大连大学招生章程-南京信息职业技术学院分数线

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式 的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形， 或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分 ，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中 的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常 见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一 般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在 前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂 差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为 任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

aba2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

22

11111
【例 1】

。
1223344556


111
【巩固】
......
101111125960




2222
【巩固】


109985443




1111
【例 2】



11212312100
1111
【例 3】


13355799101





111

1
【巩固】 计算：
25





2325

133557




2551
【巩固】

4881212162000200420042008





3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929





例题精讲

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888





11111111
【巩固】

_______
6122





111111
【巩固】
1

3610152128


111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
11111
【巩固】

。
1


1111
【例 5】 计算：

135357579200120032005



7
4.50.16
11

11
18





【例 6】
1
133.753.2

3153563

3




11111
【例 7】 计算：
123420

261220420




11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70



11224
【巩固】 计算：

____。
26153577

1111111
【巩固】 计算：



3195





19899
【巩固】 计算：

．
26122



111
【例 8】

123234789
111
【巩固】 计算：

1232349899100




1111
【巩固】 计算：

135246357202224





4444
【巩固】
......
135357939597959799





9998971
【巩固】

12323434599100101




11111
【例 9】

12 3423453456678978910




333
【巩固】
......
1234234517181920

【例 10】 计算：




57

123234

19

．
8910
【巩固】 计算：
1155（


【巩固】 计算：







57

234345

1719

）
891091011
345

124523563 467

12

10111314
12349
【例 11】



223234234523410





123456
【例 12】

121 231234123451234561234567





2399
【巩固】 计算：

.
3!4!100!





23450
【例 13】

1 (12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1 250)





234100

【巩固】
1(12)(12)(12 3)(123)(1234)(1299)(12100)

2310

 
1（12）(12)(123)(1239)(12310)111111
【例 14】
2

2

2
< br>2

2

2

.
31517191111131




111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)

23454849




35715
【巩固】 计算：
22

22

22

22

12233478




3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】 计算：
2

．
315
2
17
2
11993
2
11995
2
1





1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2< br>98
2
100
2
【巩固】 计算：
2

2

2

．
2
213141991





1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：

．
13355799101





56677889910
【例 15】

56677889910




365791113
【巩固】



57612203042




【巩固】
1

9
【巩固】计算：


3457820212435




【巩固】



3571220283042




3827
【巩固】



2330123124







3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>









5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122




11798175
【巩固】


451220153012




1
2
2
2
2
2
3
2
182
19
2
19
2
20
2
【例 16】

122318191920





【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061

【例 17】 计算：









【例 18】 计算：








11

2345

111
 
98995152

1


99
246

335357

12


357911
122
2

【例 19】 计算：
133557

2
3
2
8
2
4
 


1719

135357

2
11




171921
