分数的速算与巧算(教师)
陕西公务员成绩查询-环卫工作总结
分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、
裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握
裂项
技巧及寻找通项进行解题的能力
2、
换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分
数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数
与分数的主要利用
运算定律进行简算的问题.
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换
元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,
使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的
复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式.
知识点拨
一、裂项综合
(一)、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即
那么有<
br>1
形式的,这里我们把较小的数写在前面,即
ab
,
ab
1111
()
abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:
1
1
,形式的,我们有:
n(n1)(n2)
n(n
1)(n2)(n3)
1111
[]
n(n1)(n
2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]
n(n
1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂
差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为
任意自然数)的,但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
(二)、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
a
2
b
2
a<
br>2
b
2
ab
abab11
(1)
(2)
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算
的题目不仅有“两两抵消”型的,
同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
三、整数裂项
1
(n1)n(n1)
3
1
(2)
123234345...(n2)
(n1)n(n2)(n1)n(n1)
4
(1)
122334...(n1)n
二、换元
解数学题时
,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换
元的实质是转
化,将复杂的式子化繁为简.
三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论:
纯循环小数 混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分子
循环节中的数字所组成的数
分母 n个9,其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母,其中9在0
的左侧
0.a
·
··
····
abca
aabab1ab
;
;
0.0ab
;
,……
990
9999910990
2、单位分数的拆分:
例:
11111111
111
=====
102020
分析:分数单位的拆分,主要方法是:
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:
11(mn)mn
11
=
NN(m
n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如:选1和2,有:
11(12)1211
1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有:
111111111
1351530
例题精讲
模块一、分数裂项
11111
123
423453456678978910
1
111111
【解析】
原式
L
3
1232342343457898910
1
11
119
3
1238910
2160
333
【巩固】
......
123423451718
1920
1111111
【解析】
原式
3[(...)]
312323423
4345171819181920
113192011139
1231819201819206840
5719
【例
2】
计算:
L
.
1232348910
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同,那么
就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不
【例 1】
相同,而是成等差数列,且
等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差
数列(该数列的第
n个数恰好为
n
的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以
可以
先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.
原式
3234316
L
1232348910
1128
1
1
3
L
L
2
12323489101232348910<
br>
1
111111
11
1<
br>3
L
2
L
2
1223233489910
910<
br>
2334
3
11
11
1111
2
L
<
br>
2
12910
23349
10
3
11
71123
11
2
2
290
210
460515
,再将每一项的
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质,可
知分子的通项公式为
2n3
,所以
2n323
n
n1
n2
n1
n2
n
n1
n2
23
与分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相<
br>n1n2nn1n2
同.
571719
L
)
2
34345891091011
571719
【解析】
本题的重点
在于计算括号内的算式:
.这个
L
2343458
91091011
【巩固】
计算:
1155
(
算式不同
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相
同、或分子是分母的
差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的
形式.
观察可知523
,
734
,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所
以
571719
L
2343458
91091011
2334910
L
23434591011
111111
L
342445351011911
11
111
1
L
L
344510112435
911
11
1
1111111111
1111
L
L
1011
2
243546810911
3445
11
1
1111
81
28
31
311221
55
31
所以原式
1155651
.
55
34512
【巩固】
计算:
L<
br>
12452356346710111314
【解析】 <
br>观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以
先将
每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即:
3
2
4
2
5
2
12
2
原式
L
1
234523456345671011121314
现在进行裂项
的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,
可以用平方差公式:<
br>3154
,
4264
,
5374
…… <
br>222
3
2
4
2
5
2
12
2
【解析】
原式
L
1234
523456345671011121314
1542643
7410144
L
1234523
456345671011121314
111
1
L
111213
234345456
4444
L
1011121314
1234
52345634567
1
111111
L
2
2334344511121213
111111
L
1011121311121314
12342
34523453456
1
11
11
2
231213
123411121314
1111<
br>177111
811121314821114
12212132411121314
1175
8308616
12349
【例 3】
L
2232342345234
L
1
0
12349
【解析】
原式
L
2232342345234
L
10
2131
41101
L
223234234L
10
1111111
1
L
<
br>222323234234
L
9234
L
91
0
13628799
1
234L9103628800
1111
【例 4】
LL
11212312
L
100
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项
”问题。此类问题需要从最简
单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对
分母进行等差数列求和运算公
112112
,,……,
1
(11)1
1212
(12)2
23
22
2222
120099
原式
LL
2(1)1
1223341001
23450
【巩固】
L
1(12)(12)(123)(123)(1234)(123
L
49)(123
L
50)
234550
原
式=++++…+
1336610101512251275
1
1
1111111274
=(
)+(
)+(
)+()=
1
3
36615
234100
【巩固】 <
br>
L
1(12)(12)(123)(123)(1
234)(12
L
99)(12
L
100)
式
的代入有
211
311
【解析】
,,……,
1(12)112
(12)(123)12123
10
011
,所以
(12L99)(12L100)12L9
912L100
1
原式
1
12L100
15049
1
50505050
2310
L
1
(
12
)
(12)(123)(123
L
9)(123
L
10)
23410
【解析】
原式
1(
L
)
133661045
55
11
11111
1
1
L
4555
336610
【巩固】
1
1
1
1
55
1
55
111111
【例 5】
2
2
2
2
2
2
.
