东莞市东华高级中学-健康祝福语

初中数学解题研究：
裂项求和问题（分数类）
难道者：四川崇州 平生曜曜

摘要：
本文由浅入深介绍了初中数学中一些特殊分数串求和的
个例，由最初 的非裂项归纳手段逐渐过渡到后期的裂项式高效手段，
并在本文所议范围内总结了裂项求和的右脑记忆诗 。文中涉及了数学
解题的部分规律，如数学思想、思维策略等，还模拟了一场教学启发
的理想化 进程。最后笔者把数学母题比作一颗星舍，解题就好比是在
房舍里整理物饰，有时我们会触碰到一些窗户 ，于里外窥，会洞见星
野，星夜灿烂，牵引导航。文末的最后一道思考题为笔者偶开了一扇
视窗 ，深为动情，随饮醉吟唱，为觅知音，抛砖引玉，不知几何！

关键词：
单独形式， 申述，归纳，转化，旧模式，新环境，做
题不能白做，过程与结论，窥望

备注：< br>文本中没有明显标记行文脉络，请留意“问题（一）”
至“问题（七）”的字眼即可！

正文
“裂项求和”这个概念所指代的是一种专门针对“某类题”的解
题方法，自从此 法被命名为“裂项求和”而被考生广而所知以后，他
们便开始以这种高效而冰冷的手法偶逢时机地收割分 数。
中、高考分数是进入名校的敲门砖，大气文凭是进入理想行业的

1

敲门砖，足见提高考分是考生的迫切需要，是家长的迫切期待。提高
考分总是主管部门难 以释怀的心理情愫，更是达官草民观想教学有效
性的无情准则。
面对数学考卷上百分之七十到 八十的中、低档考题，考生若不能
快速而准确地作答，就已经在时间的掌控上沦为弱者，要想在更短的< br>时间内抓获难题分数，若用痴人说梦形之有过，那用力不从心形之可
否？
裂项求和当属 那百分之二十到三十的难题一类，考生在考场若有
幸重逢，且能速速斩之，足足可叹三生有幸。但命题者 岂能如此鲁莽
让吾等轻易得成？如果裂项求和是初中教材上的基本技能，那么将之
设成中考题的 概率极高，但若不是，那么命题者偶却将之铺于考卷之
上时，意欲又作何为？是想检验考生的运气吗？你 看，这个考生恰好
掌握了裂项求和的技能，他一下就把分数抓稳当了！这能是命题者的
意图吗？ 真若如此，把烫手类分数全寄挂在考生的运气上，试问这样
的考试何以有公平性可言？所以目前中考若选 用裂项求和作为考题，
那它一定不会以如下外貌形式单独出现在考生眼前：
单独形式（1）：求

单独形式（2）：求

单独形式（3）：求


2
1111



的值.
12233499 100
1111



的值.
122334 n

n1

1111



的值 .
10111112121399100

单独形式（4）：求

单独形式（5）：求

单独形式（6）：求

单独形式（7）：求

1111



的值.
1012121414 1698100
3333



的值.
10 121214141698100
5555



的值 .
10131316161997100
11111



的值.
101211131214131598100
以上7 个外貌形式，（1）、（2）当属一类，（3）可勉强自成一类，
（4）、（5）、（6）实属一类，（ 7）必单成一类。但这四种类型都指向
裂项求和某一具体题型，都有相应的技能策略能有效破之。如果这 种
“非教材基本技能”的试题以“上述外貌之凶相”公诸于考场，那么
不免有人运气极佳，当然 见好就收，随之感叹题海游泳真是靠谱；而
有人迷雾重重，自然无能为力，却要吐槽考试就像打打酱油； 但有人
迷雾渐散，然则力不从心，必然悲叹考试时短无不痛苦。这公平吗？
个中理由种种：有的 老师讲过，有的老师还未讲过；有的老师粗略讲
过，有的老师细致讲过；有的考生练过，有的考生还未练 过；有的考
生练得一头雾水，主动遗忘；有的考生练得似是而非，难辨真伪；有
的考生练得洞若 观火，修成条件反射；有的考生练致明心有悟，修成
思维之术。如果考生凭借“条件反射”而抓到分数， 那么这是数学教
学的成效，让我们去畅游题海吧！如果考生凭借“思维之术”而挣到
分数，那么 这是数学教育的功效，让我们去研究解题吧！

3

教学卓有成效， 这是敲门砖，它能让人跨进长足发展的平台，教
育欲求功效，这不是闭门羹，这是手拽庭院敲门砖，腰束 厅堂金钥匙。
追寻数学教学与数学教育的平衡地带是笔者呈现弊文之初衷，诸亲且
容我昏眼欲见 明晰，拙手胡作细微，抛砖引玉一盘，只期奇文共赏。

