分数的速算与巧算(教师)

温柔似野鬼°
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2020年11月06日 10:16
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2020年11月6日发(作者:濮氏)



分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握
裂项 技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数
与分数的主要利用 运算定律进行简算的问题.
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,
使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式.
知识点拨
一、裂项综合
(一)、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即
那么有< br>1
形式的,这里我们把较小的数写在前面,即
ab

ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:
1
1
,形式的,我们有:
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂 差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为 任意自然数)的,但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
(二)、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
(1)



(2)
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的,
同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
三、整数裂项
1
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4
(1)
122334...(n1)n

二、换元
解数学题时 ,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换
元的实质是转 化,将复杂的式子化繁为简.

三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论:
纯循环小数 混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分子 循环节中的数字所组成的数



分母 n个9,其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母,其中9在0
的左侧
0.a
·
··
····
abca
aabab1ab



0.0ab


,……

990
9999910990
2、单位分数的拆分:
例:
11111111
111
=====

102020

分析:分数单位的拆分,主要方法是:
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:

11(mn)mn
11
=



NN(m n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如:选1和2,有:

11(12)1211


1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有:

111111111


1351530
例题精讲
模块一、分数裂项
11111


123 423453456678978910
1

111111

【解析】
原式



L



3

1232342343457898910

1

11

119






3

1238910

2160
333
【巩固】

......
123423451718 1920
1111111
【解析】
原式
3[(...)]

312323423 4345171819181920
113192011139


1231819201819206840
5719
【例 2】
计算:

L


1232348910
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同,那么 就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不
【例 1】
相同,而是成等差数列,且 等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差
数列(该数列的第
n个数恰好为
n
的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以
可以 先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.
原式

3234316


L

1232348910
1128

1

1

3


L

L


 2


12323489101232348910< br>
1

111111

11

1< br>3


L
2
L


2

1223233489910

910< br>
2334


3

11

11

1111


2
L
< br>


2

12910

23349 10





3

11

71123

11






2







2

290

210
460515

,再将每一项的
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质,可 知分子的通项公式为
2n3
,所以
2n323

n

n1



n2

n1


n2

n

n1


n2

23
与分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相< br>n1n2nn1n2

同.
571719


L


2 34345891091011
571719
【解析】
本题的重点 在于计算括号内的算式:
.这个

L

2343458 91091011
【巩固】
计算:
1155

算式不同 于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相
同、或分子是分母的 差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的
形式.
观察可知523

734
,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所 以
571719


L

2343458 91091011
2334910


L

23434591011
111111




L

342445351011911
11

111

1



L
L





344510112435 911

11

1

1111111111

1111



L


 


L



1011

2

243546810911

3445

11

1

1111

81

28
31














311221
 
55
31
所以原式
1155651

55
34512
【巩固】
计算:


L< br>
12452356346710111314
【解析】 < br>观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以
先将 每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即:
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

1 234523456345671011121314
现在进行裂项 的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,
可以用平方差公式:< br>3154

4264

5374
…… < br>222
3
2
4
2
5
2
12
2
【解析】
原式



L

1234 523456345671011121314
1542643 7410144


L

1234523 456345671011121314
111

1




L


111213

234345456
4444




L


1011121314

1234 52345634567




1

111111



L


2

2334344511121213

111111




L


1011121311121314

12342 34523453456

1

11

11






2

231213

123411121314

1111< br>177111


811121314821114
12212132411121314
1175


8308616
12349
【例 3】



L

2232342345234
L
1 0
12349
【解析】
原式



L
2232342345234
L
10
2131 41101


L

223234234L
10
1111111

1
L
< br>222323234234
L
9234
L
91 0
13628799

1
234L9103628800
1111
【例 4】



LL

11212312
L
100
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项 ”问题。此类问题需要从最简

单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对 分母进行等差数列求和运算公
112112

,,……,
1
(11)1
1212
(12)2
23
22
2222 120099
原式



LL
2(1)1
1223341001
23450
【巩固】

L
1(12)(12)(123)(123)(1234)(123 
L
49)(123
L
50)
234550
原 式=++++…+
1336610101512251275
1
1
1111111274
=(