31517191111131
22
【解析】
这题是利用平方差公式进行裂项:
ab(ab)(ab)
,
111111
原式
()()()()()()
24
466881010121214
11
()
24466881
1113
()
214214
35715
【巩固】
计算:
2
L
12
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7
2
8
2
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
2
7
2
【解析】
原式
2
L
22
1
2
2
2
2
3
2
3
2
4
278
1111111
1
2
2
2
2
2
L
2
2
2233478
163
1
2
864
3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】
计算:
2
L
.
315
2
17
2
11993
2
11995
2
1
2
2
2
22
11
L
11
【解析】
原式
1
2
2
222
31
51
71
19931
19951
22
2
<
br>997
L
24461
9941996
11
1
997
1111
1
997
L
9
97
997
19941996
1996<
br>
2446
21996
1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】
计算:
L
.
13355799101
【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系
不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变
22
22
为
21
,
41
,
61
,……,
1001
,可以发现如果分
母都加上1,那么恰好都是分子
的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到
原式的值了.
1
2
2
4
2
6
2
100
2
L
原式
2
4
214
2
16
21100
2
1
1
111
1
1
2
1
2
1
2
L
1
4
21416
1100
2
1
1
1111
50
L
4
13355799101
11
1111111
50
1
L
4
2
3355799101
11
1
15063
50
1
12
50
4
2
101
4101101
2244
66881010
【巩固】
1335577
9911
n
2
11
【解析】
(法1):可先找通项
a
n
2
1
2
1
n1n1(n1)(n1)
11111
原式
(
1)(1)(1)(1)(1)
13355779911
1155
5(1)55
2111111
2880
(法2):原式
(2)()()(
)()
3355779911
61014185065
2
1045
3579111111
11
1
31999
【例 6】
2
L
111111
1(
1)(1)(1)(1)
L
(1)
223231999
1
1
211
n1
【解析】
n1
2()
111n2
(n1)(n
2)n1n2
(1)(1)
L
(1)
23n12
111111
11
1
999
原式=
()()()
L
()
2
=
1344519992000
10001000
23
111
【巩固】
计算:
1
12123122007
1211
【解析】
先找通项公式
a
n
2()
12Lnn(n
1)nn1
111
L
原式
1
2(21)3(31)2007(20071)
222
2222
20
072007
2
L
20081004
12233420072008
1111
【巩固
】
L
335357357
L
21
111
【解析】
先找通项:
a
n
,
35
L
2n1
1
2n13n
n
n
2
2
111111
原式
L
132435469111012
11
<
br>111
1
L
L
911
24461012
1335
1
11
1
11
175
<
br>
2
111
2
212
264
121231234123
L
50
【例 7】
L
22323423
L
50
(1n)n
n(n1)
2
【解析】
找通项
a
n
(1n)n
n(
n1)2
1
2
2334455623344556
原
式
L
L
,
4101828142
53647
通过试写我们又发现数列存在以上规律,这样我们就可以轻松写出全部的项,所以有
23344556484949505051
35023
2
L
26
142536474750
48514952
152
2222222222222
11212312
341226
【例 8】
3
3
112
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
1
3<
br>2
3
26
3
n(n1)(2n1)
222<
br>12n22n1211
6
【解析】
a
n
3
()
n
2
(n1)
2
12
3
n
3
3n(n1)3
nn1
4
211111111
2152
原式=
[()()
()LL(
)]
=
(1)
32781
31
223342627
1
1
1
【巩固】
1
2
1
2
L
1
2
213199
1
1(n1)
2
(n1)
2
【解析】
a
n
1
