广东东华职业学院-周围环境

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即< br>ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

a
2
b
2
a
2
b
2
ab
abab11
（1）
 


（2）
abababba
ababa bba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目 的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的 。


11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】 原式









L







12

23
56

166
1111
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： ，计算过程就要变为：

13355779
1111

11

1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6

111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】

L


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111


11

7
1111
【解析】 原式
2


L


2





4534


310

15

91089
7
【答案】
15

1111
【例 2】



L L

11212312
L
100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112
代入有

，， ……，

1
(11)1
1212
(12)2< br>23
22
2222120099
原式


< br>LL
2(1)1
1223341001
99
【答 案】
1

101
1111
【例 3】

L


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
例题精讲

0
【解析】

 
L
(1
…

）

1335 5799101
50
【答案】
101

111

1
【巩固】 计算：
25


L




1335572325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级
1

11111

1

1

25 24


25

1


【解析 】 原式
25

1
L

12
< br>2

3352325

2

25

225
【答案】
12


2551
【巩固】


L

48812121620002004200420 08
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛
251

11111< br>



L

【解析】 原式



16

12233450050150 1502

251

1111111




1
L



16< br>
22334501502

25150150121
15< br>
165023232
21
【答案】
15

32

3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11
1
【解析】 原式



2557722929
2
1
【答案】
2

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，101中学
1111
【解析】 原式

（

L

）
128

2446681618
1111111

（L）128

224461618
11

（）64

218
4

28

9
4
【答案】
28

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：

11111111

6122
11111111

23344556677 889910

112
==
2105
2
【答案】
5

111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
1111
【解析】 原式
1


L
1212312341234567
222

L

233478
11

11111

2


L



78

22334

1

1

7

2

1




8

4
7
【答案】
4

111111111
【巩固】 计算：

＝
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
111111111
【解析】 原式
()

22 3344556677889910



1111111
(L)

22334910
111
()

2210
1
10

【答案】

1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



25588 1111141417
1

1111111111






3

25588111114 1417

1

11

5






3

217

34
5
【答案】
34

1111


L
135357579200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【例 5】 计算：
【解析】 原式

1

11

11
11



L

< br>

4

133535572001200320032 005


1

11

100400 3






4

1320 032005

12048045
1004003
【答案】
12048045

7
&
4.50.16
11

11
【例 6】
18






1
133.753.2

3153563

3
【考点】 分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2007年，仁华学校
79161

111
< br>1
18290
【解析】 原式





1
1331.254 0.8

13355779

3
71

46

1


1
1

1
1

1

1



1
233579

1312
3
46318
23
=

24429
36
23
【答案】
36

11111
【例 7】 计算：
1234L20

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第五届，小数报，初赛
11

111

L

【解析】 原式


123
L
20



< br>

420

261220
11111

210
L

122334452021
111111 1
2101L

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21

11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试
11111
【解析】 原式
20082009201020112012


3 66991212151518


1

11111 1


20105


L



9

122356


10050
【答案】
10050


5

54
5

54
11224

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，学而思杯，6年级
1325375117
【解析】原式



26153577
【巩固】 计算：


111111111


2233557711
110


1111

1
【答案】

10

11
1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
32< br>2
113
，
154
2
135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
1

11

1

11

1

11









L





2

13

2

35

2

1315

1

11

7






2

115

15
7
【答案】
15

19899
【巩固】 计算：
L
．
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2008年，四中
1

1
1

1

【解析】 原式


1


1



1


L


1



2

6

12

9900

11

1< br>
99


L



12 2399100

11

111
99

1
L



22399100

1

99

1



100

98
1

100
【答案】
98
1

100

111
【例 8】


L

123234789
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


n1



n1

11

11

【解析 】 首先分析出


n1nnn1

n1
< br>n

n1

2

n1

 n

n1

2



原式

1

11

11

1
11



1



 




L



 


2


1223

233 4

67787889


1

11





2

1289

35

144
【答案】

35

144
111


L

1232349 899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
9

()
212991
4949
【答案】
19800

1111
【巩固】 计算：


L

135246357202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11
111
【解析】 原式＝＋＋…+++…+
135
357
192123
24 6
202224
1
1111
1
＝(－)＋(－)
22 24
41321234
24
40
652816010465
＝＋＝＋
483
211234
38625
＝
340032
38625
【答案】
340032

4444
【巩固】
......
13535793 9597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

1335355793 95959795979799
11
3200



139799
9603
3200
【答案】
9603

9998971
【巩固】


L

12323434599100101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：

11
991001100100
【解析】 ＝＝－＝－ 123123123
23
123
23
98100 210021001
＝＝－＝－
234234234234234 34
97100310031001
＝＝－＝－……
345345 34534534545
11009910099100
1
＝＝－＝ －
99100101991001019910010199100101991 00101
100101
111
原式
...(... )

