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分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即< br>ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

a
2
b
2
a
2
b
2
ab
abab11
（1）
 


（2）
abababba
ababa bba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目 的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的 。


11111
【例 1】

。
1223344556




111
【巩固】
......
101111125960




2222
【巩固】

L


109985443




1111
【例 2】



LL

1 1212312
L
100
公式的变式

例题精讲
12


12…nn(n1)
当
n
分别取1，2，3，……，100时，就有
12

112
12

1223
12


12334
12

123445
12
12…100100101

1
11212312…100
22222
…
12233499100 100101
11111
…)

2(
1 2233499100100101
111111111
2(1… )
2233499100100101
1
2(1)
101
100
101
200



101
99
1
101
2

求和公式推导：
S1=1+2+3+4+5
+ S1=5+4+3+2+1


1111
【例 3】

L


13355799101




111

1

L

【巩固】 计算：
25



2325

133557





2551
【巩固】


L

4881212162000200420042008






3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929

111
3××(−)+⋯
325


1

1
…
1

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
方法一：
11111111
=(+++++++)×128
2×44×66×88×1010×1212×1414×1616×18
1111111=×(−+⋯+−+−)×128
22414161618

方法二：
11111111
=
[
×(1+++++++)]×128
8361015212836
22222222
=16×(+++++++)
262
22222222
=16×(+++++++)
1×22×33×4 4×55×66×77×88×9
11111
=16×2×(1−+−+⋯+−)
22389

11111111
【巩固】

_______
6122





111111
【巩固】
1

3610152128
一项隔一项来拆项

=1+×(1−)++×(−)++×(−)+

2363251543728




111111111
【巩固】 计算：

＝

26122

11111
=−(−)−⋯(−)
223910




11111
【巩固】

。
1

1111111
=×(−+−+⋯−)
325581417

7
&
4.50.16
11

11
【例 5】
18






1
133.753.2

3153563

3





11111
【例 6】 计算：
1234L20

261220420
11111
=
(
1+2+⋯+20
)
+(1−+−+⋯+−)
2232021



11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70







11224
【巩固】 计算：

____。
26153577





1111111
【巩固】 计算：



3195






19899
【巩固】 计算：
L
．
26122
111
=1−+1−+⋯+1−

269900
111
=99−(++⋯+)
269900




111
【例 7】


L

123234789

【巩固】 计算：






【巩固】 计算：
111


L

1232349899100
1111


L

135246357202224
11111 11
=×(−+−+⋯+−)
41×33×52×44×620×2222×24






9998971
【巩固】


L

12323434599100101
12399
=1−+1−+1−+⋯1−

1×2×32×3×43×4×599×100×101





11111
【例 8】

12342 3453456678978910

11111
=×(−+⋯+−)
31×2×32×3×47×8×98×9×10





5719
【例 9】 计算：

L

．
1232348910
2+33+49+10
=++⋯+

1×2×32×3×48×9×10










123456
【例 10】
 
1212312341234512345612345 67

=1−




131417
+−+−+⋯+
1×21×2×31×2×31×2×3×41×2×3×41×2×3×4×5×6 ×7
1
−

1×2×3×4×5×6×7

【巩固】 计算：





23450
【例 11】 < br>
L

1(12)(12)(123)(123)(1 234)(123
L
49)(12
L
50)
11111111
=2××(1−)+3×(−)+⋯+50××(−

21+231+21+2+3501+2+⋯+491+2+⋯+50







2310
【巩固】
1
L

1
（
12
）
(12)(123)(12 3
L
9)(123
L
10)





56677889910
【例 12】

56677889910





365791113
【巩固】



57612203042
3653+44+55+66+7
=++++++

5763×44×55×66×7




9
【巩固】计算：


3457 820212435
132574+53+73+85+7+7
=++++++++

345784×53×73×85×7


2399
L
.
3!4!100!

【巩固】



3571220283042







3827
【巩固】



2330123124
1017−7263 0−43841−32731−4
= = = =

11917×712030×412341×312431×4







5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算