命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成 ？还是回归这个问题继续
行文，如果命题者欲命制裂项求和的中考题，那么他必然还要在题干
上 雕花树叶，叶儿易在解题思路上给考生铺路，花儿能在解题思维上
让考生明悟。说白了就是要将裂项求和 问题以“阅读理解”的外貌呈
现，然后设立问题串，让考生逐一解答，有难易梯度，层层推进。这
样考生即使抓不到满分，也可以尽量多挣分，命题者意在关键处考查
考生识别变式的能力，触摸考生的 阅读领悟的能力，以及能否恰逢时
机地重组与调配新旧知识的能力，这明明就是在品酒数学教育，翁之< br>意不在布局分数，在乎思维导航引领之间也，足见命题用心可谓良苦。
废话少说，上题来，先踩 踏那些单独形式，让我们去历经一个跌
宕起伏的火热过程探索，去捕捉一些高效简练的冰冷数学结论。请 有
空闲之读者徐徐推进问题（一）至问题（七）的探程：
问题（一）：求
1111



的值.
1 2233499100
〈申述1〉：假设学生能识别出这种裂项题型，并熟练掌握了裂
项技能，那么他自然能快速作答.

解：原式


< br>








< br>



111

12

2< br>11
3

3
1
4

11
11









9899

99100


4

1

100
99


100
1

〈申述2〉：假设学生对裂项求和的大名，以及对类似于裂项 求
和的操作手法，闻所未闻，更假设这是学生自己臆造的一道题，那么
他自然不会肯定此题应有 简便方法，甚至他压根就不会去探索此题有
无所谓简便方法。他充其量大致去观想一下，哦！原式可化为 ：
11111

，然后利用通分绝对可以做出来，接下来
26 1297029900
他会自嘲道：“谁会闲着没事去思考这个毫无价值而又不着边际的问
题， 我承认这个问题是有结果，但这与没有结果难道会有分别吗？”

〈申述3〉：假设这是一道 考试题，且假设此考生对裂项求和闻
所未闻，又假设此考生是一个爱动脑筋，且又知道“怎样去动脑筋”
的人，最后还必须针对考试策略问题补充一个假设，即该考生把卷子
上的其它题都做好了，他目 前正为此题烧脑，有强烈的挣分决心！

那么，这个聪明的娃儿会怎样去想呢？或者说平时遇 到这道题，
他的老师该怎样引导他去探索呢？
对了！当我们在思考“复杂的大数字”问题，亦 或是“抽象的字
母”问题时，如果我们感到一头雾水，不明就里，那么我们可以先借
助一些“具 体而简单”的数字来充当我们的“助探”，即所谓投石问
路。等悟出了个中玄机，我们再回首处置，才显 游刃有余，此恰迎合

5

见机行事一说，可谓不见玄机，不去莽撞。
站在思维方式策略的角度来看，这是暂弃“一般性”，先究“特
殊性”。

〈探索〉：我们暂时抛弃原题，先来探究一些简单的复杂“辅助题”：
1
？

12
1
答：

；
2
11
？
②、求
1223
112

； 答：

2233
111
？
③、求
122334
213

； 答：

3344
①、求
如果还未见个中玄机，我们可以再多投几个石头，直到前路明朗！
1111
？

12233445
314

； 答：

4455
④、求
„„
当序列号为“n”时，容易归纳出其中规律，回归“一般性”：
1111n


结论（一）

12233 4n

n1

n1
现在考生可以开始解题作答：
1111



的值.
12233499100
99
解：原式


991
99
此过程让人觉得太突然，可能影响得分！

100
求


6

充其量，像这样来弥补：
解：∵
∴

笔者按：但如果认为“问题（一）”到此已宣告解决，那未必然！
且继续往下看：

问题（二）：求
1111



的值.
10111112121399100
1111n




122334n

n1

n1
111199


但似乎还是有点令人担忧！

12 233499100100
〈申述1〉：假设甲考生参与了“问题（一）”的听讲，并且他“自< br>认为记住”了下列结论：
1111n



122334n

n1

n1
再假设他还没有跨越“ 简单模仿”，不会顺利应对“变式训练”，那么
他可能产生以下思维：
（错解一）
99

991
99
此思维停留在简单的外表模仿上！

100
1111



求
的值.
10111112121399100
解：原式

（错解二）
解：原式

90

901
90
此思维见到了“旧模式”与“新环境”的一部分差异！

91


7

〈申述2〉：假设乙考生同样经历了“ 问题（一）”之火热而丰富
的思维过程，并且“安全地记住”了我们归纳出的以下这个冰冷而美
丽的数学结论：
1111n




122 334n

n1

n1
那么这个乙考生自然就会识别出“问题 （一）”与“问题（二）”的“起
点”是不同的，他知道记忆中的“旧模式”不能照搬运用到当下遭遇< br>的“新环境”中。但乙考生在“问题（一）”之火热而丰富的思维过
程中学到了一些思维的伎俩， 即：暂时放置一般，先去探究特殊，而
后再从特殊现象去归纳一般规律。于是乙考生先开始这样探索一些 辅
助题：
1
①、当
n10
时，
1011

