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六年级数学思维训练——分数裂项
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六年级数学思维训练——分数裂项
可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是
将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的
分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需
复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它
们消去才是最根本的。
1.分数裂差型运算公式：
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
即
ab
，那么有
1111
()

abbaab
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，
ab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)

裂差型特征：
(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是
只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

2.分数裂和型运算公式：
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
ab ab11
（1）



（2）
abababba
abababba

裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵
消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

3.整数裂项运算公式：
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

(2)
123234345...(n2)(n1) n(n2)(n1)n(n1)





1
4
1
3

精典例题1:





11111


123423453456678978910
思路点拨
观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式。

模仿练习


333
......
1:


1234234517181920


精典例题2:





5719

L


1232348910
思路点拨
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子
不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的
等差数列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列 每一项都比其大
3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

571719
（

L

）
模仿练习 2:

1155

234345891091011

34512

L

精典例题3:

12452356346710111314






思路点拨
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可
以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5< br>2
12
2

L

原式


1234523456345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称
性， 可以用平方差公式：
3
2
154
，
4
2
2 64
，
5
2
374
……

12349

L

精典例题4:

2232342345234
L
10






1111

LL


精典例题5:

11212312
L
100







思路点拨
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从
最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求
和运算公式的代入有



1
1
12112

，，……，
(11)1
1212
(12)2
23
22

模仿练习3: < br>23450

L

1(12)(12)(123)( 123)(1234)(123
L
49)(123
L< br>50)





精典例题6:




思路点拨
这题是利用平方差公式进行裂项：< br>a
2
b
2
(ab)(ab)



精典例题








111111


3
2
15
2
17
2
19
2
111
2
113
2
1
1
2
2
2
3
2
50
2
 
L


7:
13355799101
思路点拨
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分
别变 为
2
2
1
，
4
2
1
，
62
1
，……，
100
2
1
，可以发现如果分母都加 上1，那么恰好都是分
子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．

课后练习1
１.




2. 计算：







3．



1111
=_________；

L

1223344950
111


36120
1111
=_________；

L

13355799101
４.求和：






11111

…< br>3343453456345…20
111111
357 911
５.
求和：
1







140

课后练习2
1.





2.




111

……
1232349899100
11 11
=_________

L

1352463 57202224
12349
3.

=_________；

L

2232342345234
L
1 0



4.计算：


11111

11


64

824488
