保剑峰-指导青年教师总结

分数裂项法解分数计算

分数裂项计算


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很
大程度上是发现规律、利用公式的 过程，可以分为观察、
改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，
需要进行适当的 变形，或者先进行一部分运算，使其变
得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精 华部分，列项
与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前
提，是能力的体现，对学生要 求较高。

分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆 分后的项可前后抵消，
这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂
项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单
位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项
的分 子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关
系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般
都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的
相似部分，让它们消去才是最根本的。
1
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
a
形
b
式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，那么有
1

1111
()
abbaab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的
分数，即：
1
n( n1)(n2)
1
，
n(n1)(n
形式的，我们有：
2)(n3)
1111
[]
n(n1)(n2)2n(n1 )(n1)(n2)


1111
[]
n(n1)( n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项 的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂
形式可为都是x(x为 任意自然数)的，但是只要将x提
取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足
相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
ababab
bab11
（1）
a



（2）
abababba
abababba
2222
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目
的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时
还有转化为“分数凑整”型的，以达到 简化目的。

2

【例 1】
1
1 2

1
23

1
34

11
45

56

。




【巩固】
111
1011

1112
. .....
5960





【巩固】 < br>2
109

2
98

L

2< br>54

2
43






【例 2】
111
1

1
12

123

LL

12
L
100




【例 3】
1
13

1
35

11
57

L

99101






【巩固】
计算：
25


1

13

1
35

1
57

L
< br>1

2325








3

2551
【巩固】

L

48812121 62000200420042008




【巩固】
3245671
计算：
2


55771111161622222929




【例 4】
1111111
计算：
(
1
)128

8244888




11111111
【巩固】

6122
_______




【巩固】
1
111111

3610152128





【巩固】
11111111
计算：
1

＝
26122


4

11111
【巩固】

1
。




1111
【例 5】
计算：


L

135357579200120032005




7
&
4.50.16
11

11
【例 6】
18





1
133.75 3.2

3153563

3




1111
计算：
1
1

234L20
261220420




11111
【巩固】
计算：
2008
18
= 。
2009201020112012
54108180270



1224
【巩固】
计算：
1

____。
26153577
【例 7】
5

【巩固】
计

算：
1
3< br>
1
15

1
35

1
63

1
99

1
143

1
195





【巩固】
计算：
19899
2

6

12

20

30
 L
9702

9900

．




【例 8】
111
123

234

L

789





【巩固】
计算：
111
123

234

L

9899100





【巩固】
计算：
1111
135

246

357

L

202224





6

【巩固】
4444
135

357
..... .
939597

959799




【巩固】
99
123

98
234< br>
971
345

L

99100101< br>




【例 9】
1
1234

1
2345

1
3456
 
1
6789

1
78910





【巩固】
333
1234

2345
......
17181920





【例 10】
计算：
5719
123

234

L

8910

．




【巩固】
计算：
1155
（
571719
234

345

L
< br>8910

91011
）




7

34512
计算：
12


L

452356346710111314




12349
【例 11】



L

2232342345234
L
10




123456
【例 12】

1

 
2123123412345123456123456 7




2399
【巩固】
计算：
3!
L
.
4!100!



【巩固】
23450
【例 13】

L

1(12)(12)(123)(12 3)(1234)(123
L
49)(12
L
50 )





234100
【巩固】
 
L

1(12)(12)(123)(123)(123 4)(12
L
99)(12
L
100)




8

【巩固】
12310

L

1
（
12
）
( 12)(123)(123
L
9)(123
L
1 0)





111111
【例 14】 2

2

2

2

2
2

31517191111131
.




【巩固】
11
计算：
(1< br>2
1
)(1
3
1
)(1
4
1
)(1
5
1
)L(1
48
)(1)

49
222222




35715
计算：
1


L

2233478




151711993119951
【巩固】
计算：
3

L

．
3151711993119951




【巩固】
计算：
1
2


3
1

2
3


4
1

3
4


5
1

L

98
99
10 0

．
1

【巩固】
22222 222
22222
22222
22222222
2222
9

【巩固】
计算：
12
2
2
3
2
50
2

L

13355799101
．



56677889910
【例 15】

56677889910





【巩固】
365791113

5


7612203042




32579101119
【巩固】计算：
1


3457820212435





【巩固】



3571220283042




3827
【巩固】



2330123124

10



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>








791113151719
【巩固】
计算：
1
5


6122




11798175
【巩固】


451220153012




122318191920
【例 16】


122318191920


22222222

【巩固】
(......)(..... .)
1200722006200622007120081200622005200 61





【例 17】
11111计算：
2
1

L

L


3459899515299
11

【例 18】
4612
计算：
2

L






【例 19】
计算：





335357357911
12
1 335

2
2
57

L

2
8
1719



2
3

2
4

2
11



135357
L

171921




12