1232343459910010123341001011111151

100()()24
221
51
【答案】
24

101

11111
【例 9】 < br>
12342345345667897891 0
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 < br>1

111111


L

【解析 】 原式



3

123234234 3457898910

1

11

119< br>





3

1238 910

2160
119
【答案】
2160

333
【巩固】
......
1234234517 181920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]

31232342343 45171819181920
113192011139

 
1231819201819206840
1139
【答案】
6840

5719
【例 10】 计算：

L

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目 ．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公 差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分 子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计 算．
3234316
原式



L
< br>1232348910
1128

1

1
3


L

L

2


123234891012323489 10

1

111111

11

1
3


L
2
L
< br>

2

1223233489910
< br>2334910

3

11

11

1111


2
L

< br>

2

12910

910
< br>2334
3

11

71123

11




2








2

290

21 0
460515

也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项 公式为
2n3
，所以

2n323
，再将每一项的

n

n1



n2
n1



n2

n

n1



n2

3
分别加在一起进行裂项．后面的 过程与前面的方法相同．
n

n1



n 2

2
与

n1



n 2

【答案】
23

15

571719


L

）
234345891091011< br>【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级
571719
【解析】 本题的重点 在于计算括号内的算式：
．这个算式不同

L

2343 45891091011
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而 非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟 悉的形式．
观察可知
523
，
734
，……即每一项的分 子都等于分母中前两个乘数的和，所以
【巩固】 计算：
1155
（
571719


L
< br>234345891091011
2334910

 
L

23434591011
111111




L

342445351011 911
11

111

1



L

L



1011

2435911

3445
11

1

1111111111

1111



L





L



1011

2

243546810911

3445

11

1

1111
< br>81

28

31














311221
55

31
所以原式
115 5651
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯 一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式为
and
，其中
d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每 一项都
变成两个分数，接下来就可以裂项了．
571719


L

234345891091011
1221321 82192


L

234345891 091011
122132182192


L

23423434534589108910910119 1011
111222

1

2



L

L



8910 91011

34459101011

23434 5
1

111111

11

1111



L


2

 
L



2

233434459 101011

1011

3445
1

1 1

11



2



2

231011

311
112234131

，
1222
31
所以原式
1155651
．
55
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：

571719


L

2343 45891091011
5

11

7

11

17

11

19

11




L


2

2334

2

3445
2

89910

2

91010 11

51111191

75

97
1917







< br>


L





223

22

34

22

4 52291021011

51111191


L

223344591021011
5111931


1231022055
31
所以原式
1155651．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
（
n2
，3，……，9）
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651


34512
【巩固】 计算：


L

124523563467101113 14
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以 先
将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

1234523456345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平 方差公式：
3
2
154
，
4
2
264
，
5
2
374
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

123452345634567101112131 4
15426437410144


L

1234523456345671011121314
1 111




L


1112 13

234345456

4444




L


1011121314

123452345634567
1

11 1111




L


2< br>
2334344511121213


111111




L


1011 121311121314

12342345234534 56
1

11

11





2

231213

1 23411121314

1111177111
1175



122121324111213148111 21314821114
8308616
75
【答案】
616

12349
【例 11】


< br>L

2232342345234
L
10
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】 原式



L
2232342345234
L
10
21314110 1


L

223234234
L10

1111111


L
222323234234
L
9234
L
910
13628799

1
234L9103628800
3628799
【答案】
3628800

123456
【例 12】

121231234123451234561234567< br>【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



12123123412345123456123456 7
111111


L

121212 312312341234567
111


12121234567
15039

1
50405040
5039
【答案】
5040

2399
【巩固】 计算：
L
.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



L

1231 234123
L
100
31411001

 
L

1231234123
L
100
111111


L

121231231 234123
L
99123
L
100
11< br>11



12123L100
2100!< br>11
【答案】


2100!