)+(

)+(

)+()=

1
3
36615
234100
【巩固】 < br>
L

1(12)(12)(123)(123)(1 234)(12
L
99)(12
L
100)
式 的代入有

211
311
【解析】
,,……,

1(12)112
(12)(123)12123
10 011
,所以

(12L99)(12L100)12L9 912L100
1
原式
1

12L100
15049

1
50505050



2310


L

1

12

(12)(123)(123
L
9)(123
L
10)
23410
【解析】
原式
1(
L
)

133661045 55
11

11111
1

1
L



4555

336610
【巩固】
1
1

1

1



55

1


55
111111
【例 5】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
22
【解析】
这题是利用平方差公式进行裂项:
ab(ab)(ab)

111111
原式
()()()()()()

24 466881010121214
11
()

24466881
1113
()

214214
35715
【巩固】
计算:
2

 
L

12
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7
2
8
2
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
2
7
2
【解析】
原式

2

L

22

1 2
2
2
2
3
2
3
2
4
278
1111111
1
2

2

2
2

2
L
2

2

2233478
163

1
2

864
3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】
计算:
2

L


315
2
17
2
11993
2
11995
2
1
2

2

2

22

11
L
11
【解析】
原式


1
2


2 222

31

51

71

19931

19951

22

2
< br>997


L



24461 9941996

11

1

997

1111

1
997


L
9 97

997

19941996

1996< br>
2446

21996

1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】
计算:

L


13355799101
【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系 不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变
22
22

21

41

61
,……,
1001
,可以发现如果分 母都加上1,那么恰好都是分子
的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到 原式的值了.
1

2
2
4
2
6
2
100
2


L

原式

2


4

214
2
16
21100
2
1



1

111 1



1
2
1
2
1
2

L
1


4

21416 1100
2
1

1

1111


50
L



4

13355799101





11

1111111



50

1
L


4

2

3355799101



11

1


15063


50 

1

12


50
4

2

101


4101101
2244 66881010
【巩固】


1335577 9911
n
2
11
【解析】
(法1):可先找通项
a
n

2

1
2
1
n1n1(n1)(n1)
11111
原式
( 1)(1)(1)(1)(1)

13355779911
1155
5(1)55

2111111
2880
(法2):原式
(2)()()( )()

3355779911
61014185065
2 1045

3579111111
11
1
31999
【例 6】
2



L

111111
1( 1)(1)(1)(1)
L
(1)
223231999
1 1
211
n1
【解析】

n1
2()

111n2
(n1)(n 2)n1n2
(1)(1)
L
(1)
23n12
111111

11
1

999
原式=

()()()
L
()

2

1344519992000

10001000


23
111
【巩固】
计算:
1


12123122007
1211
【解析】
先找通项公式
a
n
2()

12Lnn(n 1)nn1
111

L

原式
1
2(21)3(31)2007(20071)
222
2222
20 072007

2




L

20081004
12233420072008
1111
【巩固 】



L

335357357
L
21
111

【解析】
先找通项:
a
n


35
L

2n1

1
2n13n
n

n 2


2
111111
原式


 
L

132435469111012
11
< br>111

1



L

L



911

24461012

1335
1

11

1

11

175






< br>



2

111

2

212

264
121231234123
L
50
【例 7】


L

22323423
L
50



(1n)n
n(n1)
2
【解析】
找通项
a
n



(1n)n
n( n1)2
1
2
2334455623344556
原 式

L

L

4101828142 53647
通过试写我们又发现数列存在以上规律,这样我们就可以轻松写出全部的项,所以有
23344556484949505051
35023
2

L

26
142536474750 48514952
152
2222222222222
11212312 341226
【例 8】
3

3

 
112
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
1
3< br>2
3
26
3
n(n1)(2n1)
222< br>12n22n1211
6
【解析】
a
n

