假日-四年级下册语文试卷

学越辅导—六年级数学思维训练

分数的速算与巧算—裂项
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分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项
可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是
将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的
分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需
复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它
们消去才是最根本的。
1.分数裂差型运算公式：
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
即
ab
1
ab
形式的，这里我们把较小的数写在前面，
，那 么有
1
ab

1
baa
(
1

1
b
)


(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
n(n1)(n 2)
1
n(n1)(n2)
1
n(n1)(n2)(n 3)
，

1
1
n(n1)(n2)(n3)
[
1

1
(n1)(n2)
1
形式的，我们有：
]

1
(n1)(n2)(n3)
2n(n1)
1
[
3n(n1)(n2)
]


裂差型特征：
(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是
只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

2.分数裂和型运算公式：
（1）

裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵
消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

3.整数裂项运算公式：
(1)
122334...(n1)n

1
3
(n1)n(n1)
ab
ab

a
ab

b
ab

1
b

1
a
（2）
a
2
b
2
ab

a
2ab

b
2
ab

a
b

b
a


(n2)(n1)n(n1)
(2)
123234345...(n2)(n1)n




1
1
4

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精典例题1:





1
1234

1
234 5

1
3456

1
6789
1
78910

思路点拨
观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式。

模仿练习1:



3
1234

3
2345
......
3
17181920< br>


精典例题2:




< br>5
123

7
234



19
8910


思路点拨
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子
不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，„„这一公差为2 的
等差数列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列 每一项都比其大
3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

（
模仿练习2:

1155
5
234
7
345



17
8910
19
91011
）










2

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精典例题3:






3
1245

4
2356

5
3467



12< br>10111314

思路点拨
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可
以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式

3
212345

4
2
23456
2
< br>5
2
34567
2



122
1011121314

现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称
性， 可以用平方差公式：
3154
，
4264
，
537 4
„„

2
精典例题4:







精典例题






1
2

2
23

3
23 4

4
2345



9
23 4

10

5:
1
1

1
1 2

1
123



1
12< br>
100


思路点拨
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从
最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求
和运算公式的代入有


3
1
1

1
(11)1
2

2
12
，
1
12

1
(12)2
2

2
23
，„„ ，

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模仿练习3:
21(12)

3
(12)(123)

4
(123)(1234)



50
(123< br>
49)(123

50)





精典例题6:




思路点拨
这题是利用平方差公式进行裂项：
a
2


精典例题







b
2
1
31
2

1
51
2
1
71
2

1
91
2

1
111
2

1
131
2


(ab)(ab)

7:
1
2
13
< br>2
2
35

3
2
57


50
2
99101


思路点拨
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分
别变 为
21
，
41
，
61
，„„，
1001< br>，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分
子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．


22
22
4

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课后练习1
１.




2. 计算：







3．



11111

„
3343453456345 „20
1
13

1
35

1
57



1
99101
1
12

1
23

1
34



1
4950
=_________；
111


36120
=_________；
４. 求和：





357
５. 求和：
1
111
911

140
111







5

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课后练习2
1.





2.



3.




1

8
1
24
1
48
1
80
1
120
1
168

64

224

1
1
2

2
23

3
234

4
23 45



9
234

10
1
135

1
246

1
357



1
202224
11

„„< br>1232349899100
1
=_________
=_________；
4.计算：



6