(n1)
2
1(n1)<
br>2
1n(n2)
223398989999
原式
L
(21)(21)(31)(31)(98
1)(981)(991)(991)
223344559898999929
949
L
1
3142536499
9710098110050
222
2399
【例 9】
计算:
2
2
L
2
213
1991
22
n1
n1
【解析】
通项公式:
a
n
,
n11
n11
n
n2
原式
原式
22334498989999
L<
br>
(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(
981)(991)(991)
2233445598989999
<
br>
L
31425364999710098
22334498989999
29999
L
8100
110050
1
2
2
2
99
2
【巩固】
计算:
2
L
2
110050002
2
20050009999005000
n
2
【解析】
本题的通项公式为
2
,没办法进行裂项之类的处理.注
意到分母
n100n5000
n
2
100n50005000n
100n
5000
100n
可以看出如果
100
100n
,
把
n
换成
100n
的话分母的值
不变,所以可以把原式子中的分数两两组合起来,最后单独剩下
50
2
一个
2
.将项数和为100的两项相加,得
5050005000
22
n2
100n
100n
n
2
2n
2
200n10000
2
2
n
2
100n5000
100n
2
1
00
100n
5000
n
2
100n
5000n100n5000
,
所以原式
249199
.(或者,可得原式中99项的平均数为1,所以原式
19999
)
11
111
1
【例 1】
24
2
2
2021
112
2
1
2
2
2
10
2
2345
1
11111
【解析】
虽然很容易看出=
,=
……可是再仔细一看,并没有什么效果,因为
2323<
br>45
45
这不象分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子,每一项的分母容
易让我们想到公
式 ,于是我们又有
16
..减号前面括号里的
=
2
222
n(n1)(2n1)
123n
式子有10项,减号后面括
号里的式子也恰好有10项,是不是“一个对一个”呢?
11
1
11
1
24
2
2
2222
23452021121210
1
11
11
1
1
=
24
6
23452021123235
101121
=
11
111
1<
br>
24
24
2021
202221
2345
243465
1111
1
<
br>1
=
24
232434546
52021202221
11
1
1
1
1
=
24<
br>
=
6
=
24462022122310
11
1
60
6
1<
br>
=.
11
11
模块二、换元与公式应用
【例 10】
计算:
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3
333333333
【解析】
原式
1234L141524L14
15
2
151
2
4
5
7600
27
2
8
2
4
8128
8
1
3
2
3
L7
3
【巩固】
132435L911
【解析】
原式
21
21
31
<
br>31
L
101
101
2
2
1
3
2
1
L
10
21
2
2
3
2
L
10
2
9
1
2
2<
br>2
3
2
L
10
2
10<
br>
101121
10375
6
【巩固】
计算:
123234345L8910
2222
【解析】
原式
221331441L991
2
3
3
3
4
3
L9
3<
br>
234L9
12
3L9
1
234L9
2
45
2
451980
111111
【例 11】
计算:
1
2
3
4
5
6
333333
【解析】
法一:利用等比数列求和公式。
1
7
1
1
3
原式
1
1
3
1
7
326
4
1
1
32729<
br>
法二:错位相减法.
111111
33
2
3
3
3
4
3
5
3
6
11111
1364
则
3S31
2
3
4
5
,<
br>3SS3
6
,整理可得
S1
.
3729
3
3333
设
S1
法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中
的分子为3,与公比4差1,
所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方
法,需要将每一项的
分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以
2进行算,最后
222222
,则运用
33
2
3
3
3
4
3
5
3
6
1364
“借来
还去”的方法可得到
2S
6
3
,整理得到
S1
. <
br>3729
(2
2
4
2
6
2
1
00
2
)(1
2
3
2
5
2
99
2
)
【例 12】
计算:
123910
98321
2
(21
2
)(4
2
3
2
)(6
2
5
2
)(100
2<
br>99
2
)
【解析】
原式
2
10
(21)(21)(43)(43)(65)(65)(100
99)(10099)