1

110

11

10111112
11

②、当
n11
时，
110132
；
11

660
1

60


8

111

101111121213
11
 
③、当
n12
时，
60156

18

780
3

130

1111
1011111212131314
31

13018 2
④、当
n13
时，
26


910
1
有点难
35
答案与
n
的取值有怎样的关系？回答是：杂乱无章！ 再投一个石
头看看，如果情况不妙，就果断放弃！
11111

10 111112121313141415
11

⑤、当
n14
时，
35210

7

210
1

30
果然规律很不明朗，看来再投更多的石头也击不出“心灵的水
花”，算了撤飘走人！

笔者按：此情此景，乙考生走得机智！但如此白忙一场，可惜啊！
其中有功有过，忙 这一场是有功，这是他思维开始趋向成熟的表现，
相比那些根本不知道“还可以像这样”来忙一场的解题 者来说，乙类

9

考生已经胜了一筹，他毕竟道心坚毅且有章法；只 不过白忙了一场算
是有过，或者说没有“更进一步”去分析数据才是他之过失。他其实
已经离答 案不远了，只不过因缺少一些“分析技巧”而显得无可奈何
罢了。从这个层面来讲，教师的存在确实是有 必要的！教师需再对“乙
类考生”的思维作引导确实不是一件可有可无的事情。现在让我们
1
；
110
1
当n11时，辅助题；
60
3
当n 12时，辅助题；
把数据凑拢一堆：
130

1
当n13时， 辅助题；
35
1
当n14时，辅助题；
30
列表（< br>1
）
当n10时，辅助题

我们仔细审视也难以发现什么规律，但可以适当“微调”上述结
果：
13
 ；
110330
13
当n11时，辅助题；
60180
3当n12时，辅助题；
把数据微调一下：
130
13
当n13时 ，辅助题；
35105
13
当n14时，辅助题；
3090
列表（
2
）
当n10时，辅助题
如此微调就出现了一 个契机，规律在哪儿？分子都是
3
，但分母
与
n
取值的联系实属难以 观察。如果考生已接受过“函数思想”的教

10

育，那么让他凭借 “待定系数法”去“观想、轮换、验证”分母与
n
之间的函数关系，这就不失为寻得了一丝可以 渗入内里的隙缝，当然
此路之艰辛也可想而知。
在列表（一）中，辅助题答案的分子、分母皆 在变化，我们可以
通过微调手段，先让这二者中只有一者处于变化状态。这正如物理学
研究中的 那种惯常的手法，为了搞清一种尚不明晰的函数关系，假设
我们已经弄清这个关系与某
n
个物理量有关，但因在探究过程中这
n
个物理量的取值都处于变化状态，便让人更难以捉摸这 个“复杂”的
函数关系。这时我们可以先控制住其中的“
n
-1”个物理量，让它们< br>乖乖地维持不变状态，再任由“第
n
个”物理量自由变化，那么这个
复杂的函数 关系便会逐渐明朗起来，以至最后它会成为我们探索其它
领域的“星舰”，列表（二）便是在这样的“念 头”下应运而生的。
从另一方面来说，任何人都可以认真去回味，在乙考生“通分”探索
的过程 中，有一“结构”始终交织在运算数据中，这种结构就是：
n

n1
，其中
n
的取值当然在变，但这种“结构关系”却是定格不变
的，懂得“通项公式 ”的考生是极容易嗅出其中气味的。现下我们有
了一个好念头，至于它是否能帮助我们成就大事，搞一下 不就知道了！
我们借助微调手段让“乙考生辅助题”中的每一个分母都定格为
“
n
n1

”形式，那么列表（三）便出现在我们的视野之中：

11

11
；
1101011
12.2
当n11时，辅助题；
601112
33.6
当n12时，辅助题；< br>控制变元之后的数据：
1301213

15.2
当n13时，辅 助题；
351314
17
当n14时，辅助题；
301415
列表（
3
）
当n10时，辅助题

列 表（3）中，分母的规律当然是：
n

n1

，分子的规律明显了
吗？如果仍觉不太明显，那么我们改变分子的形式，继续给出列表
（4）：
11；
1101011
12.211.2
当n11时，辅助题；
6011121112
33.611.21.4
当n12时，辅助题；
13012131213
15.211.21.41.6
当n13 时，辅助题；
3513141314
1711.21.41.61.8当n14时，辅助题
3014151415
列表（4
）
当n10时，辅助题

从列表（4）可以归纳出，当
nn
时，
辅助题
11.21 .41.61.8

？？
，再改变分子的形式，

n

n1

结果就会更明朗一些！
辅助题
0.250.2 60.27

？？
，
n

n1

??处应该是0.2的多少倍？我们考究一、两个

细微之处，便可了然于心！

12

辅助题
0.250.260.27< br>
0.2

n5


n

n 1

1
5
其中的分子


5

n5



n54


2
辅助题最终结果


n9

10

n1

经历了如此坎坷的心路历程，我们终于可以帮助乙考生完成
他的解答：

问题（二）：求
解：∵
∴

〈申述3〉：假设教师在引导丙类考生解决 “问题（一）”时，
同样经历了火热而细腻的“归 纳”过程，并且学生也“准确地记住”
了这个冰冷而美丽的数学结论：
1111n


