定海区人力资源和社会保障局-木心语录

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式 的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形， 或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分 ，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中 的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常 见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一 般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1111
()

abbaab
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，< br>ab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

ababab
abab11



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，< br>同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

（1）
2222

11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】 原式



< br>








< br>


12

23

56

166
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：
1111
，计算过 程就要变为：

13355779
例题精讲
1111

11

1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6

111
【巩固】
......
10111 1125960
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】




109985443
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2





2





4534


310

15

91089
7
【答案】
15

1111
【例 2】





1 1212312

100
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简 单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112
代入有

，，……，

1
(11) 1
1212
(12)2
23
22
2222120099
原式




2(1)1
1 223341001
99
【答案】
1

101
1111
【例 3】




13355799101
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

0
【解析】



 (1
…

）

13355799101
50
【答案】
101

111

1



【巩固】 计算：
25



2325

133 557
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级
1

11111

1

1

2524


25

1


【解析】 原式
25

1 



12

2

3352325

2

25

225
【答案】
12


2551
【巩固】




4881212162000200420042008
【考点】分数裂项【难度】2星【 题型】计算
【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛
251

11111






【解析】 原式



16

12233450050150 1502

251

1111111


< br>1





16
< br>22334501502

25150150121
15

165023232
21
【答案】
15

32

3245671
【巩固】 计算：


25577 1111161622222929
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1
【答案】
2

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，101中学
1111
【解析】 原式

（



）
128

2446681618
1111111
（）128

224461618
11
（）64

218
4
28

9
4
【答案】
28

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：

11111111


6122
11111111
23344556677889910

112
==
2105
2
【答案】
5

111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
1111
【解析】 原式
1




121231234 1234567
1
222



233478
11

11111
2

 




78

22334
< br>1

7
2

1




8

4
7
【答案】
4

111111111
【巩固】 计算：

＝
26122
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
111111111
【解析】 原式
()

22 3344556677889910



1111111
()

22334910
111
()

2210
1
10

【答案】

1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11111
【解析】 原式



255881111141417
1< br>
1111111111






3

255881111141417

1

11

5






3

217

34
5
【答案】
34

1111



135357579200120032005
【考点】分数裂项【难 度】3星【题型】计算
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【例 5】 计算：
【解析】 原式

1

11

1 1

11





 


4


2001200320032005< br>


1335

3557

1

11

1004003





4

1320032005

1204804 5

【答案】

1004003

12048045
7

4.50.16
1

111
【例 6】
18






1
13 3.753.2

3153563

3
【考点】分数裂项【难度】 3星【题型】计算
【关键词】2007年，仁华学校
79161

1 11

1
18290
【解析】 原式





1
1335577 9

1331.2540.8
3
71

46
1


1
1

1

1< br>
1

1




1< br>233579

1312
3
4631823
=< br>
2442936
23
【答案】
36

11111
【例 7】 计算：
123420

261220420
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】第五届，小数报，初赛
11

111



【解析】 原式


123

20



< br>

420

261220
11111

210


122334452021
111111 1
2101

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21

11111
【巩固】 计算：
200820092010
=。
20112012
70
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试
11111
【解析】 原式
20082009201020112012


366991212151518

1< br>
111111

20105






9

122356

10050
5

54
5

54
【答案】
10050


11224

____。
26153577
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2009年，学而思杯，6年级
1325375117
【解析】原式



26153577
【巩固】 计算：

111111111


2233557711
110


1111
10
【答案】
11

1
1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 分析这 个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
32
2
113
，154
2
135
，……，
19514
2
1 1315
，
1111111
所以原式


 
1335577991111131315
1

11

1

11

1

11
















2

13

2
35

2

1315

1

11

7






2

115

15
7
【答案】
15

19899
【巩固】 计算：

．
26122
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2008年，四中
1

1

1

1

【解析】 原式


1

< br>
1



1





1



2

6
< br>12

9900

11

1

 99






122399100

11

111
99

1




99100

223
1
 
99

1



100

98
1

100

1

100

111
【例 8】




12323 4789
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算


n1< br>


n1

11

11
【解析 】 首先分析出





n1nnn1

n1

n

n1

2
n1

n

n1

2

 


【答案】
98
1

11

11

1

11



1原式






 


2


1223

23 34

6778

7889


1

11





2

1289


35

144
35
【答案】
144

111
【巩固】 计算：




1232349899100
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
9

()
212991
4949
【答案】
19800

1111
【巩固】 计算：




135246357202224
【考点】分数裂项【难度】3 星【题型】计算
1
1111
【解析】 原式＝＋＋…+++…+
13 5
357
192123246202224
1
11111
＝(－)＋(－)
2224
41321234
24
40
652816010465
＝＋＝＋
483
211234
38625
＝
340032
38625
【答案】
340032

4444
【巩固】
......
135357939 597959799
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

133535579395959795979799
113200


1397999603
3200
【答案】
9603

9998971
【巩固】




12323434599100101

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11
991001100100
【解析】 ＝＝－＝－
12312 3123
23
123
23
98100210021001< br> ＝＝－＝－
23423423423423434
9710 0310031001
＝＝－＝－……
3453453453453 4545
11009910099100
1
＝＝－＝－
99100 10199100101991001019910010199100101
10 0101
111
原式
...(...)