100
1234991
0050501
50
1001002
2
【巩固】
⑴
31415926
3141592531415927
________;
再将所得的结果除以2即得到原式的值.由题设,
2S2
⑵
1234876624688766
________.
22
【解析】
⑴ 观察可知31415925和31415927都与314159
26相差1,设
a31415926
,
原式
a
a
1
a1
aa11
222
⑵
原式
12348766212348766
22
<
br>12348766
10000
2
100000000
2222222
【巩固】
计算:
1234L200520062007
2222222
【解析】
原式
20072006L54321
(20
072006)(20072006)(20052004)(20052004)L(3
2)(32)1
2007200620052004L321
1
20071
20072015028
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
2000
2
2001
2
【例 13】
计算:
1223344520002001
【解析】
原式
222222222
02001
2
12122323343445452000200120002001
2
02001
22000
21324
35
19992001
200
0
()()
<
br>
12233
44
200020
00
2001
20002000
2
4
2
2<
br>2
1
4
2
44
44
3
2
2001
4000
2001
2000个2相加
【例 14】
2007
8.58.51.51.5
10
16
00.3
.
【解析】
原
2007
8.51.5
8.51.5
10
1600.3
2007
10
8.51.5
10
160
0.3
式
20077
1600.3
12.50.
3
12.2
【巩固】
计算:
53574743
.
【解析】
本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差,但灵活采用平方差公式能收到更好的效果.
2222
原式
552
552
452
45
2
552452
55
2<
br>45
2
5545
5
545
1000
【巩固】
计算:
1119121813171416
.
【解析】
本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式.
22222222
原式
154153152151
15
2
4
1
2
2
2
3
2
4
2
90030870
2222
其中
1234
可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式
1
1
2
2
2
Ln
2
n
n1
2n1
进行计算.
6
【巩固】
计算:
199298397L4951
.
【解析】
观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的,可以采用平方差公式.
原式
5049
5049
5048
5048
L
501
501
50
2
49
2
50<
br>2
48
2
L
50
2
1
2
50
2
49
1
2
2
2
L49
2
50
2
49
1
2
2
2
L49
2
1
50
2
49495099
6
50
2
49492533
4925
10033
492567
82075
332333233.3
32
【巩固】
看规律
11
,
123
,
1236
……,试求
67L14
原
22
式
1
3
2
3.L14
3
1
3
2
3.<
br>L5
3
123L14
12345
105
2
15
2
10515
10515
9012010800
1111111111
)()(1)()
2424624624
111111
【解析】
令
1a
,
b
,则:
246246
【例 15】
计算:
(1
11
66
11
abbaba
66
111
(ab)1
666
111
【巩固】
(1)()(1)()
23423452345234
111
111
【解析】
设
a
,则原式化简为:
(1+a)(a+)-a(1a+)=
234
555
11
1111
11111
111
11
【巩固】
<
br>11213141
21314151
1121314151<
br>
213141
1111111
【解析】
设
a
,
b
,
141
1
1
原式
a
b
a
b
51
51
11
abaabb
5151
1
(ab)
51
111
5111561
11111
【巩固】
()()()()
57911137911
1111111
【解析】
设
A
,
B
,
579117911
1
1
原式
A<
br>
B
A
B
13
13
11
ABAABB
1313
1
AB
13
111
13565
【巩固】
计算
1111<
br>
11111
11111
1111
1
1
2345
23456
23456
2345<
br>
11111111
【解析】
设
1A
,
B
23452345
1
1
11
11
A
B
A
B
ABA
ABB
原式
AB
6
6
66
66
11
(
AB)
66
【巩固】
2
9
12
39
1
129
239
123
L
L<
br>
1
L
L
10
23410
2
2310
3410
234
原式
(a)ba(b)
11
t1
1
1239
1
L
,则有
t
2
t(1t)
t
t
2
t
t
2
t
22
22
2
23410
2
39239
【巩固】
(L)
2
(L)(1L)(L)
23413410
【解析】
设
t
1239
111t11
L
,则有
t
2
t(1t)(t)t
2
t(t
2t)
23410
222222
11
【巩固】
计算
11
21
11
31
11
43
11
L
4
1
2009
L
2
009
111
11
【解析】
设
N3
. 原式=+=+
12N1N
11
21
41
11
NNN1
L1
2009N
NN1
=
1
.