结论（一）

12233 4n

n1

n1
这可作为一个厚有价值的结论！
1 111



的值
10111112121399 100
1111n9




101111 121213n

n1

10

n1
11119999




10111112 12139910010

991

100
以上假设决定了， 丙考生不会去犯“甲类考生”的错误，但他们在毫
无办法的情况下，非常容易去步“乙类考生之高运算、 高技巧”的后
尘。此时我们再假设丙类考生比较明智地放弃了乙考生的思路，不愿

13

去归纳如下结论：
1111n9


结论（二）

1011 11121213n

n1

10

n1

实际上，这确实是一个鲜有价值的结论！

那么在教师和丙同学之间可以有一场“理想化”对话：
问题（二）：求

师：

这道题可以直接用“结论（一）”来处理，对吧？
生：

不对！好像不可以！

师：

咦！怎么会不可以呢？
生：

在结论（一）这个“ 旧模式”中，分母的起点是“
12
”，但
在问题（二）这个“新环境”中，分母的起 点却是“
1011
”，所以不
能直接用来解决此题！

师：

那，你说怎样去处理呢？
生：

呃„„步乙同学的后尘！从特殊去归纳一般吧！

师：

呃„„别耍无赖！我们不是早说好的不行乙同学的无奈之举
吗？
生：

那我不知道咋办了！


14
1111



的值
1011111212 1399100

师：

你记得结论（一）吗？
生：

记得！

师：

我再问，你确定你准确地记得结论（一）吗？
生：

（笑了），我再答，我确定我准确地记得！

师：

看看这道题，你会做吗？
助探题

（Ⅰ）：
求
1111



的值.
12233 45051
生：

（一晃眼，便回答），我当然会做，闭上眼睛也会！
这个题与记忆中的结论（一）相比，没有本质上的区别！

师：

也就是说，此妖难逃尊驾法眼？
生：

嘿嘿！尊驾，过奖了！

师：

看看这道题，你会做吗？
助探题

（Ⅱ）：
求
1111



的值.
151616 1717185051
生：

（细细审查一番），我自然同样不会！如果此题我 会做，我们
还
哪用得着如此废话连篇？


15

师：

劳烦阁下再看看这道题，会做吗？
助探题

（Ⅲ）：
求
1111



的值.
101111 1212135051
生：

„„（苦笑，但略有思索）

师：

那么尊驾再欣赏下此题呢？
助探题

（Ⅳ）：
求
1111



的值.
56677 85051
生：

„„（眉宇紧锁，拳头紧了又松，松了又紧）



师：

呵呵！让在下充当你的书童，帮你把草稿收拢一堆，请君过目：
①、求
1111



的值.
1223345051
你已确定自己会做！

②、求
1111



的值
1516161717185051
你曾理直气壮地认定自己不会做！

③、求
1111



的值.
1011 111212135051
此题与上一题没有分别！你仍不会做吗？
但你可以看到它发 生了什么变化？

④、求
1111



的值.
566 7785051
此题与上一题又存在本质的分别吗？
你会继续如此草率地认为自己不会做 吗？


16

⑤、„„？？？
如果要在这里补充一题出来，它会是什么样子？

生：

„„对啊！它们越来越近了！老师！我好像会做了！

„„ 对了！对话可以就此结束。教师此时有话，也尽量憋着不说。等
那类丙同学先去做做问题（二），回头再 说不迟！
问题（二）：求

丙类同学的书写：
解：∵
1111n




1223 34n

n1

n1
1111

< br>
的值
10111112121399100
111
1

原式






12233499100

∴
111

1






122334910


9999


99191100

师：

你的解法非常干练，真精彩！我忍不住须要采访你一下！在解
法的探索过程中， 你曾自言自语，“对啊！它们越来越近了！”，请问
“越来越近”指的是什么意思？
生：
是指“书童”整理的草稿中，第②、③、④题离第⑤题越来越
近了！而第⑤题当然就是第 ①题！

师：

那为什么对于“问题（二）”，你开头不会做，刹割又会做了呢？

17

生：

因为我看到了那种“越来越近”的变化，而这种 变化似乎“在
冥冥之中”牵引着我把“问题（二）”按着“问题（一）”的模样转化！
师：

好一个“冥冥之中”！老师采访你的原因就是要把你脑海中那
种“偶发的念 头”转变成你思维中某一“自觉的意识”，这样才有助
于修炼思维，高效解题。

师 ：

你把“问题（二）”按着“问题（一）”的模样转化！实际上就
是把一道“做不起 的题”变成了一道与之相关的“拿手好戏”对吧？
生：

对！„„对！果然如此！

师：

实际上，连你自己都没有意识到，你在不知不觉中使用了一种
非常重要的数学思想方法，即化归思想，这当然也是一种非常精彩而
有效的思维方式策略。化归，就是 转化归结的意思，它是我们解决问
题的“好助探”。

