致自己-感谢作文

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即< br>ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

a
2
b
2
a
2
b
2
ab
abab11
（1）
 


（2）
abababba
ababa bba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目 的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的 。


11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】 原式














12

23

56

166
1111
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为 ：

13355779
1111

11
< br>1





．
13355 779

19

2
5
【答案】

6

111
【巩固】

......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】

12

2222
【巩固】


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2



2< br>




4534

91089

310

15
7
【答案】

15

1111
【例 2】



11212312100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112

代入有

，，……，
1
(11)1
1212
(12)2< br>23
22
2222120099
原式


 2(1)1
1223341001
99
【答案】
1

101
例题精讲

1111


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】
(1…）
1 3355799101
50
【答案】

101

【例 3】
111

1
【巩固】 计算：
25





2325

133557
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
1

11111

1

1

2524
【解析】 原式
25

1

25

1


12

2

33523 25

2

25

225
【答案】
12< br>

2551
【巩固】

4881212 162000200420042008
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
251

11111

【解析】 原式





16

12 2334500501501502

251

1111111



1


16

22334501502

25150150121
15

165023232
21
【答案】
15

32

3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1
【答案】

2

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】101中学
1111
【解析】 原式
（）128

2446681618
1111111

（）128

224461618
11

（）64

218
4

28

9
4
【答案】
28

9

11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
11111111


6122
11111111

233445566 77889910

112
==
2105
2
【答案】

5

111111


3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
1111
【解析】 原式
1


1212312341234567
【巩固】
1
222


233478
11

11111

2




78

22334

1

1

7

2

1




8

4
7
【答案】

4

111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
111111111
【解析】 原式
()

2233445566778899 10



【答案】

11111
(
22334
111
()

2210
1
10


11
)

910
1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



255881111141417
1< br>
1111111111






3

255881111141417


1

11

5






3

217

34
5
【答案】

34

1111


13535757 9200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【例 5】 计算：
【解析】 原式

1

11

11



4

13353557


11









2001200320032005


1

11

1004003






4

1320032005

12048045
1004003
【答案】

12048045

7
4.50.16
11

11
18
【例 6】






1133.753.2

3153563

3
【考点】分数裂 项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
79161

111

1
18290
【解析 】 原式





1
133557 79

1331.2540.8
3
71

46

1


1
1

1

1

1

1




1
233579

1312
3
4631823
 =

2442936
23
【答案】

36

11111
【例 7】 计算：
123420

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
11

111

【解析】 原式


12320






420

261220
11111

210 
122334452021
1111111
2101 

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21



11111
= 。
2009201020112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，1试
11111
【解析】 原式
20082009201020112012


3 66991212151518
1

111111


20105




9

122356

5

10050

54
【巩固】 计算：
2008
【答案】
10050


5

54
11224

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级
1325375117
【解析】原式



26153577
【巩固】 计算：


111111111


2233557711
110


1111

1
【答案】

10

11
1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
32< br>2
113
，
154
2
135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
1

11

1

11

1

11













2

13

2

35

2

1315

1

11

7






2

115

15
7
【答案】

15

19899
【巩固】 计算：

．
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】四中
1

1

1

1

【解析】 原式


1



1



1



1


26129900

11

1

99




9910 0

1223
11

111
99
< br>1


99100

223

< br>1

99

1


100

98
【答案】
98
1

100
1

100

111
【例 8】

123234789
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


n1



n1

11

11



【解析】 首先分析出


n1nnn1

n 1

n

n1

2

n1
n

n1

2


 

原式

1

11

11







2


1223

2334

1

11


1







6778

7889


1
11





2

1 289


35

144
【答案】

35

144
111


1232349899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
9

()
212991
4949
【答案】

19800

1111
【巩固】 计算：

135246357202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式＝＋＋…+++…+

13535719212324620222 4
1111
1
1
＝(－)＋(－)
41321234
24
2224
40
652816010465
＝＋＝＋

483
211234
38625
＝

340032
38625
【答案】

340032

4444
【巩固】
......
13535793 9597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

133535579395959795979799
113200


1397999603
【巩固】 计算：

3200

9603

9998971
【巩固】

12323434599100101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
99100110011001
【解析】 ＝＝－＝－

12312 31232312323
98100210021001
＝＝－＝－

23423423423423434
9710 0310031001
＝＝－＝－……
3453453453453 4545
110099100991001
＝＝－＝－

9910 0101991001019910010199100101991001011001 01
111
原式
...(...)