3
()

n
2
(n1)
2
12
3
n
3
3n(n1)3 nn1
4
211111111
2152
原式=
[()() ()LL(

)]
=
(1)
32781
31 223342627
1

1

1

【巩固】

1
2



1
2


L


1
2


213199 1

1(n1)
2
(n1)
2
【解析】

a
n
1
(n1)
2
1(n1)< br>2
1n(n2)
223398989999
原式


L

(21)(21)(31)(31)(98 1)(981)(991)(991)
223344559898999929 949

L
1

3142536499 9710098110050
222
2399
【例 9】
计算:
2

2

L

2


213 1991
22

n1

n1


【解析】
通项公式:
a
n



n11

n11

n

n2

原式
原式
22334498989999


L< br>
(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)( 981)(991)(991)
2233445598989999
< br>
L

31425364999710098
22334498989999
29999


L 
8100
110050
1
2
2
2
99
2
【巩固】
计算:
2

L

2


110050002
2
20050009999005000
n
2
【解析】
本题的通项公式为
2
,没办法进行裂项之类的处理.注 意到分母
n100n5000
n
2
100n50005000n

100n

5000

100n

可以看出如果

100

100n






n
换成
100n
的话分母的值 不变,所以可以把原式子中的分数两两组合起来,最后单独剩下
50
2
一个
2
.将项数和为100的两项相加,得
5050005000
22
n2


100n

100n

n
2
2n
2
200n10000

2
2
n
2
100n5000

100n

2
1 00

100n

5000
n
2
100n 5000n100n5000



所以原式
249199
.(或者,可得原式中99项的平均数为1,所以原式
19999

11

111

1


【例 1】
24



2

2

2021

112
2
1
2
2
2
10
2



2345
1
11111
【解析】
虽然很容易看出=

,=

……可是再仔细一看,并没有什么效果,因为
2323< br>45
45
这不象分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子,每一项的分母容 易让我们想到公
式 ,于是我们又有
16
..减号前面括号里的

2 222
n(n1)(2n1)
123n
式子有10项,减号后面括 号里的式子也恰好有10项,是不是“一个对一个”呢?

11

1 11

1

24





2

2

2222
23452021121210



1
11

11

1

1



24 

6


23452021123235 101121


11

111

1< br>
24



24

2021

202221

2345

243465


1111

1
< br>1




24








232434546 52021202221



11

1 1

1

1


24< br>

6


24462022122310 11

1

60

6

1< br>
=.

11

11

模块二、换元与公式应用
【例 10】
计算:
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3

333333333
【解析】
原式
1234L141524L14



15
2


151

2
4
5 7600
27
2
8
2

4
8128

8

1
3
2
3
L7
3



【巩固】
132435L911

【解析】
原式


21

21



31
< br>31

L

101

101




2
2
1



3
2
1


L


10
21



2
2
3
2

L
10
2

9


1
2
2< br>2
3
2

L
10
2

10< br>

101121
10375
6
【巩固】
计算:
123234345L8910

2222
【解析】
原式
221331441L991

 
2
3
3
3
4
3
L9
3< br>

234L9




12 3L9

1

234L9


2
45
2
451980



111111
【例 11】
计算:
1
2

3

4

5

6

333333
【解析】
法一:利用等比数列求和公式。

1

7

1

1




3




原式


1
1
3


1

7

326 4



1


1
32729< br>




法二:错位相减法.
111111


33
2
3
3
3
4
3
5
3
6
11111
1364

3S31
2

3

4

5
,< br>3SS3
6
,整理可得
S1

3729
3 3333

S1
法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中 的分子为3,与公比4差1,
所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方 法,需要将每一项的
分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以 2进行算,最后
222222

,则运用
33
2
3
3
3
4
3
5
3
6
1364
“借来 还去”的方法可得到
2S
6
3
,整理得到
S1
. < br>3729
(2
2
4
2
6
2
1 00
2
)(1
2
3
2
5
2
 99
2
)
【例 12】
计算:
123910 98321
2
(21
2
)(4
2
 3
2
)(6
2
5
2
)(100
2< br>99
2
)
【解析】
原式


2
10
(21)(21)(43)(43)(65)(65)(100 99)(10099)


100
1234991 0050501
50

1001002
2
【巩固】


31415926

3141592531415927
________;
再将所得的结果除以2即得到原式的值.由题设,
2S2

1234876624688766
________.
22
【解析】
⑴ 观察可知31415925和31415927都与314159 26相差1,设
a31415926

