萝卜回来了-助考

分数的巧算：裂项

知识点分析：
特殊的分数加法试题，难以运用 课本中固有的运算性质及定律进行巧算。它
们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用 到以下两种方法：
①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以
直接运用这些公式使计算简便。
②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一 些分
数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。
例题精讲
例1：
1111

...
122334910分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公
式：
a11
，先裂项，再求和。

n

na

nna
解答：






原式
1111
... 
122334910

1

11

11

11



1









...

< br>

2

23

34

91 0

1
1
10
9

10
注重：必须弄 懂
第一种裂项公
式：
a11

n

na

nna

举一反三①
（1）
1

1

1
...
1

5667782021




（2）
4

4

4
...
4

15599134953




（3）
5

5

5
...
5

2771212174247

1
例2：
1

1

1
...
< br>24466898100
分析：
这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数 ，但这些自然数都相差2.如果想
办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。

解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。








方法二：直接运用另一个裂项公式









原式


222

2
< br>1
原式

...


98100

2

244668
11

1

111111


...


98100

2

244668
491

1002
49

200
方法一：先将分数变形，再
利用第一种裂项公式：
a1 1
进行计算。


n

na

nn a
11

11





< br>n

nd

d

nnd

1< br>
11

1

11

1

11

1

11












...



2

24

2

46

2

68

2

98100

1


11

11

11

1



1













... 




2


24
46

68

98100


149
2100
49

200
方法二：引用第二种裂项公式：
11

11






n

nd

d

nnd

注重公式的由 来！

举一反三②
（1）
1

1

1
...
1

36699123336




（2）
1

1

1
...
1

36699123336




（3）
1

1

1
...
1

1771313193743

例3：
1

1

1

1

1

1
（第二届新起点杯数学竞赛试题）
2612203042
分析 ：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，
再利用 裂项公式即可求出和。
解答：
原式
1

1

1

1

1

1
122334455 667


1

11

11
< br>11

11

11



1























2

23

34

45

56

67


1
1
7

6


7


先将分母变为两个数相乘的形
式，注意要使相乘两数之差相
等，再利用第一 种裂项公式
a11
求和。

n

na

nna
举一反三③
（1）
1

1

1

1
（2）
1

1

1

1
（ 3）
1
1
2
1
3
1
4
1
 5
1
6
1
7
1

72986








例4：
222

...
1232349899100
分 析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三个数的相差数，
运用 裂项公式

解答：







举一反三④
（1）


222

...
34545691011
211

n

n1



n2

n

n1

n1



n2

先裂项，再求和。
1

11

1

1

1

原式





...


1223

2334
< br>989999100

11

211
129910 0
第三种裂项公式：

4545
n

n1



n2

n

n1

n1



n2


9900
通过 代数法先理解公式的推导，再结合题目解题

111（2）
5

5

5

5

5

5
（3）
...
14842
678789484950






111
例5：
1

< br>...
1212312341234..100
分析：观察 发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数
12
列 求和公式

1n

n
求和，那么。所以分母就变成了两个数相乘 的形式，最

2
1234..n

1n
n
后再采用裂项法计算。
解答：







原式
2222
...
233445100101
11

111111
2

...

100101

233445
99
2
202
99

101
运用等差数
列的求 和公式先
将每一个分数变
形，再利用第一种
裂项公式进行计
算。
举一反三⑤
111
（1）
1
1


...
1212312341234..2012




11
（2）
1

1


...
223234234..50





1

1

1

1
1

1

1

1

（3）


1



1



1



1


1



1

...

1



1


2

2

3

3

4

4
99

99


模 拟 练 习
一、初级
1、
1111
2、
1111

......
1011111212135960




3、
1

1

1
...
1

203042132





二、中级
5、
1
1

1

1

1
< br>1

1

642567290110




7、
11

1

1

1

1
1

248163264





三、高级
9、
1
1

7

9

11

13

15
17

19

3122




10、
111

123

234
...

202122


3881313185863
4、
1
3

1
35

1
57
. ..
1

15557
6、
1
2

5
6

11
12

19
20

2 9
30
...
9701
9702

9899
9 900
8、


1

1
24

1
48

1
80

1

120
< br>
64


8

1173
11、
1
< br>1

13135135713579945






234
12、
1
1


...
12123123412345









历 年 小 考 真 题
1、（2008年韶关北中，9题）：
从式子
1

1
< br>1

1

1

1
中去掉（ ），余下的各数和等于1。
24681012
A、
1
和
1
B、
1
和
1
C、
1
和
1
D、
1
和
1

210810812
212

2009
2、（2008年韶关北中， 21题）：
2009

2009

2009
...
24466840164018




3、（2010年韶关统考，17题）：
有两根同样长的木条。从第一根中先用去
余下的

11
，再用去余下 的
44
米；从第二根中先用去
1
4
米，再用去
1
， 两条木条仍然有剩余。比较两根木条剩下部分的长度（ ）
4
B、第二根长 C、两根一样长 D、不能确定 A、第一根长