1 23234345991001012334100101
1111151

100()()24
221
51
【答案】
24< br>
101

11111
【例 9】
123423453456678978910
【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算
1

111111




【解析】 原式



3

1 232342343457898910

1

1 1

119






3< br>
1238910

2160
119
【答案】
2160

333
【巩固】
......
12 34234517181920
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]
3123234234345171819181920
11319 2011139


1231819201819206840
1139
【答案】
6840

5719
【例 10】 计算：



．
1232348910
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不 相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列每 一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
3234316
原式





1232348910
1128

1

1

3







 2


12323489101232348910< br>
1

111111

11

1< br>3



2




2

1223233489910

910

2334
3

11

11

1111




2

 




2

12910
< br>910

2334

3

11
11

711
23



2







2

290

210

4605
15
也可以直接进 行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以
2n32 32
，再将每一项的与

n

n1


n2

n1n2nn1n2n1n2
 

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． n

n1



n2

【答案 】
23

15

571719


< br>
）
234345891091011
【考点】分数裂项【 难度】3星【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级
571719
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：
．这个算式不同



234345891091011
于我们常见的 分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况 ．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734
，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
【巩固】 计算：
1155
（
571719



< br>234345891091011
2334910

 


23434591011
111111






342445351011 911
11

111

1











34 4510112435911

11

1

1111111111

1111











1011

2

243546810911
3445

11

1

1111

8 1

28

31




< br>







311221
55

31
所以原式
11556 51
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化 方法．由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式为
and
，其中
d为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每一项都< br>变成两个分数，接下来就可以裂项了．
571719




234345891091011
1221321821 92




234345891091 011
122132182192



 
23423434534589108910910119101 1
1111222

2









891091011
 
34459101011

234345
1

111111

11

1111






2



 


2

233434459101011

1011

3445

1

11

11



2




2

231011

311

112234 131

，
1222

所以原式
1155
31
651
．
55
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
571719




23434589 1091011
5

11

7

11

17

11

19

11

 












2

2334

2

3445

2

89910

2

9101011

51111191

75

97

1917




< br>











223

22

34
< br>22

452

91021011

2
51111191




22334459 1021011
5111931


123102205531
所以原式
1155651
．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
a
n

（
n2
，3，……，9） n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651


34512
【巩固】 计算：




124523563467101113 14
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 观察可知原式每一项的分母中 如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先
将每一项的分子、分母都乘以分子中的 数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式





123452345 6345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行 分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
3
2
1 54
，
4
2
264
，
5
2
3 74
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式





1234523 456345671011121314
15426437410 144




1234523456 345671011121314
111

1







111213

2 34345456

4444







1011121314

1234 52345634567
1

111111

 





2

2334 344511121213


111111







10111213111213 14

1234234523453456
1

11

11








2

231213

1234 11121314

11111771111175

 
1221213241112131481112131482111 48308616
75
【答案】
616

12349
【例 11】





223234234 5234

10


【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
12349
【解析】 原式





2232342345 234

10
213141101




223234234

10
1111111
1


222323234234
9234

910
13628799

1
2349103628800
3628799
【答案】
3628800

123456
【例 12】

121231234123451234561234567< br>【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



12123123412345123456123456 7
111111




121212 312312341234567
111


12121234567
15039

1
50405040
5039
【答案】
5040

2399
【巩固】 计算：

.
3!4!100!
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式





1231 234123

100
31411001

 


1231234123

100
111111




121231231 234123

99123

100
111 1


121231002100!
11
【答案 】


2100!

