感恩节是什么时候-2013福建高考理综

分数裂项法解分数计
算

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分数裂项计算


本讲知识点属于计算大 板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过
程，可以分为观察、改造、运用公式等过 程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当
的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明 了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找
通 项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂 项法.裂项分为
分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇 到
裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关
系 ，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的
话，找到相邻两项 的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
面 ，即
ab
，那么有
1111
()

abbaab
1
形式的，这里我们把较小的数写在前
ab
(2)对于分母上为3个或4个 连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n 2)n(n1)(n2)(n3)
1111
[]

n( n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]
< br>n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n 3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式 可为都是x(x为任意自然数)
的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两
两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

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1

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【例 1】
11111

。
1223344556




111
【巩固】

......
101111125960




22
【巩固】

10998

22


5443




111
【例 2】

112123

1
12100




【例 3】
111

133557

1


99101




11

1

【巩固】
计算：
25


133557

1




2325





251251251
【巩固】

488121216

251251


2000200420042008



【巩固】
计算：
3245671


255771111161622222929




11111111
【例 4】
计算：
()128

8244888



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2

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11111111
【巩固】

_______
6122




【巩固】
1
111111


3610152128




【巩固】
计算：
111111111

＝
26122




11111
【巩固】

。
1




111
【例 5】
计算：

135357579

1

200120032005




7
4.50.16
11

11
18
【例 6】






1
133.753.2

3153563

3



1111
【例 7】
计算：
1234
261220
20
1

420




【巩固】
计算：
2008
11111
= 。
2009201020112012
70



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3

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【巩固】
计算：
11224

____。
26153577




1111111
【巩固】
计算：



3195




【巩固】
计算：< br>15111929

26122030

97019899< br>
．
97029900




【例 8】
11

123234

1

789




【巩固】
计算：
11

123234

1

9899100




【巩固】
计算：< br>111

135246357

1

202224





4444
【巩固】

......
135357939597959799



999897
【巩固】

123234345

1

99100101




【例 9】
11111


12342345345 6678978910


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4

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333
【巩固】

......
1234234517181920




【例 10】
计算：
57

1 23234

19

．
8910




【巩固】
计算：
1155（
57

234345

1719

）
891091011




【巩固】
计算：
345

124523563 467

12

10111314




1234
【例 11】

223234 2345

9
23410





【例 12】

123456


1 21231234123451234561234567




【巩固】
计算：
23

3!4!

99

.
100!



234
【例 13】
 
1(12)(12)(123)(123)(1234)

(123
50
49)(1250)





234
【巩固】

1(12)(12) (123)(123)(1234)
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5

(12
100
99)(12100)

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【巩固】
1 
23

1（12）(12)(123)

(12 3
10
9)(12310)





111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131




【巩固】
计算：
(1
1111
)(1)(1)(1 )
2
2
3
2
4
2
5
2
(1
11
)(1)

22
4849




【巩固】
计算：
357

2 22222
122334

15

22
78




3
2
15
2
17
2
1
【巩固】 < br>计算：
2

2

2

315171< br>1993
2
11995
2
1

．
1993
2
11995
2
1




1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
【巩固】
计算：
2

2

213
2
141
98
2
10 0
2

．
99
2
1




1
2
2
2
3
2
【巩固】
计算：

133557
50
2

．
99101



56677889910
【例 15】


56677889910




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365791113
【巩固】



57612203042




【巩固】计算：






【巩固】



357122028304 2
1
3
3
4
2
5
5
7
7
8
9101119


20212435




3827
【巩固】



2330123124






3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>








5791113151719
【巩固】
计算：
1

6122




11798175
【巩固】


451220153012




1
2
2
2
2
2
3
2
182
19
2
19
2
20
2
【例 16】


122318191920



【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061



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【例 17】
计算：
11
 
2345

111

98995152
1


99




【例 18】
计算：
246

335357

12


357911




122
2

【例 19】
计算：
133557

2
3
2
8
2
4
 


1719

135357

2
11




171921






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