
=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）
=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6
=171650+166600
=338250
例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）
解：1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）
=1×2÷2 +2×3÷2+3×4÷2+……+
100×101÷2
（高斯新解：101为均数的两倍）
=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2
=（100×101×102÷3）÷2
=171700
三、分数裂项
（下面常数：其分母即裂项后的裂差分子，或叫连续自然数乘积的差）
例题一：
11×2+12×3+13×4+…+199×100
=（1-12）+（12-13）+（13-14）+...+（198-199）+（199-1100）
=1-1100
=99100
例二：1（1*
2* 3）+1（2* 3* 4）+1（3* 4* 5）+1（4* 5* 6）…+1（21* 22*
23）
= 【(11* 2-12* 3）+(12* 3-13* 4）+(13*
4-14* 5）+(14* 5-15* 6）
+…+(121* 22-122* 23）】*
12
=【1（1* 2）-1（22* 23）】* 12
=126253 *
12
=63253