师：

我们 在解题时，一般总是将复杂问题转化为简单问题；将难解
问题转化为易解问题；将未解决的问题转化为已 解决的问题。总之，
化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：遇生疏就往熟
悉转化 ，遇复杂就往简单转化，遇抽象就往直观转化，遇含糊就往明
朗转化。


18

师：

这不是一朝一夕就可领悟的，必须做“适量”的 题，才能触碰
“自发领悟”的心弦，最后养成“自觉分析”的习惯！

„„言归正传 ，这段“理想”对话中的乙类学生，必须是学习主动性
高的优生！他们在历经“高效”解题的过程中会不 断提升“高效”探
索的思维素养。


„„但如果，
〈申述3〉 ：假设在“书童”所堆积的第“①——⑤”道辅助题
中，学生仍然没有参透玄机，未能觉察出将问题（二 ）“化归”为问
题（一）的趋势，那么教师可以怎样去调整自己对学生的思维引导呢？
师：

问题（二）要得到解决确实有些困难！现在让我们暂时放下个
中纠结，先来 做一做老师为大家准备的另一道“可能与问题（二）”
相关的题，看谁能解决它，请看：
助探题

（Ⅴ）：
已知：
123100m
，
12330n
，
求：
313233100
的值.
生：

（略作思考）„„答案是：
mn
.
生：

哦！好主意，我想到怎样解决问题（二）！
生：

咦！我也有办法了！（学生有了一定程度的“自发领悟”）

19

„„接下来学生就能比较干练地写出问题（二）的解题过程了！
„„再接下来教师可以火上浇油，
趁热打铁
.

师：

大家不妨再来看一题：
助攻题

（Ⅵ）：
已知：
点C在线段AB上，AB5厘米，AC2厘米，

问题！
求：线段
BC
的长.
这是一道“线段和差”

生：

（通过简单的画图分析）„„答案是：
523
.

师：

此情此景，为什么要出示这样一道题给大家做？
生：

因为它们有相似之处！

师：

其中韵味 之妙，异曲同工，看来数学中确有东西是可以进行类
比的，看来有些问题确实可以通过类比思维来探索解 法。

笔者按：但如果认为“问题（一）、（二）”到此可宣告解决，那
未必然！且继续往下看：
问题（三）：求
1111



的值.
1 0121214141698100
〈申述1〉：假设考生一眼就识别出本题与“记忆中的旧模 式”
不一样，即不能直接用下列公式：
1
1111n


，因为本题的“起始项”是
，
1012
122334n
n1

n1

20

而不是1
nn
；“终止项”是，而不是，这些特征不是那
12
n
< br>n2

n

n1

类未能跨越“简单模仿”的“ 急性子”所能识破的！固然，
待求式
11111

1
1









244668981002446810


？？
但当
n
取正偶数时，
1111n

< br>
吗？
244668n

n2

n1
稍作检验就会发现异端！那么上式该等于什么？
难道“又要”利用辅助题，先来研究特殊，再 去归纳一般吗？这
样做让我们觉得困倦不说，关键是作对了，也是白做！因为我们花了
大量的时 间，只是在实践“从特殊归纳一般”这种正确的“过程方法”，
却没有在这一“耗时、伤神”的过程之后 研发出一种“高效、易记”
的“通用结论”。
不妨这样来形容一下，你用对了“从特殊归纳一般”的思维方法，
结果，
你确实厉害，你今天弄懂了：
1111
式：

某一正确结论！

24466898100

但我明天再考你：
1111
式：

？？，你不想骂人吗？

144771097100

〈申述2〉：假设有考生在研究

21

1111
式：

？？

24466898100
他基于“化归思想”，产生了一个
念头
，他 抱着试一试的心态去搞了
一下：
1111
式：

2 4466898100

1

1111








4

12233 44950

1111n




1 22334n

n1

n1
1
4
4949


491200
又∵
∴
式
这一试，果然 一下子就试出了结果！你说这个考生以后对“化归思想”
的运用能不感兴趣吗？

接 下来，我们鼓励这个考生去尝试一下，看是否能将“
式
”
成功化归为他本人的“拿 手好戏”。当他感到困难重重时，我们再友
善地提醒，“〈申述1〉”中所提到的探索“通用结论”的话 题是一个
不容回避的“明智之举”！