2N12N1
【巩固】 (
7.886.775.66
)
(
9.3110.9810
)
(
7.886.77
5.6610
)
(
9.3110.98
)
【解析】
换元的思想即“打包”,令
a7.886.775.66
,
b9.3110.98
,
【解析】
设
t
则原式
a
(
b10
)
(
a10
)b
(
ab10a
)
(
ab10b
)
ab10aab10b10
(
ab
)
10
(
7.886.775.669.3110.98
)
10
0.020.2
【巩固】
计算(
10.450.56
)
(
0.450.560.67
)
(
10
.450.560.67
)
(
0.450.56
)
【解析】
该题相对简单,尽量凑相同的部分,即能简化运算.设
a0.450.
56
,
,
b0.450.560.67
有原式
(
1a
)
b
(
1b
)
ababa
abba0.67
三、循环小数与分数互化
&&&
【例 16】
计算:
0.1+0.125+0.3+0.16
,结果保留三位小数.
&&
&
0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736
【解析】
方法一:
0.1+0.125+0.3+0.16
&&&
1
1
3
15
11<
br>
1
53
0.7361
&
方法二:
0.
1+0.125+0.3+0.16
9899018872
&
0.36
&&
;
【巩固】
⑴
0.54
•••
19
⑵
1.21.24
27
54536494899
【解析】
⑴ 法一:原式
.
9
法二:将算式变为竖式:
<
br>··
0.544444
L
0.363636
L
0.
908080
L
9089899
.
990990
224
⑵ 原式
11
99927999279
&&&&&&
【巩固】
计算:
0.01
0.120.230.340.780.89
&&&&&&
【解析】
方法一:
0.01
0.120.230.340.780.8
9
可判断出结果应该是
0.908
,化为分数即是
1121232343787898
9
216
=
90
9
&&&&&&
方法二:
0.01
0.120.230.340.780.89
&&&&&&
0.020.030.040.080.09
=0+0.1+0.2+0.3+0.
7+0.8+
0.01
&
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)
1
2.127
90
2.10.32.4
&&&&
&&&&&
&
&&
(2)
0.330
【巩固】
计算 (1)
0.291
0.186
0.1920.3750.52
6
29119213755265
291375521191666330
【
解析】
(1)原式
1
999990999990
999990999990
(2)原式
33018613301855
99999099999081
&
乘以一个数
a
时,把
1
.23
&
误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结
【例 17】
某学生将
1.23
果该是多少?
【解析】
由题意得:
1.23a1.23a0.3
,即:
0.003a0.3
,所以有:
所
以
1.23a1.2390
••
••
33
a
.解得
a90
,
90010
111
90111
90
&
&
&&
【巩固】
将循环小数
0.027<
br>与
0.179672
相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一位小数是多少?
&
&
&&
27
179
672
1
179672
4856
0.00
4856
&&
【解析】
×
0.179672
0.027
99999999937999999999999
循环节有6位,100÷6=16……4,
因此第100位小数是循环节中的第4位8,第10l位是5.这
样四舍五入后第100位为9.
2
5
2413
&&
&
【例 18】
有8个数,<
br>0.51
,,,
0.51
,
,
是其中6个,如果按从小到大的
顺序排列时,第4
3
9
4725
&
个数是
0.51
,那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?
25
&
&
,
2
4
0.5106
,
13
=0.52
【解析】
=0.6
,
=0.5
394725
&
&
&
&&
即
24
<051<0.51<
&
&
&
13<
br><
5
<
2
,显然有
0.5106<0.51<0.51<0.
52<0.5<0.6
8个数从小到大排
472593
24
&
&&
&
13
<
5
<
2
.(“□”,表示未知的那
2个列第4个是
0.51
,所以有
口<口<<0.51<0.51<
4725
93
&
&
数).所以,这8个数从大到小排列第4个数是
0.51
.
a
【例 19】
真分数化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数
字之和是1992,那么
a
7
是多少?
1
&&
,
3
=0.428571
&&
,
4
=0.571428
&<
br>,
5
=0.714285
&&&
,
&
&
,
2
=0.285714
【解析】
=0.142857
77777<
br>6
&&
.因此,真分数
a
化为小数后,从小数点第一位开始每连续六个
数字之和都是
=0.857142
77
.
a
&
1+4+2+
8+5+7=27,又因为1992÷27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以
=0
.857142
,即
a6
.