23450
【例 13】

L

1(12)( 12)(123)(123)(1234)(123
L
49) (12
L
50)
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
3
24550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋
13< br>36
610101512251275
11
11111
112 74
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝

13
366101225
12751275
1274
【答案】
1275

234100
【巩固】

L

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12
L
99)(12
L
100)
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
211311
【解析】 ，，……，

1(12)112(12)(123)12123
10 011
，所以

(12L99)(12L100)12L9 912L100
1

1

12L100
15049

1
50505050
5049
【答案】
5050

2310
【巩固】
1
L

1
（
12
）
(12)(123)(123
L
9)(12 3
L
10)
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】 原式
1(
L
)

1336610455511

11111
1

1
L



4555

336610
1

1

1

1




55

55
1
【答案】
55

111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()
< br>24466881010121214
11
() 

24466881
1113
()

214214
3
【答案】
14

111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)L(1
2
)(1 
2
)

23454849
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11113
11124
【解析】
1
2
(1)(1 )
，
1
2
(1)(1)
，……所以，
22222
33333
13244850
15025
原式
 L


22334949
24949
25
【答案】
49

35715
【巩固】 计算：
22

22< br>
22

L

22

12233478
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
2
7
2
【解析 】 原式

22

22

22

L

22

12233478
1111111
1
2

2

2

2

2
L< br>2

2

2233478
1
63

1
2

64
8
原式
1

【答 案】
63

64

3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩 固】 计算：
2

L

．
315
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

22

【解析】 原式


1
2
11< br>L
11


2222

3 1

51

71

19931

19951

22

2

997


L



244619941996
 
11

1111
997


L


244619941996

1

997

1

997


997

1996

21996

997
【答案】
997< br>
1996

1
2
3
2
2
24
2
3
2
5
2
98
2
100< br>2
【巩固】 计算：
2

2

2

L

．
21314199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34104
204344
【解析】
2
，
2

，< br>2

，……由于
2
，
2
，
2
，
2133184115
33
881515
4444
可见 原式
2
2

2
2
2
2

L
2
2
213141991
111

1

2984


L



98 100

132435
1

1111111
< br>1964

1
L


2

3243598100

1

11
1 962

1


299100

199

19632
9900
4751

198
4950
【答案】
198

4751
< br>4950
1
2
2
2
3
2
50
2【巩固】 计算：

L

．
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根 据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
1
，
6
2
1
，……，
100
2
1
，可 以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后 除以4就得到原式的值了．
1

2
2
4
2
62
100
2


L

原式
< br>
2


4

214
2
16< br>2
1100
2
1


1

11 11



1
2
1
2
1
2

L
1


4

21416 1100
2
1

1

1111



50
L



4

1 3355799101


11

1111111




50

1
L



4

2

3355799101





11

1


1
63
50


50

1

12
50

4

2

101


101
101

4
【答案】
12

63

101
56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...( )
56677889910
3
【答案】
10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5



【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3

1111

212

313

111

















3

4

3366

555
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111

11
 
11

11

11

11




















【解析】 原式

23303141

317
< br>717

430

341

431

1111111
1

2

2337434
7
1
【答案】
2

7



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>




【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


579111315
3


71

8
【解析】 原式




8


6122030 4256




111111

11



L


7
< br>8

78

8


2334
1 1

11





788
8

28

211110

【答案】
10


5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
11111
1()()()()()()()( )

23344556677889910
113

1

2105
3
【答案】
5

11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111

2452
3

3456
【答案】
3


1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】

122318191920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...21736

21912020
19
【答案】
36

20


【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200 812007220062007120081200620061
2
=
 (...)(...)

2008120072200620071200 81200620061
1220072007
=
(...)(.. .)

200812007220062007120081200620061

=
[(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028

111111

L

L


23459899515299
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
1

111
< br>111

11
【解析】 原式



L





L





L



98

3599

515299

24
1

111
11

11

1
【解析】



L





L


2


L



50
 
3549

98

24

5254
【 例 17】 计算：
1

111

111

11
【解析】



L





L





L


50

3549

262749< br>
24
1

111

11

1

11

1
【解析】


 
L





L


2




L



24< br>
3525

48

50

24

2628
1

111

111

1

11
【解析】



L





L





L




24

3525

131424

50

24
1

111

1

11

11

11
【解析】



L





L


2


L
< br>


2445025

1

111

111

11

11

【解 析】



L



< br>
L





L




24025

1

111

11

111

1

【解析】








2





246

35
81012

5025
1

111
< br>11

111

1

【解析】 








< br>



246

35

4 56

5025
1149
【解析】
1


502550
49
【答案】
50

24612
【例 18】 计算：

L


335357357911
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
315171131
【解析】 原式



L

3353573579 1113
1111

1

1


L< br>
L

【解析】


1






33535791133535791113

【解析】
1
【解析】

【答案】

135134

135135
1

35791113
135134

135135

2
3

122
2
2
8
2
4
2< br>11

L



L

【例 19】 计算：



1335571719

135357171921

【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
2
3
2
4
2
11
22442
9
2
9
【解析】


L

L

1353571719211 335355717191921
2242
8
2
9
【解析 】


L

13355717191921< br>
2122
8
242
8
2
9


L



L

【解析】 所以原式



13351719

13355 717191921


2
9
1512133379< br>【解析】



192113399399
379
【答案】
399