〈申述3〉：假如我们愿意故地重游，假如我 们愿意温故知新，
假如我们愿意去领略另一番不同的风景，那么让我们脉动回去：
问题（一）：求
1111



的值.
1 2233499100
其实我们早已知道：
当然就该知道：
尤其还知道：

1111n




12233 4n

n1

n1
111199

< br>

12233499100100
22

11


122
112

②、

12233
1113

③、

1223344
11114

④、

122334455
①、

对数据加以微调，我们容易知道：
111
1

1222
1121
1
②、

122333
11131
1
③、

12233444
111141
1
④、

1223344555
1111991


1
而

12233499100100100
①、

以上特殊事例让我们“猜测”：结论似乎只与“一
头
一
尾
”有关 ？？？
再看：

1111




122334n

n1

n

n1


n11


n1n1

1
1
启发：答案确实只与“一头一尾”有关！！！

n1

那么，中间的项到底跑到哪儿去了？？？它们不会无缘无故地消
失， 只能在运算中相互抵消了！！！
那么，“中间项”是怎样相互抵消的？可以观想一下吗？


23

11
1吗？

122
111
吗？
②、


2323
111
吗？
③、


3434
111
吗？
④、


4545< br>①、

最后，
111
吗？这个很重要哦！

n

n1

nn1
以上问话都容易得到证实，所以，
1111




122334n

n1

1

11

1

11

11

1



1
< br>











1
n1n1

2

2 3

34

nn1

于是可以理解：
问题（一）：求
1111



的值.
1 2233499100
1

11

1
11

11

1
原式

1

















22334989999100

解：
199
1这才可称为一种“突出了依据 ”的“快解”！
100100
那么，请看：
问题（二）：求

由于受到“线段和差”手段的影响，学生可能“稀有”如下解答：
解：
原式



11111

1


 






99100
< br>1223910

1223
1111



的值.
10111112121399100
11

11111

111


1



1


99100
223910

223
1

1


11



100

10


24


9
虽然正确，但仍停留于“简单模仿”，没有灵活“应对变式”！

100

如果“真正理解”了：
111
公式（三）
，
n

n1

nn1
那么完全可以直接裂项求解： 解：
原式

1111111111


189999100
11


10100
9
这才深得公式（三）之要领！

100

现在公式（三）的诞生，好似给大家打了一针“鸡血”。在兴奋
之余，让我们回归“问题（三） ”，看看我们能否“变式应对”：


问题（三）：求
1111



的值.
1 0121214141698100
〈申述4〉：假设考生自认为“准确地记住”了“公式（三 ）”，那么
他的兴奋会驱使他这样解题：
解：
原式

11111 11111


169898100
11


10100
9
这是一种乱套乱用的典型错误！

100

〈申述5〉：假设考生真正“安全地记住”了：
111
公式（三）
，那么他一眼就能识别出“新环境”中的：
n

n1

nn1

25

111
、 „„这些可恶家伙，不是存在于记忆“旧模
10121 21498100
式”中的“
1
1
”，而是新出现的“”.
n

n1

n

n2

111

成立，那么“〈申述4〉”中的解法就
n

n2

n n2
也就是说，如果
正确，反之非也！
这考生定会思忖，
了！！！
由此：
①、

②、

③、

可猜：
11

11





这很容易得到证明！
n

n2

2

nn 2






∴
原 式



2

169898100

1

11

9
正确！





2

10100

200
111112

，

；
142224
111112

，

；
12168
111112

，

；
10 1212
111

吗？？？搞一下不就晓得
n

n2< br>
nn2

笔者按：这里需呼应一下，插入前面一个问题，
1111
式：

？？？

24466898100

26

容易由“
式
11

11





”得：
n

n2

2

nn2
< br>1





2

1

11

49



这答案与前面“用化归思想”得到的答案一致！


2
< br>2100

200

〈申述6〉：假设该考生对“后续思维”作了研究，那么他离“真
理”将越来越近：
①、已经知道：
②、已经知道：
③、还想知道：
④、还想知道：
„„
实际上，③、④都容易得到证明！
于是我们可以从以上“特殊性事例”中归纳出“一般性结论”：
11

11


“裂项公式”闪亮登场：
< br>

公式（四）
n

nk

k

nnk

111
公式（三）

n
n1

nn1
11

11






n

n2

2
nn2

11

11



< br>

吗？
n

n3

3

nn3

11

11





吗？

nn44

nn4

笔者按：自此问题（一）、（二）、（三）可以宣告解决！
剩下的“变式训练”都
貌似
“小儿科”！？请往下看：

问题（四）：求
3333



的值.
1 0121214141698100
〈申述1〉：有一种“鲁莽者”经常连“苹果与石头”都不 去分

27

清楚，他们视觉明明扫视到的是“3”，结果在思维里却 偏要当作是“1”。
究其原由虽可归结为没有经历适量的“变式训练”，但主观原因不容
忽视， 且不能简单归因于“我好晃”，其实质往往是主体没有养成“科
学审题”的习惯，连最起码的诸如“本题 的已知条件是什么？已知条
件有什么？本题与以往的类似题真的完全一样吗？”像这样的过场都
不去走走！如此鲁莽的错解，我也不作展示罢了。
〈申述2〉：假设某考生训练有素，早就深谙“科学 审题”的妙
诀。他读完题后自然就看出“新环境”与“旧模式”间有所不同，这
种不同虽然不是 “苹果与石头”之间的大差别，但至少有“苹果甲、
乙”之间的小差异。接下来这个考生开始思索如何才 能把眼前这道“非
常眼熟”的新题“转化”为心中那道“十拿九稳”的旧题？一旦他开
始迈出如 此思考的第一步，破题念头便会转瞬即拾：
求
3333