7
a
化成循环小数之后,从小数点后第1位起若干位数字之和是
9039
,则<
br>a
是多少?
7
a
【解析】
我们知道形如的真分数转化成
循环小数后,循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成,
7
只是各个数字的位置不
同而已,那么
9039
就应该由若干个完整的
142857
和一个
不
完整
142857
组成。
9039
1
24578
334L21
,而
21276
,
【巩固】
真分数
所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为4,2
时才符合要求,显然,
这种情况下完整的循环节为“
857142
”,因此这个分数应
该为
6
,所以
a6
。
7
a
化成循环小数之后,
小数点后第2009位数字为7,则
a
是多少?
7
a
【解析】
我们知道形如的真分数转化成循环小数后,循环节都是由6位数字组成,
7
2009
6334LL5
,因此只需判断当
a
为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得
a3
。
20021
【例 20】
和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009287
20021
【解析】
如果将和转化成循环小数后再去计算第
100位上的数字和比较麻烦,通过观察计算
2009287
【巩固】
真分数
我们
20021
1
,而
10.9
,则第100位上的数字和为9.
2009287
&&
【巩固】
纯循环小数
写成最简分数时,分子和分母的和是
58
,则三位数
ab
c_________
abc
&&
【解析】
如果直接把
转化为分数,应该是,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我
999
3
们将
999
分解质因数得:
999337
,这个最简分数的
分母应小于
58
,而且大于
29
,否则该
分数就变成了假分数了,符
合这个要求的
999
的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就
abcab
c21
&&
是
583721
,也就是说
,因此
abc2127567
.
999372737
【例 21】
在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.
(1);
102020
发现
(2)111
10
【解析】
单位分数的拆分
,主要方法是从分母
N
的约数中任意找出两个数
m
和
n
,有
:
1mnmn11
,
NN
(mn)N(mn)N(mn)AB
从分母
n
的约数中任意找出两个
m
和
n
(
mn
),有:
1mnmn11
NN(mn)N(mn)N(mn)AB
(1)
本题
10
的约数有:
1
,10,2,5.
1121211
例如:选1和2,有:
;
1010(12)10(12)10(12)3015
从上面变化的过程可以看
出,如果取出的两组不同的
m
和
n
,它们的数值虽然不同,但是如果
m
和
n
的比值相同,那么最后得到的
A
和
B
也是相
同的.本题中,从10的约数中任取两个数, 共
2
有
C
4
41
0
种,但是其中比值不同的只有5组:(1,1);(1,2);(1,5);(1,10);(2,<
br>5),所以本题共可拆分成5组.具体的解如下:
.
(2)10的约数有1、2、5、10,我们可选2和5:
1525211
1010(52)10(52)10(52)615
另外的解让学生去尝试练习.
【巩固】
在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.
1111111
10
【解析】
先选10的
三个约数,比如5、2和1,表示成连减式
521
和连加式
521
.
1111111
则:
10
4
10
20
80
40
16
如果选10、5、2,那么有:
1111111
.
1
1111
,根据前面的拆分随意选取一组,比如
1
0
另外,对于这类题还有个方法,就是先将单位分数拆分,拆成两个单位分数的和
或差,再将其
中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差,这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分
数
的和或差了.比如,要得到
111111
,再选择其中的一个分数进行拆分,比如,
所以
1
1111
.
101360156
【例 22】
45
【解析】
45
72
120
18
30
405
135
81
9
15
45
1
1111
1
1
【巩固】
=-=
10
1111111【解析】
10
4
10
20
80
40
16
注:这里要先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式5-2-1和连加式5
+2+1.
【例 23】
所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是__________。
【解析】 <
br>小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个,分母为17的真分数相
加,和
等于
171
。
()()()LL()
8
2
71717
类似地,可以求出其它分母为质数的分数的和。因此,所求的和是
1315171111131171191231291
2222222222
11
1235689111
459
22
【巩固】
分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【解析】
因为199
6=2×2×499。所以分母为1996的最简分数,分子不能是偶数,也不能是499的倍数,
49
9与3×499。因此,分母为1996的所有最简真分数之和是
()()LL(
)()111498
6619961996
=
1
1
123568911
=
59
2
2
【例 24】
若
111
,其中a、b都是四位数,且a2004ab
【解析】
2004的约数有:1,2004,2,1002,3,668,4,501,满足题意的分拆有:
11211
20042004(12)2004(12)60
123006
11311
20042004(13)2004(
13)80162672
12311
20042004(23
)2004(23)50103340
13411
200420
04(34)2004(34)46763507
111
【巩固】
如果
,B
均为正整数,则
B
最大是多少?
