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奥数专题——裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考
例如
111
，这里分母3、4是相邻的两个自然数 ，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广

3412
到一般情况，就有一个很有 用的等式：
即
111


nn1n(n1)
111


n(n1)nn1
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】

例1. 计算：
1111

……
198519861 98619871987198819941995
分析与解答：
上 面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来
就十 分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部 分分数可以相互抵
消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：
1111
…

112123123…100
公式的变式
当
n
分别取1，2，3，……，100时，就有
例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式
数的数的积是多少？
分析与解：减法是 加法的逆运算，
111

中这两个符号所代表的
6()
111 111

就变成

，与前面提到的等式
6()6()< br>111
111

相联系，便可找到一组解，即


nn1n(n1)
6742
另外一种方法
设
n、x、y
都是自然数，且
xy
，当
111

时，利用 上面的变加为减的想法，得算式
nxy
xn1

。
nxy

这里
1
是个单位分数，所以
xn< br>一定大于零，假定
xnt0
，则
xnt
，代入上式得
y
n
2
t1
n
。

，即
y
t
n(nt)y
又因为
y< br>是自然数，所以
t
一定能整除
n
，即
t
是
n
的约数，有
n
个
t
就有
n
个
y
， 这一来我们便得
22
n
2
111
n
，
t
是
n
2
的约数时，一定有

到一个比

更广泛的等 式，即当
xnt
，
y
t
nn1n(n1)
111

，即
nxy
n
2
111
n
，t
是
n
2
的约数时，一定有

，这里
n6 ,n
2
36
， 上面指出当
xnt
，
yt
nxy
36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
t1
时，
x7
，
y42

2
时，
x8
，
y24

当
t3
时，
x9
，
y18

当
t4
时，
x10
，
y15

当
t6
时，
x12
，
y10

当
t9
时，
x15
，
y10

当
t12
时，
x18
，
y9

当
t18
时，
x24
，
y8

当
t36
时，
x42
，
y7

当
t
故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：
2. 计算：
111


36120
111

时，求
xy
。
18xy
3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当

【试题答案】

1. 计算：
2. 计算：
111

 
36120
111

时，求
xy
。
18xy
3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当

xy
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
11111


1818(11)3636
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
还有别的解法。