的值.
101212 14141698100
解：
原式
3


1111




化生为熟！
1012 1214141698100

3

1111111111








裂 项谋消！
2

169898100

3

11




谨慎去留！
2

101 00

27
举步留神，以免前功尽弃！

200



问题（五）：求
5555



的值.
1 0131316161997100
〈申述1〉：既然大家能忍耐读至弊文此处，那若非早已轻 车熟
路，一定早已闹心伤神！那咱也啥都不用说了！

28

依据
公式（四）
开解：
11

11




和“化生为熟”的伎俩，可以
n

nk

k

nnk

5111111111 1

解：
原式








3

1
3

20
949797100




〈申述2〉：假 如我们时常爱引导学生作“解题反思”，那么随着
解题量的增加，一些朦胧的“新东西”会不断地渗入我 们的脑海，而
我们必须要有意识地将之清晰化，这是一个不断完善和重组自我认知
结构的螺旋上 升过程，基于此过程，我们的智慧得以丰富，而在如此
丰富智慧的过程中，我们的思维之刃也在此类“润 湿磨砺”上来回游
舞着，让人洞察心扉，探触脑海。所以水既到，渠可成，这个可以有：
mm

11

裂项公式：



公式（ 五）

n

nk

k

nnk

一般情况：n、k、m都是正整数.

笔者按：永远不要以为我们已经脚踏实地，手触天花了，请继续
往下走几步：
问题（六）：求

〈申述1〉：前番言及有一种“鲁莽者”经常不主动去分清楚“苹< br>果与石头”，他们遇到外观似苹果，内里是石头的“假苹果”，总是放

29
11111



的值.
10121113 1214131598100

心、果断地一口“吞下去”，结果就给考试丢分了！
111111111

解：
原式






2

18100

1
11






貌似一目了然， 放心捕食，实则雾里看花，
2

10100

管中窥豹！
我们常常如此这般一不小心，就掉进别人设置的陷阱中！

〈申述2〉：假设你运气 不佳，纵然没能识破这个“假苹果”，但
你可以先咬它一咬，些许就能发觉端疑，随后再剖查触碰一番， 自然
能明了就里，届时你就会在有惊无险的感叹之余，庆幸自己没有“鲁
莽生吞”，结果就给考 试添彩了！


11

11

11

11








1


1012

1113
1214

1315


解：
原式


2

1

11

11< br>
1





9698

9799

98100


在这 里，我们引入了许多“小括号”来充当解题者的“助探”，或者
充当讲述者的“助教”。通过认真审查， 我们发现每一个括号中有两
个数，且每一个括号里的第一个数总被此括号前面“
跳一个
”括号
里的第二个数抵消，每一个括号里的第二个数总被此括号后面“
跳
一个
”括号里的第一个数抵消。
如果用数学符号语言来阐述，我们若任意规定其中一个括号为
“数 轴上的原点”，那么这个括号里的两个数，可分别用“
头
0
和尾
0
”
来表示，于是这个括号的前面第一个括号里的两个数，可分别用
“
头
1和尾
1
”来表示，再往前的括号里有“
头
2
和尾
 2
”，作为“原点”

30

的那个括号，它后面第一个括号 里的两个数可记为“
头
1
和尾
1
”，再往
后又是“
头
2
和尾
2
”„„对于“问题（六）”，最后我们探索出的结论
是：
，
头
0
尾
2
0
，
尾
0< br>头
2
0这是有趣结论结论（六）
这个结论的意思当然就是“前一段”的 文字语言表述。
故，原式
1

1111




倒数第二步！


2

101110099

？？

笔者按：当我们品味了“问题（六）”之后，本文关于“分数裂< br>项求和”的主旨也就得到了
一定程度
的诠释，问题（六）除了让我
们学会解题不 要掉以轻心，当然也在我们的裂项视野中打开了一扇窗
口，借着这扇窗口我们可以往外窥视一番：
问题（七）：求
11111



的值.
101311141215131697100
要求：本题同学自行解答。
提示：此题只做到“倒数第二步”就可以了！
提问：裂项后，哪些项抵消了？哪些项留下了？ 项的去留规律，是否
可以用“
头
0
尾
3
0
，
尾
0
头
3
0
”来表述？请回归我们的“约定”
去加以理解!
你有比上述约定“更简洁明了、更容易操作”的技巧吗？
笔者按：
做 题不能白做
，做典型“母题”更不可白做！最后收
网捕鱼，要注重鱼渔兼收，鱼是以后能高效解 答“主观题”的“常用
结论，”亦或是能高效解答“客观题”的“有趣结论”，而渔是以后能
“ 高效”或“有效”解决问题的“数学思想方法”和“思维方式策略”。

31

鱼之结论有：
1111n
求和结论：

结论（一）

1 22334n

n1

n1
11

11< br>

裂项公式：



公式（四）
n

nk

k

nnk

mm

11

裂项公式：



公式（五）
n

nk

k

nnk
一般情况：n、k、m都是正整数.