原式
a

a 1

a1

aa11

222

⑵ 原式
12348766212348766

22

< br>12348766

10000
2
100000000

2222222
【巩固】
计算:
1234L200520062007

2222222
【解析】
原式
20072006L54321


(20 072006)(20072006)(20052004)(20052004)L(3 2)(32)1


2007200620052004L321

1



20071

20072015028
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
2000
2
2001
2
【例 13】
计算:

1223344520002001
【解析】
原式
222222222
02001
2

12122323343445452000200120002001
2



02001


22000
21324

35

19992001

200 0

()()




< br>


12233

44

200020 00

2001
20002000
2
4
2
2< br>2
1

4
2
44

44

3
2
2001
4000
2001

2000个2相加

【例 14】


2007

8.58.51.51.5

10


16 00.3

【解析】




2007

8.51.5

8.51.5

10


1600.3



2007 10

8.51.5

10


160 0.3






20077

1600.3
12.50. 3
12.2

【巩固】
计算:
53574743

【解析】
本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差,但灵活采用平方差公式能收到更好的效果.
2222
原式


552


552



452



45 2

552452



55
2< br>45
2


5545



5 545

1000

【巩固】
计算:
1119121813171416

【解析】
本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式.
22222222
原式
154153152151




15
2

4

1 2
2

2
3
2
4
2

90030870

2222
其中
1234
可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式
1
1
2
2
2
Ln
2
n

n1

2n1

进行计算.
6
【巩固】
计算:
199298397L4951

【解析】
观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的,可以采用平方差公式.
原式


5049



5049



5048



5048
L

501



501













50
2
49
2



50< br>2
48
2

L

50
2
1
2


50
2
49

1
2
2
2
L49
2


50
2
49

1
2
2
2
L49
2


1
50
2
49495099

6
50
2
49492533

4925

10033


492567

82075

332333233.3
32
【巩固】
看规律
11

123

1236
……,试求
67L14


22



1
3
2
3.L14
3



1
3
2
3.< br>L5
3



123L14



12345



105
2
15
2


10515

10515

9012010800

1111111111
)()(1)()

2424624624
111111
【解析】

1a

b
,则:
246246
【例 15】
计算:
(1



11
66
11

abbaba

66
111

(ab)1

666
111
【巩固】
(1)()(1)()

23423452345234
111
111
【解析】

a
,则原式化简为:
(1+a)(a+)-a(1a+)=

234
555
11

1111

11111
111

11
【巩固】



< br>11213141

21314151

1121314151< br>
213141

1111111
【解析】

a

b

141
1

1

原式
a
b



a

b

51

51

11

abaabb

5151
1

(ab)

51
111


5111561
11111
【巩固】
()()()()

57911137911
1111111
【解析】

A

B

579117911
1

1

原式
A< br>
B



A

B

13

13

11

ABAABB

1313
1



AB


13
111



13565
【巩固】
计算

1111< br>
11111

11111

1111

1







1







2345

23456

23456

2345< br>
11111111
【解析】

1A

B

23452345
1

1

11
11

A

B



A

B

ABA ABB

原式

AB

6

6

66
66

11

(
AB)


66
【巩固】
2
9

12 39

1

129

239

123


L





L< br>



1
L




L


10

23410

2

2310

3410

234
原式
(a)ba(b)




11

t1

1
1239

1

L
,则有
t
2
t(1t)

t

t
2
t

t
2
t



22

22

2
23410

2

39239
【巩固】
(L)
2
(L)(1L)(L)
23413410
【解析】

t

1239
111t11
L
,则有
t
2
t(1t)(t)t
2
t(t
2t)

23410
222222
11
【巩固】
计算

11
21
11
31
11
43
11
L
4
1
2009
L

2 009
111
11
【解析】

N3
. 原式=+=+
12N1N
11
21
41
11
NNN1
L1
2009N
NN1
=
1
.
2N12N1
【巩固】 (
7.886.775.66
)

(
9.3110.9810
)

(
7.886.77 5.6610
)