123 234345991001012334100101
1111151
< br>100()()24
221
51
【答案】
24

101

11111
【例 9】

1 23423453456678978910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1

111111

【解析】 原式





3

12 32342343457898910

1

11< br>
119






3

1238910

2160
119
【答案】

2160

333
【巩固】
......
12 34234517181920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]

31232342343 45171819181920
113192011139

 
1231819201819206840
1139
【答案】

6840

5719
【例 10】 计算：

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那 么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2 ．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的 分子都分成3与另一个的和再进行计算．
3234316
原式

< br>
1232348910
1128

1

1

3

2


8910

8910

123234

123234
【答案】

1

111111

11

1
3


< br>2


2

1223233489910

2334910

3

11

11

1111


2



2

12910

910

2 334
3

11

71123

11
< br>




2







2

290

460515< br>
210

也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公 式为
2n3
，所以
2n3232
，再将每一项的与

n

n1



n2

n1< br>


n2

n

n1
< br>

n2

n1



n 2

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

【答案】
23

15

571719

）
234345891091011
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
571719
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同

234345891091011
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的 分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的 变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
【巩固】 计算：
1155（
571719


234345 891091011
2334910


23434591011
111111




342445351011911
1 1

111

1





1011

2435911

34 45
11

1

1111111111

11 11






 


1011

2

24354681091 1

3445

11

1

1111< br>
81

28

31















311

2

210311
< br>332

533

55
31
所以原式
11 55651
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是 唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式为
and
，其中d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开， 每一项都
变成两个分数，接下来就可以裂项了．
571719

< br>234345891091011
122132182192


234345891091011
1221 32182192


2342343453 45891089109101191011
111222

1

2





891091011

34459101011

2 34345
1

111111

11

1 111




2

 


2

233434459101011

1011

3445

1

11

11





2




2

231011

311

112234131

，
1222
31
所以原式
1155651
．
55
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
571719


234345891091011
5

11

7

11

17
11

19

11






2

2334
2

3445

2

89910< br>
2

9101011


51111191< br>
75

97

1917















223

22

34
22

452291021011

5111119 1


223344591021011
5111 931


1231022055
31
所以原式
 1155651
．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
（
n2
，3，……，9）
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651



34512

 
12452356346710111314
【考点】分数裂 项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知 原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先
将每一项的分子、 分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



123452345 6345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行 分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
3
2
1 54
，
4
2
264
，
5
2
3 74
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



123452345634 5671011121314
15426437410144


1234523456345671011121 314
111

1




< br>111213

234345456

4444< br>




1011121314

123452345634567
1

111 111





2

2 334344511121213


111111





1011121311121314

1234234523453456
1

1 1

11






 

2

231213

12341112 1314

11111771111175


122121324111213148111213148211148308 616
【巩固】 计算：

75

616

12349
【例 11】



223234234523410
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】 原式



223234234523410< br>213141101


22323423410
1111111

1
2223232342349234910
13 628799

1
2349103628800
362879 9
【答案】

3628800

123456
【例 12】

121231234123451234561 234567
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



121231234123451234561 234567
111111


121212 312312341234567
111


12121234567
15039

1
50405040
5039
【答案】

5040

2399
【巩固】 计算：

.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



123123412 3100
31411001


1231234123100
111111
< br>
12123123123412399123 100
1111


121231002100!
11
【答案】


2100!

