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第一讲 分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项 技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用 运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有< br>1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
1
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4
(1)
122334...(n1)n

二、换元
解数学题时 ，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换
元的实质是转 化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：
纯循环小数 混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分子 循环节中的数字所组成的数

分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0
的左侧
0.a
·
··
····
abca
aabab1ab
；

；
0.0ab
；

，……

990
9999910990
2、单位分数的拆分：
例：
11111111
1
11
=====


10
2020

分析：分数单位的拆分 ，主要方法是：
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

11(mn)mn
11
=



NN(m n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：

11(12)1211


1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有：

111111111


1351530
例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】


11111

123423453456678978910
333
【巩固】

......
1234234517181920


【例 2】
计算：


5719

L

．
1232348910
571719

< br>L

）
234345891091011
【巩固】
计算：
1155
（


【巩固】
计算：


34512


L
< br>12452356346710111314
【例 3】

12349


L

223234234 5234
L
10

【例 4】



1111


LL

11212312
L
100

23450

L

1(12)(12)(123)(123)(1234)(123
L< br>49)(123
L
50)



234 100

L

1(12)(12)(123)(123 )(1234)(12
L
99)(12
L
100)< br>


【巩固】
1
2310

L

1
（
12
）
(12)(123)(1 23
L
9)(123
L
10)



【例 5】

111111

2

2

2

2

2

.
31517191111131
2
35715

22< br>
22

L

22

2
122 33478
3
2
15
2
17
2
1199 3
2
11995
2
1
【巩固】
计算：
2

L

．
315
2
17
2
11993
2
11995
2
1
1
2
2
2
3
2
50
2< br>【巩固】
计算：

L

．
13355799101
224466881010
【巩固】


13355779911
【巩固】
计算：
2

11
1
31999
【例 6】
2



L

111111
1( 1)(1)(1)(1)
L
(1)
223231999
1 11
【巩固】
计算：
1


12123122007
1111
【巩固】



L

335357357
L
21
121231234123
L
50
【例 7】


L

22323423
L< br>50
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
26
2
【例 8】
3

3


3
112< br>3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
12
3
26
3
1

1

1

11L
1
【巩固】


222

21

31

991


2
2
3
2
99
2
【例 9】
计算：
2

L

2


21 3
2
1991
1
2
2
2
99
2
【巩固】
计算：
2

L

2


110050002
2
20050009999005000
1 1

111

1


【例 1】
24



2

2

2222
23452021
1121210


模块二、换元与公式应用
【例 10】
计算：
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3

【巩固】
132435L911


【巩固】
计算：
123234345L8910


111111
【例 11】
计算：
1
2

3

4

5

6

333333
(2
2
4
2
6
2
100
2
)(1
2
3
2
5
2
99
2
)
【例 12】
计算：
12391098321


【巩固】
⑴

31415926

3141592531415927
________；
⑵
1234876624688766
________．

2222222
【巩固】
计算：
1234L200520062007

1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
42
4
2
5
2
2000
2
2001
2
【例 13】
计算：

1223344520 002001
22
2

【例 14】


20 07

8.58.51.51.5

10

< br>1600.3
．
【巩固】
计算：
53574743
．
【巩固】
计算：
1119121813171416
．
【巩固】
计算：
199298397L4951
．
332333233.3
32
【巩固】
看规律
11
，
123
，
1236
……，试求
67L14

1111111111
)()(1)()

2424624624
111
【巩固】
(1)()(1)()

234234523452 34
11

1111

11111

111

11
【巩固】












< br>


11213141

21314151

1121314151

213141

【例 15】
计算：
(1



11111
【巩固】
（）()（)()

57911137911
【巩固】
计算

1111

11111

11111

1111

1







1 







2345

23456

23456

2345
< br>


9

1239

1
129

239

123


L




L




1
L





L



10

23410

2

2310

3410

234



2
39239
(L)
2
(L)(1L) (L)

23413410

【巩固】
计算
2 
3
1
1
1
4
L

1
12009

1
1
3
1
1
1
1< br>4
L

1
1
2009

【巩固】 (
7.886.775.66
)

(
9.3110.98 10
)

(
7.886.775.6610
)
< br>(
9.3110.98
)
【巩固】
计算(
10.45 0.56
)

(
0.450.560.67
)
(
10.450.560.67
)

(
0.450.5 6
)
三、循环小数与分数互化
&&&
【例 16】
计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．
&
0.36
&&

；
【巩固】
⑴
0.54
•••
19
⑵
1.21.24

27

&&&&&&
【巩固】
计算：
0.01

0.120.230.340.780.89
&&&&&
&
&&
（2）
0.330
&&&&

【巩固】
计算 （1）
0.2910.1920.3750.5260.186

&
乘以一个数
a
时，把
1.23
&
误看成1.23，使乘积比正确结果 减少0.3.则正确结
【例 17】
某学生将
1.23
果该是多少?


&
&
&&
【巩固】
将循环小数
0. 027
与
0.179672
相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最 后一
位小数是多少?


2
5
2413
&&
&
【例 18】
有8个数，< br>0.51
，,,
0.51
,
,
是其中6个，如果按从小到大的 顺序排列时，第4
3
9
4725
&
个数是
0.51
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?


【例 19】
真分数


a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若 干个数字之和是1992，那么
a
7
是多少?
【巩固】
真分数


a
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之 和是
9039
，则
a
是多少？
7
a
化成循环小 数之后，小数点后第2009位数字为7，则
a
是多少？
7
【巩固】
真分数


【例 20】


2002
1
和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009
287
&&
【巩固】
纯循环小数

写成最 简分数时,分子和分母的和是
58
,则三位数
abc_________

【例 21】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

（1）；
 
102020

（2）
111< br>

10

【巩固】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
1111111


10

【例 22】





45
 
1
1
111
1
1
【巩固】
=-=

10



【例 23】
所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。


【巩固】
分母为1996的所有最简分数之和是_________。


【例 24】
若

111

，其中a、b都是四位数， 且a2004ab
111
，B
均为正整数，则
B
最大是多少？

，
A
2009AB
【巩固】
如果
课后练习：
练习1.

123456

12123123 4123451234561234567


练习2.
练习3.
练习4.
练习5.
12389
(1)(2)(3)L(8)(9)

23 4910
3333
计算：
135L99
___________．
计算：
1

111

11

11 1

1

1
L



< br>
L




1
L





L



22082320 07

····
11

&&&&
11< br> (结果表示成循环小数) 练习6. ⑴

0.150.218

0.3
； ⑵
2.2 340.98
111

2399
【备选1】计算：
L< br> .
3!4!100!
222
1223
2
2004
2
2005
2
2005
2
2006
2
【备选2】计算：


L

12232 004200520052006
333
1232006
【备选3 】计算：
1232006

【备选4】计算：

621739458

739458378

62173945837 8

739458




 






126358947

358947207

7

358947

2009

11

2009

【备选5】计算

(结果表示为循环小数)


999