(
9.3110.98
)
【解析】
换元的思想即“打包”,令
a7.886.775.66

b9.3110.98

【解析】

t
则原式
a
(
b10
)

(
a10
)b
(
ab10a
)

(
ab10b
)
ab10aab10b10
(
ab
)

10
(
7.886.775.669.3110.98
)
10 0.020.2

【巩固】
计算(
10.450.56
)

(
0.450.560.67
)

(
10 .450.560.67
)

(
0.450.56
)
【解析】
该题相对简单,尽量凑相同的部分,即能简化运算.设
a0.450. 56


b0.450.560.67
有原式

(
1a
)
b
(
1b
)
ababa abba0.67

三、循环小数与分数互化
&&&
【例 16】
计算:
0.1+0.125+0.3+0.16
,结果保留三位小数.
&& &
0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736

【解析】
方法一:
0.1+0.125+0.3+0.16
&&&

1

1

3

15

11< br>
1

53
0.7361
&
方法二:
0. 1+0.125+0.3+0.16

9899018872
&
0.36
&&


【巩固】

0.54
•••
19

1.21.24

27

54536494899
【解析】
⑴ 法一:原式



9
法二:将算式变为竖式:



< br>··

0.544444
L
0.363636
L
0. 908080
L
9089899


990990
224
⑵ 原式
11


99927999279
&&&&&&
【巩固】
计算:
0.01

0.120.230.340.780.89
&&&&&&
【解析】
方法一:
0.01

0.120.230.340.780.8 9
可判断出结果应该是
0.908
,化为分数即是



1121232343787898


9

216


=
90
9
&&&&&&
方法二:
0.01

0.120.230.340.780.89
&&&&&&

0.020.030.040.080.09
=0+0.1+0.2+0.3+0. 7+0.8+
0.01
&
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)

1

2.127

90

2.10.32.4

&&&&

&&&&&
&
&&
(2)
0.330
【巩固】
计算 (1)
0.291
0.186
0.1920.3750.52 6
29119213755265
291375521191666330
【 解析】
(1)原式

1


999990999990
999990999990


(2)原式


33018613301855


99999099999081
&
乘以一个数
a
时,把
1 .23
&
误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结
【例 17】
某学生将
1.23
果该是多少?
【解析】
由题意得:
1.23a1.23a0.3
,即:
0.003a0.3
,所以有:
所 以
1.23a1.2390
••
••
33
a
.解得
a90

90010
111
90111

90
&
&
&&
【巩固】
将循环小数
0.027< br>与
0.179672
相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一位小数是多少?
&
&
&&

27

179 672

1

179672

4856
0.00 4856
&&
【解析】
×
0.179672

0.027
99999999937999999999999
循环节有6位,100÷6=16……4, 因此第100位小数是循环节中的第4位8,第10l位是5.这
样四舍五入后第100位为9.
2
5
2413
&&
&
【例 18】
有8个数,< br>0.51
,,,
0.51
,
,
是其中6个,如果按从小到大的 顺序排列时,第4
3
9
4725
&
个数是
0.51
,那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?
25
&
&
,
2 4
0.5106
,
13
=0.52

【解析】
=0.6
,
=0.5
394725
&
&
&
&&

24
<051<0.51<
&
&
&
13< br><
5
<
2
,显然有
0.5106<0.51<0.51<0. 52<0.5<0.6
8个数从小到大排
472593
24
&
&&
&
13
<
5
<
2
.(“□”,表示未知的那 2个列第4个是
0.51
,所以有
口<口<<0.51<0.51<
4725 93
&
&
数).所以,这8个数从大到小排列第4个数是
0.51

a
【例 19】
真分数化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数 字之和是1992,那么
a
7
是多少?
1
&&

3
=0.428571
&&

4
=0.571428
&< br>,
5
=0.714285
&&&

&
&

2
=0.285714
【解析】
=0.142857
77777< br>6
&&
.因此,真分数
a
化为小数后,从小数点第一位开始每连续六个 数字之和都是
=0.857142
77
.
a
&
1+4+2+ 8+5+7=27,又因为1992÷27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以
=0 .857142
,即
a6