23450

【例 13】
1(12)(12)(12 3)(123)(1234)(12349)(1250)
【考点】分 数裂项 【难度】3星 【题型】计算
234550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋

133661010 1512251275
1
1
11111
11274
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝


366 101225
12751
3
1275
【答案】

127 4

1275

234100
【巩固】

1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(1 2
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
211311
【解析】 ，，……，

1(12)112(1 2)(123)12123
10011
，所以

(12 99)(12100)129912100
1
原式
1< br>
12100
15049

1
50505050
5049
【答案】

5050

2310
【巩固】
1
1（12 ）(12)(123)(1239)(12310)
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】 原式
1()

13366104555
11
 
11111
1

1


4555

336610
1

1

< br>1

1


55
55

1
【答案】

55

111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()
< br>24466881010121214
11
() 

24466881
1113
()

214214
3
【答案】

14

111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)

23454849
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111311124
【解析】 1
2
(1)(1)
，
1
2
(1) (1)
，……所以，
2222233333
25
原式



2233494924949
【答案】
100)

【答案】

25

49
35715


1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7
2
8
2
【考点】 分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
32
8
2
7
2
【解析】 原式

22

22

22

22

1223347 8
1111111
1
2

2

2
< br>2

2

2

2

2233478
163

1
2

864
63
【答案】

64

【巩固】 计算：
3
2
15
2
 17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固 】 计算：
2

．
315
2
17
2
11993
2
11995
2
1【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

22

【解析 】 原式


1
2
1



1
2



1
2



1


22
3151711993119951< br>
22

2

997



19941996

2446
11

1111
997



19941996

2446
1

997

1

997



997
21996
1996

997
【答案】
997

1996

1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】 计算：
2

2

2

．
21314199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34104204344
【解析】
2
，
2

，
2

，……由于
2
，
2
，
2
， < br>2133184115
33881515
4444
可见原式
2
2

2
2
2
2
2
2
2 13141991
111

1

2984




13243598100

1
1111111

1964

1< br>

2

3243598100

1
< br>11
1962

1



299100

199

19632
9900
4751

198
4950
4751
【答案】
198

4950

1
2
2
2
3
2
【巩固】 计算：

133557
50
2

．
99101

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根 据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
1
，
6
2
1
，……，
100
2
1
，可 以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后 除以4就得到原式的值了．
1

2
2
4
2
62
100
2


2

2

原式


2


4

21416 1100
2
1





1

111


1
2
1
2
1
2

4

214161
1

111


50
4

133557

 1
1



100
2
1

1



99101


11





99101



11

11111


50

1
4

2
< br>33557
11

1


15063
< br>
50

1

5012

4< br>
2

101


101101

4
【答案】
12

63

101
56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】

10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5



【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3

1111

212

313

111

















3

4

3366

555
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111

11
 
11

11

11

11
【解析】 原式






< br>








< br>



23303141

317
< br>717

430

341

431

1111111
1

2

2337434
7
1
【答案】
2

7



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>




【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


579111315
3


71

8

【解析】 原式




8

61220304256



111111

11





7

8
78

8


2334
11
< br>11





788

8

28

211110

【答案】
10


5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
11111
1()()()()()()()( )

23344556677889910
113

1

2105
3
【答案】

5

11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111

2452
3

3456
【答案】
3


1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】


122318191920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...

21736
2191202 0
19
【答案】
36

20

【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200 812007220062007120081200620061
2
=
 (...)(...)

2008120072200620071200 81200620061
1220072007
=
(...)(.. .)

200812007220062007120081200620061

=
[(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】

2015028

111111
【例 17】 计算：


23459899515299
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
1

111

111

11


【解析】 原式











98

3599

515299

24
1

111

11

11

1


2



【解析】


< br>



50

3549

98

24

5254

11
【解析】




24

11
【解析】




24

11
【解析】




24

11
【解析】




24




1

11




50

35
1

11




24
 
35
1

11




24

35
1

11



< br>12

35




1
11





49

2627< br>
1



49


1

1



48

50
1

1

1
2

25

2628
1

11




25

1314
1

11
2


11

1416

1

1



24

50

1

11



24

5025
1

111
 
111

11

11







【解析】








12
3511

7812

5025

24
1

111

11

111

1

【解析】








2






246

35

81012

5025
1

111

11

111

1< br>
【解析】














246
35

456

5025
1149
【解 析】
1


502550
49
【答案】

50

24612
【例 18】 计算：


335357357911
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
315171131
【解析】 原式



33535735791113