23450



【例 13】
1(12)( 12)(123)(123)(1234)(123

49) (12

50)
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
3
24550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋
13
36
610101512251275
11
11111
11274
＝（< br>
）＋（

）＋（

）＋（）＝

13< br>366101225
12751275
1274
【答案】
1275

234100



【巩固】
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12

99)(12

100)

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
211311

【解析】 ，，……，
1(12)112(1 2)(123)12123
10011

，所以
(12 99)(12100)129912100
1
原式
1

12100
15049

1
50505050
5049
【答案】
5050

2310
1


【巩固】
1
（
12
）
(12)(123)(123

9)(12 3

10)
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
23410
【解析】 原式
1(

)

13366104555
11

11111
1
< br>1




4555

3 36610
1

1

1

1


55
55

1
【答案】
55

111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：
a
2b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()

24 466881010121214
11
()

24466881
1113
()

214214
3
【答案】
14

111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1 
2
)

23454849
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1111311124
【解析】
1
2
(1)(1)
，
1
2
(1)(1)
，……所以，
222 2233333
13244850
15025
原式



22334949
24949
25
【答案】
49

35715
【巩固】 计算：
22

22< br>
22



22

12233478
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 原式

21324387
< br>


1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7
2
8
2
1111111
1
2

2

2
2

2

2

2

2233478
1
63

1
2

64
8
22222222
【答案】
63

64

3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】 计算：
2

2

2



．
22
3151711993119951
【考点】分数裂项【难度】3星【 题型】计算
2

2

2

22
 
1
【解析】 原式


1
2



1
2



1
2
< br>



1


22
31 51711993119951

22

2
997






199 41996

2446
11

1111
997 






24461994199 6

1

997

1
997



997
1996

21996
997
【答案】
997

1996

1
23
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】 计算：
2

2



．
213< br>2
14199
2
1
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
20 3
2
5
2
34
104204344
【解析】
2
，
2

，
2

，……由于
2
，
2
，
2
，
33881515
2133184 115
4444
可见原式
2
2

2
2
2
2


2
2
213141991
1 11

1

2984






13243598100

1

1111111

1964

1

 


2

3243598100

1
 
11
1962

1


299100

199

19632
9900
4751

198
4950
4751
【答案】
198

4950

1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：



．
13355799101
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变 为
2
2
1
，
4
2
1
，
62
1
，……，
100
2
1
，可以发现如果分母都加 上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的 值了．
1

2
2
4
2
6
2
10 0
2




原式


2


4

214
2
16
2
 1100
2
1




1

1111



1
2
1
21
2


1


2
4

2141611001

1

1111


50




4
13355799101



11

11 11111




50

1< br>



4

2

335579 9101



11

1


1
63
50



50

1
12


50
4

2

101< br>

4
101
101
【答案】
12

63

101
56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】 计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】
10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5



【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445 475667
3

1111

212

313

111
















3

4

3366

555
 
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11111

11

11

11

11

11





















【解析】 原式

23303 141

317

717

430

341

431

1111111
1
< br>2

2337434
7

1
【答案】
2

7



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>




【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算


579111315

3
【解析】 原式





71

8
8


61220304256



11 1111

11







7

8

78

8


2334
11

11





788

8

28

211110

【答案】
10


5791113151719
【巩固】 计算：
1


6122
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
11111
1()()()()()()()( )

23344556677889910
113

1

2105
3
【答案】
5

11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111
2452
3

3456
【答案】
3


1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】

122 318191920
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...21736

21912020
19
【答案】
36

20


【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200812007220062 007120081200620061
2
=
(...)(... )

200812007220062007120081200620061< /p>

1220072007
(...)(...)

200812007220062007120081200620061

=
[(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028

111111
【例 17】 计算：






23459899515299
【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算
1

111

111

11

< br>


【解析】 原式















98

3599

515299

24
1

111

11

11

1












2






50

3549

98

24
5254
1

111

111

11< br>


















50

3549

262749

24
1< br>
111

11

1

11
< br>1












2






24

3525

48

50

24

2628
=
1

111

111

1

11




















2424352513142 450

1

111

11

11

11

1












2







12

3511< br>
24

5025

24

1416
1

111

111

11

11



















12

3511

7812

5025

24
1

11

111

1 1

11






< br>
2





24635810 125025

1

111

11
 
111

1





< br>







246354565025

1
1149


502550
【答案】

49

50
24612




335357357911
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
315171131
【解析】 原式





33535735791113
1111

1< br>
1



1






357911

335357 91113

335
【例 18】 计算：
1

1

35791113
135134

135135
135134
【答案】
135135


2
3

122
2
2
8
2
4
2
11







【例 19】 计算：



1335571 719

135357171921

【考点】分数裂项【难 度】5星【题型】计算
2
3
2
4
2
11
2244 2
9
2
9
【解析】



 


13535717192113353557171 91921
2242
8
2
9




13355717191921

2122
8
24 2
8
2
9








所以原式



13351719< br>
13355717191921


2
9
1921

1
13

512133
399

379
399

【答案】
379
399