7



a
化成循环小数之后,从小数点后第1位起若干位数字之和是
9039
,则< br>a
是多少?
7
a
【解析】
我们知道形如的真分数转化成 循环小数后,循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成,
7
只是各个数字的位置不 同而已,那么
9039
就应该由若干个完整的
142857
和一个 不
完整
142857
组成。
9039

1 24578

334L21
,而
21276

【巩固】
真分数
所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为4,2 时才符合要求,显然,
这种情况下完整的循环节为“
857142
”,因此这个分数应 该为
6
,所以
a6

7
a
化成循环小数之后, 小数点后第2009位数字为7,则
a
是多少?
7
a
【解析】
我们知道形如的真分数转化成循环小数后,循环节都是由6位数字组成,
7
2009 6334LL5
,因此只需判断当
a
为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得
a3

20021
【例 20】
和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009287
20021
【解析】
如果将和转化成循环小数后再去计算第 100位上的数字和比较麻烦,通过观察计算
2009287
【巩固】
真分数
我们

20021
1
,而
10.9
,则第100位上的数字和为9.
2009287
&&
【巩固】
纯循环小数

写成最简分数时,分子和分母的和是
58
,则三位数
ab c_________

abc
&&
【解析】
如果直接把

转化为分数,应该是,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我
999
3
们将
999
分解质因数得:
999337
,这个最简分数的 分母应小于
58
,而且大于
29
,否则该
分数就变成了假分数了,符 合这个要求的
999
的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就
abcab c21
&&

583721
,也就是说

,因此
abc2127567
.

999372737
【例 21】
在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.

(1);
 
102020

发现
(2)111


10

【解析】
单位分数的拆分 ,主要方法是从分母
N
的约数中任意找出两个数
m

n
,有 :
1mnmn11



NN (mn)N(mn)N(mn)AB
从分母
n
的约数中任意找出两个
m

n
(
mn
),有:
1mnmn11


NN(mn)N(mn)N(mn)AB
(1) 本题
10
的约数有:
1
,10,2,5.
1121211
例如:选1和2,有:


1010(12)10(12)10(12)3015
从上面变化的过程可以看 出,如果取出的两组不同的
m

n
,它们的数值虽然不同,但是如果
m

n
的比值相同,那么最后得到的
A

B
也是相 同的.本题中,从10的约数中任取两个数, 共
2

C
4
41 0
种,但是其中比值不同的只有5组:(1,1);(1,2);(1,5);(1,10);(2,< br>5),所以本题共可拆分成5组.具体的解如下:







(2)10的约数有1、2、5、10,我们可选2和5:

1525211


1010(52)10(52)10(52)615
另外的解让学生去尝试练习.
【巩固】
在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.
1111111


10

【解析】
先选10的 三个约数,比如5、2和1,表示成连减式
521
和连加式
521

1111111
则:

10

4

10

20

80

40
16

如果选10、5、2,那么有:
1111111

1
1111
,根据前面的拆分随意选取一组,比如

1 0

另外,对于这类题还有个方法,就是先将单位分数拆分,拆成两个单位分数的和 或差,再将其
中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差,这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分 数
的和或差了.比如,要得到
111111
,再选择其中的一个分数进行拆分,比如, 所以

1
1111


101360156

【例 22】


 
45


【解析】



45

72

120

18

30

405

135

81

9

15

45


1
1111
1
1
【巩固】
=-=

10



1111111【解析】



10

4
10

20

80

40

16

注:这里要先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式5-2-1和连加式5 +2+1.
【例 23】
所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是__________。
【解析】 < br>小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个,分母为17的真分数相 加,和
等于

171

()()()LL() 8
2
71717
类似地,可以求出其它分母为质数的分数的和。因此,所求的和是
1315171111131171191231291

 
2222222222
11
1235689111 459

22
【巩固】
分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【解析】
因为199 6=2×2×499。所以分母为1996的最简分数,分子不能是偶数,也不能是499的倍数,
49 9与3×499。因此,分母为1996的所有最简真分数之和是

()()LL( )()111498
6619961996

=
1
1
123568911
=
59

2
2



【例 24】

111

,其中a、b都是四位数,且a2004ab
【解析】
2004的约数有:1,2004,2,1002,3,668,4,501,满足题意的分拆有:
11211


20042004(12)2004(12)60 123006
11311


20042004(13)2004( 13)80162672
12311


20042004(23 )2004(23)50103340
13411


200420 04(34)2004(34)46763507
111
【巩固】
如果
,B
均为正整数,则
B
最大是多少?