,
A
2009AB
1
11
【解析】
从前面的例题我们知道,要将按照如下规则写成
的形式:
AB
N
1mnmn11
,其中
m
和
n
都是<
br>N
的约数。如果要让
B
NN(mn)N(mn)N(mn)AB
尽可能地大,实际上就是让上面的式子中的
n
尽可能地小而
m
尽可能地大,因
此应当
m
取最大的约
数,而
n
应取最小的约数,因此
m2
009
,
n1
,所以
B20092008
.
课后练习:
练习1.
123456
12
1231234123451234561234567
式
【解析】
原
13141516171
121231234123451234561234
567
111111
L
12121
2312312341234567
111
12121234567
1
1
5040
5039
5040
12389
练习2.
(1)(2)(3)L(8)(9)
234910
nn(n1)nn
2
【解析】
通项为:
a
n
n
,
n1n1n1
12
2
3
2
4
2
8
2
9
2
原式
L34678936288
2345910
3333
练习3.
计算:
135L99
___________.
333
【解析】
与公式
12Ln
1
2Ln
2
n
2
n1
4
2
相比,
135L99
缺少偶数
3333
项,
所以可以先补上偶数项.
原式
123L100
3333
2
3
4
3
L100
3
1
100
2
101
2
2
3
1
3
2
3
L50
3
4
11
100
2
101
2
2
3
50
2
51
2
44
50
2
101
2
251
2
12497500
练习4. 计算:
1
111
11
111
1
1
L
L
1
L
L
2007
232008
22008
232007
2
111111
【解析】
令
aL
,
bL
,
232007232008
1
原式
1a
b
1b
ababaabba
2008
····
11
&&&&
11
(结果表示成循环小数) 练习5. ⑴
0.150.218
0.3
; ⑵
2.2
340.98
111
12345679
1512182
311
371111
&&
【解析】
⑴原式
0.012345679<
br>
909909111
993999
&&
2
2342
2
232
,
0.98
&&
98
,所以
2.234
&&&&
2
232
9
8
1
242
1
22
,⑵
2.234
0.98
99099099
9909999090
&&&&
11122
11
1
2
0.09
&&&
0.
113
&&
2.2340.980.02
901190
月测备选
【备选1】计算:
2399
L
.
3!4!100!
【解析】
原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了.
2399
原式
L
1231
234123
L
100
31411001
L
1231234123
L
100
111111
L
12123123123
4123
L
99123
L
100
1111
12123L1002100!
12
2
2
2
2
3
2
2004
22005
2
2005
2
2006
2
【备选2】计算
:
L
1223200420052005200
6
【解析】
(法1):可先来分析一下它的通项情况,
n
2
(
n1)
2
n
2
(n1)
2
nn1
a
n
n(n1)n(n1)n(n1)n1n
2
原式=
()()()()L()()
6
20052005
200524010
2006200
6
n
2
(n1)
2
2n
2
2n11122
(法2):
a
n
n(n1)n
2
nn
2
nn(n1)
12
3
3
3
2006
3
【备选3】计算:
123
2006
【解析】
原式
123
2006
1232006
2
1
123
2006
2006
20061
2013021<
br>
2
【备选4】计算:
621739458
739458378<
br>
621739458378
739458
126358947
358947207
7
358947
6258
【解析】
令
a
;
b
,
8947
378
378
378621378
原式
a
bab
ab9
<
br>
207
207
207126207
<
br>2009
11
2009
【备选5】计算
(结果表示为循环小数)
999009
9990
9901
11
&&&&
【解析】
由于,, <
br>0.000010.00001
9990099990
11
&&&&&&<
br>所以,
0.000010.000010.91
9990099990
而
9009917139901919901
,
2009
<
br>1111
2009
&&
0.912009
所以,<
br>
999901
&&&&&&
0.911120090.0120090.09