幼儿园读书笔记-广告业务员工作计划

裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两 个因数乘积的分数，即
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，
ab
即
a
＜
b
，那么有:

1
ab
< br>111
ba
(
a

b
)


(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：


1
n(n1)(n2)

1

2


1

n(n1)

1

(n1)(n 2)






1
< br>n(n1)(n2)(n3)

1

3


1

n(n1)(n2)

1
(n1)( n2)(n3)






二、
分数
“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
abab11
ab< br>
ab

ab

b

a


（2）
a
2
b
2
ab

a
2
ab

b
2
ab

a
b

b
a



裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和 型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到
简化目的。裂和：抵 消，或 凑整

三、整数裂项基本公式


(1)
122334......(n1)n
1
3
(n1) n(n1)


1

1
(2)
123234345......(n2)(n1)n< br>4
(n2)(n1)n(n1)


(3)
n(n1)
11
3
n(n1)(n2)
3
(n 1)n(n1)


n(n1)n
2
n


(4) < br>n(n1)(n2)
1
4
n(n1)(n2)(n3)
1
4
(n1)n(n1)(n2)


(5)
nn!(n1)!n!



裂项求和部分基本公式

1.求和：
S
11
n
12

2 3

1
34

1
45
......
1
n(n1)

n
n1


证：< br>S(1
1
2
)(
1
2

1
3< br>)(
1
3

1
4
)(
1
4
1
5
)(
1
n

1
n1< br>)1
1n
n

n1

n1


2.求和：
S
1
n

13

1
35

1
57

1
79
< br>1n
(2n1)(2n1)

2n1


证：
S
11
n

2
(1
3
)
1
2
(
1
3

1
5
)
1
2
(
1
5

1
7
)
1
2
(
1
2n1

1
2n1
)
1
2
(1
1n
2n1
)
2n1

3.求 和：
S
1
n

14

1
47

1
710

1
(3n2)(3n1)

n
3n1


证：
S
1
3
(1
1
4
)
1
3
(
1
4

1
7
)
111111
n

3
(
7

10
)
3
(
3n2

3n 1
)


11n
3
(1
3n1
)
3n1


2

4.求和：
S
1
13

1
24

1
35

1
46

1
n(n2)

1
n

3
(1
1
2

1
n1

1
n 2
)

证：
S
111111
n
2
(1
3
)
2
(
2

4
)
2
(
1
3

1
5
)
12
(
1
4

1
6
)
1
2
(
1
n1

1
n1
)



1
2
(
1
n

1
n2
)
1
3
(1
111
2

n1

n2
)


5.求和：
S
11111

n

123

234

345

n(n1)(n2)


2


1< br>
2

1
(n1)(n2)


 证：因为
1
n(n1)(n2)

1
2
[
1
n(n1)

1
(n1)(n2)
]
，
S
11111
n


2
(
12

23
)
2
(
23

1< br>34
)
1
2
[
1
n(n1)
< br>1
(n1)(n2)
]


111
2
[
2

(n1)(n2)
]


特殊数列求和公式
123n
n(n1)
2

123（n1）n（n1）321n
2

1357（2n1）n
2

1
2
2
2
n
2

n(n1)(2n1)
6

1
2
3
2
5
2
（2n1）
2

n(2n1)(2n1)n(4n
2
1)
3
< br>3

2
1
3
2
3
n
3


12n

2

n
2

n1

4




平方差公式

a
2
b
2
(ab)(ab)

3

完全平方和（差）公式

(ab)
2
a
2
2abb
2


4