第5讲--简便计算(四)——裂项相消法

绝世美人儿
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2020年11月06日 10:14
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2020年11月6日发(作者:孙发端)


第5讲 简便计算(四)—— 列项相消法(拆分法)
加的形式,然后再进行计算的方法叫做裂项相消法,也叫拆分法。
一:裂项相消法(拆分法):
把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相

二:列项相消公式
(1)
111


n(n1)nn1
k11


n

nk

nnk
(2)
(3)
1111
()

n(nk)nnkk
(4)
(5)

1111





n

n1

n2

< br>n

n1

n1

n2


2
ab11


abab
a
2
b
2
ba

(6)
abab
三:数列

1)定义:按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项(首项)、第二
项、、、、、、第n项(末项)。
(3)项数:一个数列中有几个数字,项数就是几。
四:等差数列
(1)定义:如果 一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这
个数列就叫做等差数列。而这个常数 叫做等差数列的公差。
(2)等差数列的和=
(首项+末项)×项数÷2

3)等差数列的项数=(末项-首项)÷公差+1
(4)等差数列的末项=首项+公差×(项数-1)


三:经典例题
1111111

例1、
12233445566 778
(例1、例2、例3的运算符号都是加号相连,分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式
111


n(n1)nn1


1111111
例2、


261220304256








111111111
例3、
1+3+5+7+9+11+13+15+17 +19

612210









111111
例4、

133557799111113










11111
11111
例5、

例6、
1+3+5+7+9

315356399
315356399




例7、
11111

++++
144771010131316



例8、
22222

+++
L
++
13355 72001200320032005





357937791105
例9、
-+-+-+

例10



26122304256
(例9和例 10的运算符号是一减一加,分母能分解成两个连续数相乘,分子恰好是这两个
数相加的和。可用公式< br>ab11


abab




899
例11、
++++L

+
260
(观察到 每个分数分母都比分子多1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘
的形式,想方设法将每 个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算。








7391
例12、
+++++++

6122
(观察到每个分数分子都比分母多1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘
的形式,想 方设法将每个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算。











例13、
222
8
22
13
+
4
35
+
6< br>2
57
+
79
+
10
911






例14、
1
123

1
234

1
345

11
456

567

(观察到分子都是1,分母是连续的三个数相乘,
1
n

n1

n2




1


1


n

n 1

n1

n2



1


2











所以可以用公式


12
2
2
2
2
3
2
3
2
 4
2
2001
2
2002
2

L

例15、

12233420012002
a
2
 b
2
ba

列项凑整,但不能相消。(观察此题可用公式)
abab








四:考题精选
111111111
1、


612210








1111111111
2、
135791113151719
2612210








11111

L

3、

24466881019982000







4、









22222


L

24466881098100
11111
5、
123 4L10

3153563399










579111315
6、
1-+-+-+

61220304256




7、
3549637791105


61220304256





8、









9、









111


L

23434 5101112
111111


1353575 79791191113111315
10、









1111


L

121231234123
L
2011
1< br>2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
1999
2
2000
2

L

11、

12233419992000















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