裂项中的“跳跃相消”现象：
头
0
尾
2
0、尾
0
头
2
0；
头0
尾
3
0、尾
0
头
3
0；

请自行领会“脚码数字”与“已知分母”的联系！
有趣结论（六）


渔之手段有：
归纳，类比，分类讨论，回归定义、约定
学习方法：
注重结果，更重过程！
解题习惯：
记准旧模式，辨清新环境！
以后怎样做此类“裂项求和”类的题型？
答：温情提示：利用公式（五）裂项，利用结论（六）留项！
右脑记忆：分数串相加，通分若神伤；
放心去裂项，内差
k
担当；
小心慎留项，外隔看跳消；
隔距隐玄机，首尾皆有章！


32

笔者按：永远不要以为我们已经脚踏实地，能够手触天花了！脚
踏实地是前提， 手触天花只是我们追逐的梦想。任何一道裂项求和的
问题都能自成一颗星宿，而这一颗星宿恰似一间宿舍 ，解题者身处此
间，透过四周的窗壁，我们得以洞见窗外星空，那里繁星飞花，引领
人之神往， 那里无限深邃，吟唱人之渺小！感叹脚踏实地只是处事态
度，仰望星空才是处事章法，愿脚下星舍承载我 们，盼满天星斗导航
我们！
行文至尾，垂死不休，请容我把“最后的？”几个问题托付大家：
第一题、观察下列等式：（终于给出考试善相）
111
111
11

1
；


；


„将这三个等式的
1223
23
34
342
左右两边分别相加，
可得 ：
11113

1

11

11
< br>

1









1

122334

2
23

34

44
1

___ ________________.
n

n1

（1）、猜想 并写出：
（2）、直接写出下列各式的计算结果：
①、
②、
1111



___________________.

1 2233420162017
1111



__ _________________.

122334n

n1< br>
1111



的值.
24466820162018
（3）、探究并计算：

（4）、计 算：

1
4
11111111

的值.
1224480
（笔者按：此小题你还有其它方法吗？）


33

第二题、请观察下列各组算式，（考试善相）
第一组： 第二组：
1111
1112

，
1
；

，
1
；

122133
2233

1111
111111

，

；

，

；

2364624
2364612

1111
111112

，

；
，

；

34125735
34125735

根据你的理解完成后面的题：
①、
111
吗？

6767
11

11

11


________




；

________




；
46 58

46

58

②、请归纳：
1

______________；（其中n为正整数）
n

n1

1

______________；（其中n、k都为正整数）
n

nk


③、求

④、求

第三题、
求

1111


的值？
（凶相！）
1232 343459899100
11111



的值 ；
132435465052
1111


< br>的值；
1223345051

34

第四 题、
求
3579197199


的值？
(飞 相！)
12233445989999100
容吾备注：
第四题明显 比第三题简单！但小生有意将前者置尾，欲意点睛！
吾身居此间陋舍，念头涌动，思绪纷飞，渴盼窥望星 空，感概一二。
就让小生趁此为君轻哼莫凡小曲，略改歌词，还望乐融君莫加怪罪，
只为另抒胸 意，知音难觅，不知几何，吾罪哉，醉哉：

有没有一扇窗，能让你我不绝望
望一望飞花星空，哪怕像梦一场
让我哭让我笑，让我望让我老
到结局应该不一样

有太多的星舍，能让我蹦又跳
这些年堆积多少，对谁的知心话
有壶酒醒不了，有种愿忘不了
踏实地，往前奔走，星空望

满天星斗，你依然是我心灵的归宿
仰望星空，要相信自己的路
红尘中，有太多茫然痴心的追逐
谁的苦，谁也有感触


35

满天星斗，你依旧在我心灵最深处
眺望星空，星牵引我不孤独
星舍中，难得睹一扇眺望的窗口
风在外，热情乘风比梦影
星海里，难得缘一颗导航的星昴
景在内，把酒临风星牵引
„‥‥


参考材料：
1、《怎样解题》〔美〕G·波利亚 著 涂泓 冯承天 译
上海科技教育出版社 2011
2、“解题的四步骤程式” 罗增儒 著
3、“化归思想” 百度百科
4、《走进重高》 主编：何继斌
华东师范大学出版社 2016
5、“朋友别哭” 作曲：莫凡 填词：陈乐融
6、“星” 作曲：谷村新司 填词：郑国江


2016年10月


36