A
2009AB
1
11
【解析】
从前面的例题我们知道,要将按照如下规则写成

的形式:
AB
N
1mnmn11

,其中
m

n
都是< br>N
的约数。如果要让
B
NN(mn)N(mn)N(mn)AB
尽可能地大,实际上就是让上面的式子中的
n
尽可能地小而
m
尽可能地大,因 此应当
m
取最大的约
数,而
n
应取最小的约数,因此
m2 009

n1
,所以
B20092008
.
课后练习:
练习1.

123456

12 1231234123451234561234567

【解析】



13141516171
 
121231234123451234561234 567
111111


L

12121 2312312341234567
111


12121234567
1

1
5040
5039


5040
12389
练习2.
(1)(2)(3)L(8)(9)

234910
nn(n1)nn
2
【解析】
通项为:
a
n
n


n1n1n1
12
2
3
2
4
2
8
2
9
2
原式
L34678936288

2345910
3333
练习3. 计算:
135L99
___________.

333
【解析】
与公式
12Ln

1 2Ln


2
n
2

n1

4
2
相比,
135L99
缺少偶数
3333
项, 所以可以先补上偶数项.
原式
123L100

3333



2
3
4
3
L100
3

1
100
2
101
2
2
3


1
3
2
3
L50
3


4



11
100
2
101
2
2
3
 50
2
51
2

44
50
2


101
2
251
2


12497500

练习4. 计算:
1

111
11

111

1
1
L

L
1
L

L

 

2007

232008

22008

232007

2
111111
【解析】

aL

bL

232007232008
1
原式


1a

b

1b

ababaabba

2008
····
11

&&&&
11
(结果表示成循环小数) 练习5. ⑴

0.150.218

0.3
; ⑵
2.2 340.98
111

12345679

1512182

311
371111
&&
【解析】
⑴原式




0.012345679< br>

909909111
993999

&&
 2
2342
2
232

0.98
&&

98
,所以
2.234
&&&&
2
232

9 8
1
242
1
22
,⑵
2.234

0.98
99099099
9909999090
&&&&
11122
11
1

2
0.09
&&&
0. 113
&&

2.2340.980.02
901190


月测备选
【备选1】计算:
2399
L
.
3!4!100!
【解析】
原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了.
2399
原式



L

1231 234123
L
100
31411001

 
L

1231234123
L
100
111111

L

12123123123 4123
L
99123
L
100

1111


12123L1002100!
12
2
2
2
2
3
2
2004
22005
2
2005
2
2006
2
【备选2】计算 :


L

1223200420052005200 6
【解析】
(法1):可先来分析一下它的通项情况,
n
2
( n1)
2
n
2
(n1)
2
nn1
a
n


n(n1)n(n1)n(n1)n1n
2
原式=
()()()()L()()

6
20052005

200524010
2006200 6
n
2
(n1)
2
2n
2
2n11122
(法2):
a
n


n(n1)n
2
nn
2
nn(n1)

12
3
3
3
2006
3
【备选3】计算:
123 2006
【解析】
原式



123 2006

1232006
2
1
123 2006
2006

20061

2013021< br>
2



【备选4】计算:

621739458

739458378< br>
621739458378

739458

 








126358947

358947207

7

358947

6258
【解析】

a

b

8947
378

378

378621378

原式
a

bab
ab9

< br>
207

207

207126207
< br>2009

11

2009
【备选5】计算

(结果表示为循环小数)




999009 9990

9901
11
&&&&
【解析】
由于,, < br>0.000010.00001
9990099990
11
&&&&&&< br>所以,
0.000010.000010.91
9990099990

9009917139901919901

2009
< br>1111

2009
&&
0.912009
所以,< br>



999901

&&&&&&

0.911120090.0120090.09

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